- 7.69 MB
- 2024-02-21 发布
（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）
7.数列满足，，是数列前5项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用递推公式求得的值.进而利用裂项相消求和法，求得的值.
【详解】由递推公式，将，代入得，解得；将代入递推公式得，解得.同理解得，所以 .
【点睛】本小题主要考查递推公式求数列的前几项，考查裂项求和法求数列前几项的和.属于中档题.
（河北省衡水市第十三中学2019届高三质检（四）理科数学试题）
12.已知定义域为的函数满足，当时，，设在上的最大值为，且的前项和为，若对任意的正整数均成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的解析式，求得当时，的最大值为，再根据，利用归纳法，得到当时，的最大值为，由等比数列的前n项和公式，求得，根据，即可求解，
【详解】由题意，可得当时，；时，，
∴当时，的最大值为；
又由，∴当时，的最大值为；
当时，的最大值为，…，
所以当时，的最大值为，
由等比数列的前n项和公式，得 .
若对任意的正整数成立，则，故选B.
【点睛】本题主要考查了数列与函数的综合应用，其中解答中根据分段函数的解析式，利用归纳法得到数列的通项公式，再利用等比数列的求和公式，列出不等式求解是解答的关键，试题有一定的综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力．
（湖南省长望浏宁四县2019年高三3月调研考试 数学（文科）试题）
15.已知数列的前项和为，．当时，，则=_______
【答案】1010
【解析】
【分析】
由题意可得：，整理变形可知当时，数列任意连续两项之和为1，据此求解的值即可.
【详解】由题意可得：，
两式作差可得：，即,
即当时，数列任意连续两项之和为1，
据此可知：.
【点睛】给出 与 的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an
的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.
（广东省汕尾市普通高中2019年3月高三教学质量检测文科数学试题）
16.已知数列的首项为数列的前项和若恒成立，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用通项公式和裂项相消法求出数列的和，最后利用放缩法和恒成立问题的应用求出结果．
【详解】数列的首项，
则：常数
故数列是以为首项，3为公差的等差数列．
则：首项符合通项．
故：，
，
，
由于数列的前n项和恒成立，
故：，
则：t的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
（广东省深圳市2019届高三第一次（2月）调研考试数学理试题）
16.在下图所示的三角形数阵中，用表示第行第个数（），已知
（），且当时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即（，若，则正整数的最小值为__________．
【答案】103
【解析】
【分析】
根据条件，利用数列的递推关系式，求得数列的递推关系式，利用累加法和数列的单调性，即可求解。
【详解】因为，所以，
由题意可知，（），∴，（），
即，（），
∴ ，
又由
所以当时,数列显然递增，又易知，
∴的最小值为103，故应填103.
【点睛】本题主要考查了数列的综合应用问题，其中解答中结合数列的性质，求出数列的通项公式是解答本题的关键，综合性较强，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力。
（山东省泰安市2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）
5.已知数列中，，为其前项和，则的值为（ ）
A. 57 B. 61 C. 62 D. 63
【答案】A
【解析】
试题分析：由条件可得，所以，故选A.
考点：1.数列的递推公式；2.数列求和.
（晋冀鲁豫名校2018-2019年度高三上学期期末联考数学(理)试题）
16.已知数列的前项和为，若对成立，则实数的取值范围是______________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意首先将递推关系式整理为关于的形式，然后结合等比数列通项公式可得，由前n项和公式确定通项公式，计算可得，结合恒成立的条件可得恒成立，据此讨论可得实数a的取值范围.
【详解】据题意，得：．
又，．
当时，；
当时：
，
．
又当时，恒成立，对，且成立，．
又成立．综上，所求实数的取值范围是．
【点睛】给出 与 的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an
的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.[来源:学。科。网Z。X。X。K]
（河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断考试数学（文）试题）
6.已知等差数列中，，则数列的前2018项和为（ ）
A. 1008 B. 1009 C. 2017 D. 2018
【答案】D
【解析】
【分析】
,得数列的前2018项和分组求和即可.
【详解】由题,解得,
设
数列的前2018项和为=2=2018
故选：D.
【点睛】本题考查求等差数列通项公式，数列求和，关键是 ,推得每两项的和为2，分组求和.
（山东省泰安市2019届3月高三第一轮复习质量检测数学文科试题）
14.若数列满足：，，则______．
【答案】234
【解析】
【分析】
由，可得，，可得故为等比数列，且，可得，可得答案.
【详解】解：，
故为等比数列.，
故.
【点睛】本题主要考查数列的性质及数列前n的项的和，得出为等比数列，且是解题的关键.
（山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题）
7.已知数列的通项公式是，其前项和，则项数
A. 13 B. 10 C. 9 D. 6
【答案】D
【解析】
∵数列{an}的通项公式是，则：
据此可得：，求解关于的方程可得n＝6.
本题选择D选项.
（陕西省咸阳市2019届高三高考模拟检测（二）数学（文）试题）
16.数列满足 ，则=_______.
【答案】
【解析】
【分析】
在满足的关系式中，设，则左式即为的前
项和，由此可以利用数列的项与和的关系，求得，进一步求得，得到结果.
【详解】令，因为 ，
所以有，
，
两式相减得，所以，
故答案是：64.
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有数列的和与项的关系，整体思维的运用，属于简单题目.
（安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）
11.“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是万元，则的值为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意，第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为万元，第三层货物总价为万元，…，第层货物总价为万元，可设这堆货物总价为万元，从而可得到，利用错位相减法可求出的表达式，结合
可求出答案。
【详解】由题意，第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为万元，第三层货物总价为万元，…，第层货物总价为万元，设这堆货物总价为万元,则，
，
两式相减得
，
则,
解得，
故选D.
【点睛】利用错位相减求和是解决本题的关键，考查了学生利用数列知识解决应用问题的能力，属于中档题。
（江西省红色七校2019届高三第二次联考数学（理）试题）
17.已知数列为等差数列，为的前项和，.数列为等比数列且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，其前项和为，求证：.
【答案】（1） ； （2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题列关于的方程组即可求由得，进而求得（2）将变形为裂项相消求和得，由单调性即可证明.
【详解】（1）设公差为，则由
得,解得，所以.
设的公比， 因为，由且，
解得，所以。
（2），
，
易知随着的增大而增大，所以.
【点睛】本题考查等差数列通项公式，等比数列性质，裂项求和，熟记等差等比通项及性质，准确求和是关键，是中档题
（广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试数学（文）试题）
17.设是公比不为1的等比数列的前项和.已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）设.若，求数列的前项和.
【答案】（1）； （2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意布列基本量首项与公比的方程即可得到数列的通项公式；（2）由（1）得，，利用裂项相消法求和即可.
【详解】(1) 设等比数列的公比为，则.
因为，所以.
解得（舍去），.
.
（2）由（1）得，
所以
数列的前项和
.
【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：
(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
（山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题）
18.已知等差数列的公差，其前项和为，且，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
【解析】
试题分析：（1）由可得
化为：．由成等比数列，可得
化为：联立解得：即可得出
（2） 利用裂项求和方法、等差数列的求和公式即可得出．
试题解析：
（1）因为，即
即，①
因为为等比数列，即
所以，化简得：②
联立①和②得：，
所以
（2）因为
所以
（山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题）
21.设是等比数列，公比大于0，其前项和为，是等差数列已知，，，．
1求和的通项公式；
2设数列的前项和为，
求；
证明
【答案】(1)，；(2)（i）.（ii）证明见解析.
【解析】
分析：（1）由题意得到关于的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得 （2）（i）由（1），有，则.
（ii）因为，裂项求和可得.
详解：（1）设等比数列的公比为q.由可得.因为
，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而 故 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为
（2）（i）由（1），有，故.
（ii）因为，
所以.
点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
（安徽省江南十校2019届高三3月综合素质检测数学（文）试题）
17.已知数列中，，且，，1成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，数列的前项和为，求.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）利用等差中项求解出公比，利用求解出首项，从而得到通项公式；（2）得到的通项公式后，利用裂项相消求解.
【详解】（1），，成等差数列
且
数列是等比数列，且公比
由得：
（2）由（1）知，
【点睛】本题考查等比数列求通项以及利用裂项相消法求和，解题关键在于能够通过通项公式的形式进行裂项，从而可以前后相消，得到最终关系式.
（河南省九师联盟2019届高三2月质量检测数学文试题）
17.已知等差数列的前项和为，满足.数列的前项和为，满足.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）,；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，求得，然后求得公差，即可求出数列的通项，再利用 求得的通项公式；
（2）先求出的通项，然后利用数列求和中错位相减求和.
【详解】解：（1）由，得，解得.
由，解得或.
若，则，所以.所以，故不合题意，舍去.
所以等差数列的公差，
故.
数列对任意正整数，满足.
当时，，解得；
当时，，
所以.
所以是以首项，公比的等比数列，
故数列的通项公式为.
（2）由（1）知，
所以，①
所以，②
①-②，得
，
所以.
【点睛】本题主要考查了数列的综合（包含数列通项的求法，以及求和中错位相减），易错点在于是否检验n=1的情况，以及计算的失误，属于中档题.
（河北省唐山市2019届高三上学期第一次摸底考试数学（文）试题）
17.已知数列是公差不为0的等差数列，，成等比数列.
（1）求；
（2）设，数列的前项和为，求.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）设数列的首项为，公差为，由成等比数列，列出方程，求得，即可得到数列的通项公式；
（2）由（1）得，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的和.
【详解】（1）设数列{an}的首项为a1，公差为d（d≠0），则an＝a1＋(n－1)d．
因为a2，a3，a5成等比数列，
所以(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋4d)，
化简得，a1d＝0，
又因为d≠0，
所以a1＝0，又因为a4＝a1＋3d＝3，
所以d＝1．
所以an＝n－1．
（2）bn＝n·2n－1，
Tn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1， ①
则2Tn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n ． ②
①－②得，
－Tn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n，
＝－n·2n
＝(1－n)·2n－1．
所以，Tn＝(n－1)·2n＋1．
【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，利用乘公比错位相减法，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”
之后求和时，弄错等比数列的项数，增大了难度，导致错解，试题能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.
（河南省部分省示范性高中2018-2019学年高三数学试卷（理科）1月份联考试题）
17.已知等差数列的公差，其中是方程的两根，数列的前项和为，且满足.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设数列的前项和为，且，若不等式对任意都成立，求整数的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)根据题意可得，，得到，从而得到数列的通项公式，由可得，进而得到的通项公式；
（2）由（1）得，，利用错位相减法可得，根据的变化趋势得到结果.
【详解】解：（1）易得方程的两根为-1和7，因为，所以，.
所以，所以.
当时，由，得；
当时，可得，两式相减得，即.
所以.
（2）由（1）得，，
所以，
，
两式相减得，，
，
所以.
当时，；当时，；当时，因为，所以.
所以的最大值为，
从而，得，所以整数的最小值为-4.
【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
（河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断考试数学（文）试题）
17.已知正项数列是公差为的等差数列，且是与的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】(1) (2)
【解析】
【详解】（1）∵数列是公差为的等差数列，
∴
∴又是与的等比中项，
，
∴解得舍掉）
故数列的通项公式为
，
【点睛】本题考查求数列通项公式，数列求和，注意的提系数，和裂项后剩余几项是易错点.
（江西省临川一中，南昌二中，九江一中，新余一中等九校重点中学协作体2019届高三第一次联考数学（理）试题）
17.已知递增的等差数列前项和为，若，.
（1）求数列的通项公式.
（2）若，且数列前项和为，求.
【答案】（1）； （2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意列出关于的方程组，求解，进而求得d，即可得到通项公式.
（2）整理，代入的表示式子即可求解.
【详解】（1）由，且知：，
公差，∴数列的通项公式为；
（2）
.
∴；
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式，考查了裂项求和，属于基础题.
（山东省泰安市2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）
18.已知等差数列的前项和为，且，数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）首先利用已知条件建立的首项与公差的方程组，求解，再由递推关系式写出时的等式，作差求出数列的通项公式．
（2）利用（1）的结论，求出通项，利用裂项相消法求出数列的和．
【详解】（1）设首项为，公差为的等差数列的前项和为，且，
所以：，解得：，
所以：，
由于．
故：①，
所以：当时，②，
①﹣②得：，
所以：，当时（首项符合通项），故：，
（2）由于，所以：，
故：
【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查了运算能力，属于基础题型．
（山东省菏泽市2019届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题）
17.已知正项等比数列中，，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由等比数列和等差数列的通项公式列出方程可求公比q,由此能求数列{an}的通项公式．（2）写出数列的通项公式，然后利用裂项相消求和法可得结果.
【详解】（1）设等比数列的公比为
因为成等差数列，
所以，得，
又，则，即，
所以，所以，所以，
所以
显然，所以，解得
故数列的通项公式
（2）由（1）知，
所以
则
【点睛】本题考查等差数列和等比数列通项公式的应用，考查裂项相消求和法的应用，属于基础题.
（河南省濮阳市2019届高三下学期摸底考试数学（理）试题）
17.在数列和等比数列中，，，．
1求数列及的通项公式；
2若，求数列的前n项和．
【答案】（1）； ;（2）.
【解析】
【分析】
Ⅰ先求出公比，可得数列的通项，从而可求的通项公式；Ⅱ利用错位相减法，可求数列的前n项和．
【详解】Ⅰ依题意，，
设数列的公比为q，由，可知，
由，得，又，则，
故，
又由，得
Ⅱ依题意，
则
得，
即，故
【点睛】本小题主要考查等比数列、数列通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等．数列求和的常用方法有:分组求和,错位相减求和,倒序相加求和等.
（河北省沧州市2019年普通高等学校招生全国统一模拟考试理科数学试题）
17.已知数列满足，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，数列的前项和为，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意可得数列是等比数列，且公比为.结合成等差数列求得数列的首项即可确定数列的通项公式；
（2）裂项求和可得，结合前n项和表达式的单调性确定的取值范围即可.
【详解】（1）由知数列是等比数列，且公比为.
成等差数列，
（2）
易知单调递减，
当时，
的取值范围为
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，列项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
（广东省韶关市2019届高三1月调研考试数学理试题）
17.已知数列的前项和为，满足，且数列各项为正数.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
(1)由，利用作差法可得从而得到数列的通项公式；
（2）由（1）知，，利用分组求和法可得结果.
【详解】（1）解：依题意，①
②
②-①得，即.
因为各项为正，所以，即.
又当时，，且，解得.
所以，数列是首项为1，公差为1的等差数列.
通项公式为.
（2）由（1）知，，记的前项和为，则
，
.
数列的前项和为.
【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.
（广东省江门市2019届高三高考模拟（第一次模拟）考试数学（理科）试题）
17.已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列（）．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）弦化切求得方程的根可得到数列的通项；（2）通过第一问得到数列是周期为4的数列，通过观察列举得到和的规律，进而得到结果.
【详解】（1） ,
解得，，， ,
依题意，，.
（2）是周期的数列 ,
，，， ,
，，， ,
从而，，……，
所以是周期为4的数列,
（）.
【点睛】这个题目考查了数列的通项公示的求法以及数列的和的求法；采用的是观察法，得到数列的周期，进而得到数列的和.
（陕西省宝鸡市2019届高三高考模拟检测（二）数学（文科）试题）
17.设数列{}满足，；数列{bn}的前n项和为，且．
（Ⅰ）求数列{}和{}的通项公式；
（Ⅱ）若＝，求数列{}的前n项和．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据数列递推式，利用累加法可得，验证n=1也符合，可求出数列{}的通项公式；将已知中的n换为n-1，得到，作差可得，验证n=1也符合即可.
（Ⅱ）由，利用错位相减法求和即可.
【详解】（Ⅰ）由已知，当时，+2=，
又因为，所以数列{}的通项公式为．
因为，所以，
两式作差可得，且也满足此式，因此所求通项公式为.（Ⅱ）由，可得，
∴
，
两式相减得
=，
整理得.
【点睛】本题数列递推式的应用，考查数列的通项的求法，考查了错位相减法求和，属于中档题.
（广东省广州市天河区2019届高三毕业班综合测试（二）理科数学试题）
17.已知为数列的前n项和，且，，，．
求数列的通项公式；
若对，，求数列的前2n项的和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
，，时，，化为：，
，由，可得，时，，且，解得
，利用等差数列的通项公式可得
，利用分组求和即可得出
【详解】，．
时，，化为：，
，，
时，，且，解得．
数列是等差数列，首项为1，公差为3．
．
．
．
数列的前2n项的和．
【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
（湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第一次适应性考试（一模）数学（文）试题）
17.设正项数列的前项和，且是与的等比中项，其中.
（Ⅰ）求数列的通项公式；[来源:Z.xx.k.Com]
（Ⅱ）设，记数列的前项和为，求证：.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由是与的等比中项列方程整理，可得出：数列是首项为1，公差为1的等差数列，问题得解。
（Ⅱ）整理，代入的表示式子即可求解。
【详解】解：（Ⅰ）∵是与的等比中项，
∴，
等时，，∴.
当时， ，
整理得.
又，∴，
即数列是首项为1，公差为1的等差数列.
∴.
（Ⅱ），[来源:学.科.网Z.X.X.K]
∴
.
【点睛】本题主要考查了法的应用及等差数列概念，通项公式，还考查了数列裂项求和，属于基础题。
（江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考数学（理）试题）
17.已知数列为正项等比数列，满足，且构成等差数列，数列满足.
(Ⅰ)求数列，的通项公式；
(Ⅱ)若数列的前项和为，数列满足，求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
(Ⅰ)先设等比数列的公比为q(q)，根据，且构成等差数列，求出q，即可得出的通项公式，再由，可得出的通项公式；
(Ⅱ)先由等差数列的前项和公式求出，再由裂项相消法求出即可.
【详解】解：(Ⅰ)设等比数列的公比为q(q)，由题意，得
解得或（舍）
又所以
(Ⅱ)．
∴ ，
∴
【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，以及求数列的前项和，熟记等差数列与等比数列的通项公式即可求解，属于常考题型.
（湖北省2019届高三1月联考测试数学（理）试题）
17.已知等比数列为递增数列，且，，数列的前项和为，，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和为.
【答案】(1) , (2)
【解析】
【分析】
（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式；
（2）利用（1）的结论，进一步利用错位相减法求出数列的和．
【详解】（1）对于数列，
即 注意到为递增数列[来源:学科网]
则 ∴
对于数列，由得
相减得
又∵ ∴为定值
∴数列和都是以4为公差的等差数列
又∵ ∴在中令得
∴，
∴，
（2）由（1）得
∴
∴
【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（理科）试题）
17.已知数列的前项和为，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，求数列的前项和.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
(1)利用,计算通项,即可.(2)将数列通项代入,利用裂项相消法,即可.
【详解】解：（1）因为，，成等差数列，
所以，
当时，，所以，
当时，，，
两式相减得，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
（2）
，
所以 ，
所以[来源:学科网ZXXK]
.
【点睛】本道题考查了等比数列通项计算方法以及裂项相消法,难度中等.
（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）
17.在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）利用基本元的思想，将题目所给已知条件转化为的形式，解方程组求得
的值，由此求得和的通项公式.（2）利用错位相减法求得的前项和.
【详解】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则
，
解得，
所以；
（2），当时，；
当时，
，①
，②
① -②得：，
，
综上
【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求解有关等差和等比数列的问题，考查错位相减求和法，属于中档题.
（山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）
17.已知数列的前项和
(1)求数列的通项公式
(2)设数列满足,求数列的前n项和Tn
【答案】（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）由于知道的表达式，所以应用公式可求的通项
的表达式。（2）由（1），所以，，分组求和，分解成一个等比数列求和及一个等差数列求和。
试题解析：（1）当时，.
当时， 满足上式, 所以 .
（2）由题意得.,
.
【点睛】知道的表达式求通项的表达式时，我们常用公式。
（福建省宁德市 2019届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）
17.已知数列的前项和为，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析
【解析】
【分析】
（1）运用，计算通项，即可。（2）采用裂项相消法，求和，即可。
【详解】解：（Ⅰ）当时，由，解得，
当时，，
得：，∴，即，
∴数列是首项为3，公比为3的等比数列，
∴.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，∵，
∴，
∴
，
∵，∴，∴.
【点睛】本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等.
（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）
18.设是等差数列，前项和为 ，是等比数列，已知，，，.
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）设，记，求.
【答案】（1），;（2）
【解析】
【分析】
（1）设数列的公差为等比数列{bn}的公比为q，由已知列式求得d，q及首项，则可求数列和{bn}的通项公式；
（2）由（1）知，，利用错位相减直接求和.
【详解】（1）设数列的公差为，等比数列的公比为
由已知得：，即，
又，所以，
所以
由于，
，
所以，即（不符合题意，舍去）
所以，
所以和的通项公式分别为，.
（2）由（1）知，，
所以
所以
上述两式相减，得：
=
=，
得.
【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和等基础知识，考查数列求和的基本方法及运算能力，是中档题．
（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题）
14.已知数列的前项和公式为，则数列的通项公式为___．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意，根据数列的通项与前n项和之间的关系，即可求得数列的通项公式。
【详解】由题意，可知当时，；
当时，.
又因为不满足，所以.
【点睛】本题主要考查了利用数列的通项与前n项和
之间的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项与前n项和之间的关系，合理准确推导是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
（湖北省宜昌市2019届高三元月调研考试理科数学试题）
16.已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，点、均在函数的图象上，的横坐标为，的横坐标为，直线的斜率为.若，，则数列的前项和__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意先明确的通项公式，进而利用错位相减法求出前项和.
【详解】由题意可知：，，
，，
∴，解得，
∴
∴
∴①
②
①﹣②得，
所以，
整理得．
故答案为：
【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)
要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
（广东省揭阳市2018-2019学年高中毕业班学业水平考试文科数学试题）
16.已知数列满足， ，则数列中最大项的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
先将转化为，证得是等差数列，由此求得的通项公式，进而求得的通项公式.计算的值，利用数列的单调性求得的最大项.
【详解】由得 ，
即数列是公差为8的等差数列，故，所以，
当时；当时，，数列递减，故最大项的值为.
【点睛】本小题主要考查已知递推公式求数列的通项公式，考查等差数列的定义以及通项公式，考查数列的单调性以及最值，属于中档题.解题的突破口在于将题目所给的递推公式，转化为等差数列的形式，根据等差数列的通项公式间接求得的通项公式.数列的最大值一般是利用数列的单调性来求.
（福建省厦门市2019届高三第一学期期末质检文科数学试题）
10.数列满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题意，数列满足，即
所以
，则
所以，故选D.
【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及裂项法求和的应用，其中解答中根据数列的递推公式，求得数列的通项同时，再根据裂项法求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
（福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查数学（文科）试题）
15.已知数列的前项和为，，，则的值为__________．
【答案】231
【解析】
【分析】
先求出，由，可以得到，两式相减可得，所以数列的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列，然后分别求出、，从而，可得到答案。
【详解】将代入得，
由，可以得到，
得，所以数列的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列，
则，，
所以.
【点睛】本题考查了数列的通项公式与求和公式，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题。
（湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考（五）数学（文）试题）
16.已知正项数列的前n项和为，,令,设的前n项和为，则在T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为____。
【答案】
【解析】
试题分析：∵，∴当时，， 整理得：，又∵数列的每项均为正数，∴， 又∵，即，∴数列是首项、公差均为的等差数列，∴，∴，∴数列的前项和为，要使为有理数，只需为有理数即可，即，∵，∴，即在中有理数的个数为个，故答案为.
考点：数列的通项及前项和．
【思路点睛】对于数列：可利用整理计算可知，进而可知是首项、公差均为的等差数列，所以；对于数列：对代入，进而裂项可知，并项相加可知，进而只需当时即可，进而可得结论.本题主要考查数列通项公式和前n项和的求法.
（湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考（四）数学（理）试题）
9.对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则（ ）
A. 2022 B. 1011 C. 2020 D. 1010
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，根据，得到，进而求得，作差即可求解.
【详解】由，
得， ①
， ②
①-②得，即，，
所以.故选B.
【点睛】本题主要考查了数列的新定义的应用，以及数列知识的综合应用，其中解答中根据新定义，化简得，进而得 ，新作差化简、运算是解答的关键，同时此类问题需要认真审题，合理利用新定义是解答此类问题的基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
（福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查数学（理科）试题）
17.设为各项均是正数的数列的前项和，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
(1)先求时的结果，然后再求出时的结果，然后进行检验时是否成立
(2)化简已知条件得，代入公比即可求出结果
【详解】（1）当时，，；
时，①
②
①-②得：，，
满足上式，
.
（2）由（1）知数列是公比为的等比数列，
由，
得，
即，，
所以.
【点睛】本题考查了求数列的通项公式，可以采用的方法，需要注意检验时是否成立。
（安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题）
17.已知数列且，.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）记为数列的前项和，求数列的前项和.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ).
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意得，由累乘法得；（Ⅱ）先求出，进而得到，由裂项相消法求数列的前项和可得到答案。
【详解】(Ⅰ)由，得，所以
由累乘法:
,,，…，，
得，
所以数列的通项公式为.
(Ⅱ)由等差数列前项和公式得：，
则，
，
数列的前项和为：
.[来源:Z&xx&k.Com]
【点睛】本题考查了累乘法求通项公式，及裂项相消法求数列的前项和，属于中档题。
（河北省衡水中学2019届高三上学期七调考试数学（文）试题）
17.在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若等差数列的公差不为零，，且、、成等比数列，求的前
项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由根据正弦定理可得，由余弦定理可得，从而可得结果；（2）由（1）可得，再由、、成等比数列，列方程求得公差，从而得，则 ，利用裂项相消法可得结果.
【详解】（1）由 得
，所以
又
（2）设的公差为，由（1）得，且，
∴．又，∴，∴．
∴
∴
【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
（辽宁省丹东市2018年高三模拟（二）理科数学试题）
17.为数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）若数列的前项和满足，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
分析：（1）由和作差得，化简可得等比数列，从而得解；
（2）由，利用裂项相消法求和得，进而求解不等式即可.
详解：（1）由，可知．可得，易知，于是．
又，得．所以是首项为2，公比为4的等比数列，通项公式为．
（2）由可知．
于是．
不等式可化为．因为，所以，故．
因此实数的取值范围为．
点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.
（福建省泉州市2019届高三1月单科质检数学理试题）
17.数列中，，.
（1）求证：数列为等差数列，求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)结合,构造数列,证明得到该数列为等差数列,结合等差通项数列计算方法,即可.(2)运用裂项相消法,即可.
【详解】（1）由， （即），可得，
所以，
所以数列是以为首项，以2为公差的等差数列，
所以，
即.
（2），
所以，
因为，
所以.
【点睛】本道题考查了等差数列通项计算方法和裂项相消法,难度一般.
（福建省泉州市2019届高三1月单科质检数学文试题）
17.已知等差数列的公差，，且，，成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用已知条件建立方程组求出数列的通项公式．
（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和．
【详解】（1）根据题意，得
即
解得或（不合，舍去），
所以.
（2）由（1）得，
所以数列是首项为4，公比为4的等比数列.
所以
【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
[来源:学_科_网Z_X_X_K]
（福建省厦门市2019届高三第一学期期末质检理科数学试题）
18.已知数列的前项和为，且.
（1）求证：是等比数列；
（2）数列满足，数列满足，求数列的前项和.
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据数列中与的关系化简得，进而得到，即可作出证明；
（2）由（1）求得，，得到，利用裂项法，即可求解数列的和.
【详解】（1）当时，，∴，
当时，∵，①
②
由①─②得
∴，
∴（），
∵，
∴，
∴是首项为4，公比为2的等比数列.
（2）由（1）得，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了数列的与的关系，以及等比数列的定义与通项公式和数列的“裂项法”求和的应用，其中解答中熟记数列与的关系，利用利用等比数列的定义和通项公式是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
（广东省揭阳市2018-2019学年高中毕业班学业水平考试理科数学试题）
17.已知数列的前n项和为，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若等差数列的前n项和为，且，，求数列的前项和．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）令，求得的值，用求得的通项公式.（2）利用（1）的结论求得的值，利用基本元的思想求得的公差及通项公式，再利用裂项求和法求得前项和.
【详解】解：（1）当时，，
由得（），
两式相减得，又，
∴（），
又，∴（），
显然，，即数列是首项为3、公比为3的等比数列，
∴；
（2）设数列的公差为d，则有，由得，解得，∴，
又
∴
．
【点睛】本小题主要考查数列已知求的方法，考查利用基本元的思想求解等差数列的通项公式，考查裂项相消求和法. 基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列
（广东省肇庆市2019届高三第二次（1月）统一检测数学文试题）
17.在数列中，已知.
（1）求证：数列是等差数列；
(2)设数列的前和为，,求数列的前和．
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】
【分析】
（1）对已知条件因式分解，化简后得到，由此证得为等差数列.（2）由（1）求得的前项和，利用裂项相消求法和求得的值.
【详解】（1）由得
因为，所以，即
又因为，所以数列是首项为,公差为的等差数列。
（2）由（1）可得，
∴
∴
【点睛】本小题主要考查等差数列的定义，考查裂项相消求法和的运用，还考查了运算求解能力.属于基础题.
（河北省张家口市2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）
17.等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】[来源:Zxxk.Com]
（1）由是等差数列，，，可求出，由是等比数列，，，，可求出；（2）将和的通项公式代入，则 ，利用裂项相消求和法可求出.
【详解】(1)，，，解得
.
又，，
.
（2）由（1），得
【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式的求法，考查了用裂项相消求数列的前项和，属于中档题。
（河南省驻马店市2019届高三上学期期中考试数学文试题）
18.已知非零数列满足，且，的等差中项为6．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）利用等比数列的概念易得公比，结合a1，a2的等差中项为6可得首项，得解；
（2）易得bn＝2n，利用转化原式即可得解．
【详解】（1）由，得为等比数列且公比.
设首项为，的等差中项为6，
即，解得，
故.
(2)由
得到：，
∴,
因为可以看成关于n的单调递增函数，所以n=1时，最小为，且，
∴.
【点睛】本题考查了等比，等差数列的综合，数列求和，难度不大．
（湖北省宜昌市2019届高三元月调研考试理科数学试题）
18.已知数列的前项和为，数列是以3为首项、3为公差的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意可得，从而得到数列的通项公式；（2）由（1）得，
利用裂项相消法即可得到数列的前项和.
【详解】解：（1）因为数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以.
当时，，
当时，，
又当时，满足上式，所以数列的通项公式
（2）由（1）得，
所以
.
【点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.
（湖北省宜昌市2019届高三元月调研考试文科数学试题）
17.已知数列的前项和.
（1）求；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）利用法直接求.
（2）去绝对值得到：当时，
再分组求和即可。
【详解】解：（1）当时，
，
当时，适合上式.
∴.
（2）∵，
∴，令，
∴当时，，
当时，
，
∵也适合上式，
∴.
【点睛】（1）主要考查了法求数列的通项公式----
（2）考查了分类思想及分组求和方法，还考查了等比数列求和公式。注意不要弄错项数，计算要细心。
（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（理）试题）
17.已知数列的前项和为，且.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）由可得，两式作差整理即可得到，从而可得数列为等比数列；
（2）先由（1）写出，从而可得
，进而可直接求出数列的前项和.
【详解】解：（1）当时，，则.
当时，因为，所以，
则，即.
从而，即.
因为，所以.
所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列.
（2）由（1）可得，即.
因为，所以.
则，
故.
【点睛】本题第一问主要考查等比数列的证明，只需数列的第n项与第n-1项之比为非零常数即可;第二问主要考查裂项相消的方法求数列的前n项和;属于基础试题.
（湖南省长沙市2019届高三上学期统一检测文科数学试题）
17.已知数列的首项，，且对任意的，都有，数列满足，.
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）求使成立的最小正整数的值.
【答案】（Ⅰ），;（Ⅱ）10
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由已知的递推关系式可知数列为等差数列，从而可得的通项公式，代入可得的通项公式；（Ⅱ）利用分组求和法和等比数列的求和公式得到数列的前n项和,通过判断数列的单调性可得满足条件的n的值.
【详解】（Ⅰ）令得，，解得.
又由知 ，
故数列是首项，公差的等差数列，
于是，.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.
于是 .
令，易知是关于的单调递增函数，
又，，
故使成立的最小正整数的值是10.
【点睛】本题考查等差，等比数列的通项公式和等差，等比数列的前n项和公式的应用，以及数列单调性的判断，考查学生推理和计算能力.
（江西省新余市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）
17.已知等比数列的公比，，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
【解析】
分析：（1）根据等差数列的性质得到，，进而得到通项；（2
）由第一问得到，错位想减求和即可.
详解：
，，
又成等差数列，，
，，
①
②
-②：
点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.
（四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学理试题）
17.设数列｛｝的前n项和为Sn，已知3Sn=4－4，．
（1)求数列｛｝的通项公式；
(2）令，求数列｛｝的前n项和Tn.
【答案】（1）（2）
【解析】
分析：（1）由求得，由时，可得的递推式，得其为等比数列，从而易得通项公式；
（2）根据（1）的结论，数列的前项和可用裂项相消法求得．
详解：（1）∵ ①
当时，，∴[来源:学+科+网]
当时， ②
由①-②得：
∴
∴是以为首项，公比为的等比数列
∴
（2）∵
∴
点睛：设数列是等差数列，是等比数列，则数列，，的前项和求法分别为分组求和法，错位相减法，裂项相消法．
（广西桂林、贺州、崇左三市2018届高三第二次联合调研考试数学（理）试题）[来源:学科网]
17.已知数列为等比数列，其前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】(1) .
(2) .
【解析】
试题分析：（1）利用 ，可求的通项公式；
（2）化简可得，利用错位相减法可求.
试题解析：（1）由，得.
∴
当时，.
∵.∴是以为首项，4为公比的等比数列.
∵，∴.
∴.
当时，，符合上式.
∴.
（2）由（1）知.
∴.①
.
①-②得：，
∴