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- 2024-02-20 发布
雅安中学 2015 级高三上学期月考试题
数学（文史类）
（考试用时：120 分 全卷满分：150 分）
第Ι卷（选择题部分，共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1.设集合 { | 1}A x x ，集合 { 2}B a ，若 A B ，则实数 a 的取值范围是
A.( , 1] B. )1,( C.[ 1, ) D.[1, )
2.设复数 iziz 1, 21 ，则复数 21 zzz 在复平面内对应的点到原点的距离是
A. 1 B. 2 C. 2 D. 2
2
3.从编号为 1～50 的 50 名学生中随机抽取 5 人来进行学情的测评分析，若采用每部分选取
的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取的 5 名学生的编号可能是
A．5,10,15,20,25 B．3,13,23,33,43
C．1,2,3,4,5 D．2,4,6, 16,32
4.关于 x 的方程 2 4 4 0x i x ai a R 有实根 b，且 z a bi ，则复数 z 等于
A. 2 2i B. 2 2i C. 2 2i D. 2 2i
5.设 ,a b R ，则“ 2 0a b a ”是“ a b ”的
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.在等差数列{an}中，若 2 8 6 41, 2a a a a ，则 5a 的值是
A． ﹣5 B． C． D．
7．函数
x
y
2
11 的值域为
A. ,0 B. 1,0 C. 1,0 D. 1,0
8.已知一个空间几何体的三视图如图所示，这个空间几何体的顶点均在同一个球面上，则
此球的体积与表面积之比为
A．31 B．13 C．41 D．32
9. 如图，是某算法的程序框图，当输出 29＞T 时，正整数 n 的最小值是
A. 2
B. 3
C. 4
D.5
10.已知点 DCBA ,,, 在同一个球的球面上， 2,2 ACBCAB 若四面体
ABCD 中球心O 恰好在侧棱 DA 上， 14DB ，则这个球的表面积为
A. 25
4
B. 4
C. 8 D.16
11．若将函数 2sin 2 3f x x
的图象向右平移 个单位，所得图象关于 y 轴对称，
则 的最小正值是
A． 5
12
B．
3
C． 2
3
D． 5
6
12. 已知函数 )(xfy 与 )(xFy 的图象关于 y 轴对称，当函数 )(xfy 和 )(xFy 在
区间 ],[ ba 同时递增或同时递减时，把区间 ],[ ba 叫做函数 )(xfy 的“不动区间”，若区
间 1,2]为函数 |2| ty x 的“不动区间”，则实数t 的取值范围是
A. (0，2] B. ),2
1[ C. ]2,2
1[ D. ),4[]2,2
1[
第Ⅱ卷（非选择题部分，共 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第 22～23 题为选做题，考生根据要求作答。
二、填空题：本题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分
13．设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x﹣y 的最大值为 ．
14.已知点 P 是直线 3 4 2 0x y 上点，点 Q 是圆 2 21 1 1x y 上的任意一点，
则 PQ 的最小值是 .
15. . 已知 1 2
1
1 ,a x dx
则
61( +2 )2a x x
展开式中的常数项为 .
16.一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 060 的方向航行 30 n mile 后到海岛 B ，然后从 B 出发沿南
偏东 060 的方向航行 50 n mile 到达海岛C . 如果下次航行此船沿南偏东 角的方向，直接
从 A 出发到达 C ，则 cos 的值为____________.
三、解答题：本大题共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本题满分 12 分）在 ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c .已知
22 cos cos 2 sina a A B b A .
（1）求C ；
（2）若 ABC 的面积为15 3
4
，周长为 15，求 c .
18.（本题满分 12 分）某学校高三年级 800 名学生在一次百米测试中，成绩全部在 12 秒到
17 秒之间，抽取其中 50 个样本，将测试结果按如下方式分成五
组：第一组[12，13），第二组[13，14），…，第五组 [16，
17]，如图是根据上述分组得到的频率分布直方图．
（1）若成绩小于 13 秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试
中成绩优秀的人数；
（2）请估计本次测试的平均成绩；
（3）若样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一、第五组中各抽取 1
名学生组成一个实验组，求所抽取的 2 名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率．
19.（本题满分 12 分）已知数列 na 中， ,21 a 且 ),2(12 1
Nnnaa nn ．
（I）求证：数列 1na 是等比数列，并求出数列 na 的通项公式；
（Ⅱ）设 )1( nn anb ，数列 nb 的前 n 项和为 Sn，求证：1≤Sn＜4．
20.（本题满分 12 分）已知椭圆 E ：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的离心率为 3
2
，顺次连接椭
圆 E 的四个顶点得到的四边形的面积为 16．
（Ⅰ）求椭圆 E 的方程；
（Ⅱ）过椭圆 E 的顶点 (0, )P b 的直线l 交椭圆于另一点 M ，交 x 轴于点 N ，若| |PN 、
| |PM 、| |MN 成等比数列，求直线l 的斜率．
21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝mx－aln x－m，g(x)＝ x
ex－1
，其中 m，a 均为实数，e
为自然对数的底数．
(Ⅰ)求函数 g(x)的极值；
(Ⅱ)设 m＝1，a<0，若对任意的 x1，x2∈[3，4](x1≠x2)，|f(x2)－f(x1)|<| 1
g（x2）
－ 1
g（x1）|恒
成立，求实数 a 的最小值．
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时
请写清题号．
22.（本小题 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，以原点O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为
4 2 cos( )4
．
（1）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）过点 P (2,0) 作斜率为 1 直线l 与圆C 交于 ,A B 两点，试求 1 1
PA PB
的值.
23．（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲
设函数 5( ) ,2f x x x a x R ．
(Ⅰ)求证：当
2
1a 时，不等式 ln ( ) 1f x 成立．
(Ⅱ)关于 x 的不等式 ( )f x a 在 R 上恒成立，求实数a 的最大值．
雅安中学 2015 级高三上学期月考试题
数学（文史类）参考答案
1—5 ABBAB 6—10 CCBCD 11—12 AC
一、8 14. 15. -160 16. 1
7
17.答案：（1） ； （2）7．
解析：（1）首先利用正弦定理化已知条件等式中的边为角，然后利用两角和的正弦公式结
合三角形内角和定理求得 的值，从而求得角 的大小；（2）首先结合（1）利用三角
形面积公式求得 的关系式，然后根据余弦定理求得 的值．
试题解析：（1）由正弦定理可得
sinA＝2sinAcosAcosB－2sinBsin2A …2 分
＝2sinA(cosAcosB－sinBsinA)＝2sinAcos(A＋B)＝－2sinAcosC．
所以 cosC＝－
1
2，故 C＝
2π
3． …6 分
（2）由△ABC 的面积为
3
4得 ab＝15， …8 分
由余弦定理得 a2＋b2＋ab＝c2，又 c＝15－(a＋b)，
解得 c＝7． …12 分
18.解：（1）由频率分布直方图，得成绩小于 13 秒的频率为 0.06，
∴该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数为：
0.06×50=3（人）．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3 分
（2） 7.1408.05.1632.05.1538.05.1416.05.1306.05.12 ┅┅6 分
（3）由频率分布直方图，得第一组的频率为 0.06，第五组的频率为 0.08，
∴第一组有 50×0.06=3 人，第五组有 50×0.08=4 人，┅┅┅┅┅┅┅┅┅7 分
∵样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，
∴第一组中有 1 名女生 2 名男生，第五组中有 3 名女生 1 名男生，
现从第一、第五组中各抽取 1 名学生组成一个实验组，
设第一组中三人分别为 321 ,, aaa ，其中 1a 为女生，第五组中四人分别为 4321 ,,, bbbb ，其中 1b
为男生，
则基本时间空间为
)},)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,{( 433323134232221241312111 babababababababababababa
n=12，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9 分
所抽取的 2 名同学中恰好为一名男生和一名女生，包含的基本事件个数 m=7，
∴所求概率为 p= ．┅┅┅┅┅┅┅┅12 分
19.解：（1）由题意知： ,10 2 n
nT 即得 2 nan ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4 分
（2） 1tan)2tan()3tan(1
)2tan()3tan()]2()3tan[(
nn
nnnn ┅┅┅┅┅┅8 分
11tan
)2tan()3tan()2tan()3tan( nnnn ┅┅┅┅┅┅┅┅10 分
nnn
nnSn
)]2tan()3tan(...)22tan()32tan()21tan()31[tan(1tan
1
)3tan()2tan(...)32tan()22tan()31tan()21tan(
nn
1tan
3tan)3tan( ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12 分
20.解：（Ⅰ）由题意可得： 2 16ab ，①
又由 3
2
ce a
， 2 2 2c a b ，得 2a b ，②
解①②的 4a ， 2b ，所以椭圆 E 的方程为
2 2
116 4
x y ．
（Ⅱ）由题意 2| | | | | |PM PN MN ，故点 N 在 PM 的延长线上，
当直线l 的斜率不存在时， 2| | | | | |PM PN MN ，不合题意；
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 2y kx ，
令 0y ，得 2
Nx k
，
将直线l 的方程代入椭圆 E 的方程
2 2
116 4
x y ，
得 2 2(4 1) 16 0k x kx ，
因为 0px ，解得 2
16
4 1M
kx k
，
由 | | | |
| | | |
PM MN
PN PM
，得 M NP M
P N P M
x xx x
x x x x
，即
2 2
2
16 2 16
4 1 4 1
2 16
4 1
k k
k k k
k
k k
，
解得 3 1
80k ，即 4
1
2 5
k ．
21.解析：(Ⅰ)由题得，g′(x)＝1－x
ex－1
，令 g′(x)＝0，得 x＝1，
列表如下：
x (－∞，1) 1 (1＋∞)
g′(x) 大于 0 0 小于 0
g(x) 极大值
∴当 x＝1 时，g(x)取得极大值 g(1)＝1，无极小值；(4 分)
(Ⅱ)当 m＝1，a<0 时，f(x)＝x－aln x－1，x∈(0，＋∞)，
∵f′(x)＝x－a
x
>0 在区间[3，4]上恒成立，
∴f(x)在区间[3，4]上为增函数，设 h(x)＝ 1
g（x）
＝ex－1
x
，
∵h′(x)＝ex－1（x－1）
x2 >0 在区间[3，4]上恒成立，∴h(x)在区间[3，4]上为增函数，不妨
设 x2>x1，
则|f(x2)－f(x1)|<| 1
g（x2）
－ 1
g（x1）|等价于 f(x2)－f(x1)3
4
e2>1，∴v′(x)<0，则 v(x)在区间[3，4]上为减函数，
∴v(x)在区间[3，4]上的最大值 v(3)＝3－2
3
e2，∴a≥3－2
3
e2，
∴实数 a 的最小值为 3－2
3
e2.(12 分)
22. 解：（1）由 )4(24 Cos 得： SinCos 44 , SinCos 442
即： 04422 yxyx ,C 的直角坐标方程为： 822 22 yx
A．设 A,B 两点对应的参数分别为 21,tt ，直线 t
ty
x
2
2
2
22
和圆的方程联立得：
,04222 tt 所以, 4,22 2121 tttt <0
所以, 2
61111
21
21
21
tt
tt
ttPBPA
23.（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲
23.解析：(1)证明：由 5 1( ) | | | |2 2f x x x
12 2 2
1 53 2 2
52 2 2
x x
x
x x
2 分
得函数 ( )f x 的最小值为 3，从而 ( ) 3f x e ，所以 ln ( ) 1f x 成立. 5 分
(2) 由绝对值的性质得 5 5 5( ) | | | | | ( ) ( ) | | |2 2 2f x x x a x x a a ， 7 分
所以 ( )f x 最小值为 5| |2 a ，从而 5| |2 a a ， 8 分
解得 5
4a ， 9 分
因此 a 的最大值为 5
4
. 10 分