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- 2024-02-20 发布
广西钦州市钦州港经济技术开发区中学2018届高三年级12月份考试数学文科试卷
（考试用时：120分 全卷满分：150分 ）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必得将自己的姓名，座位号和准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
3. 回答主观题时，将答案写在答题卡上对应位置，写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，将答题卡交回。
第Ι卷（选择题部分，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知等比数列，则是的
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3．“”是“函数在区间[-1，1]上存在零点”的（ ）SX021001
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
1
-1
B
1
-1
A
1
-1
C
1
-11
D
4．函数在区间[-]上的简图是（ ）
5. 已知，若不等式恒成立，则的最大值为
A. B. C. D.
6.函数的图像如图所示，为了得到函数的图像，只需将的图像（ ）
A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
7. 把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为 ( )
A． B． C． D．
8. 已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知非零向量满足，且，则的夹角为
A. B. C. D.
10.已知双曲线上存在两点M,N关于直线对称，且MN的中点在抛物线上，则实数m的值为（ ）
A.4 B.-4 C.0或4 D.0或-4
11. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，，则下列命题中的假命题是（ ）
A．若∥，则∥ B．若，则
C．若相交，则相交 D．若相交，则相交
12．已知函数是定义在R上的奇函数，且在区间上单调递增，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选做题，考生根据要求作答。
二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分
13.已知函数（）为奇函数，则 .
14.已知向量，，，则= .
15．已知是上一点，为抛物线焦点，在上，则的最小值
16．下列五个命题：
（1）函数内单调递增。
（2）函数的最小正周期为2。
（3）函数的图像关于点对称。
（4）函数的图像关于直线成轴对称。
（5）把函数的图象向右平移得到函数的图象。
其中真命题的序号是 。
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本题满分12分）
已知函数
（1） 求函数f（x）的单调递增区间；
（2）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b=1，
，且a＞b，试求角B和角C．
18.（本小题满分12分）
某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：
记某企业每天由空气污染造成的经济损失T(单位：元)，空气质量指数API为.在区间[0,100]对企业没有造成经济损失；在区间(100,300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为200元，当API为200时，造成的经济损失为400元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元.
(1)试写出函数T()的表达式:
(2)试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失大于200元且不超过600元的概率；
(3)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关.
非重度污染
重度污染
合计
供暖季
非供暖季
合计
100
附：
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19．(本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且满足
（1）求数列的通项公式；
（2）设，令，求
20.(本小题满分12分)
已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴，焦距为2，且长轴长是短轴长的倍．
(Ⅰ)求椭圆E的标准方程；
(Ⅱ)设P(2，0)，过椭圆E左焦点F的直线l交E于A、B两点，若对满足条件的任意直线l，不等式·≤λ(λ∈R)恒成立，求λ的最小值．
21. （本小题满分12分）
已知函数，且.
（1）若曲线在点处的切线垂直于轴，求实数的值；SX030102
（2）当时，求函数的最小值；
请考生在第22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．（共1小题，满分10分）
22. (本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程选讲.
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（a为参数)，以原点O为极点，以x轴正 半 轴为 极 轴，建立极坐 标 系，曲 线C2的极坐标方程为
(1) 求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程. SX090103
(2) 设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P坐标.
23.(本小题满分10分)选修4—5: 不等式选讲
已知函数f(x)＝的定义域为R.
(Ⅰ)求实数m的取值范围；
(Ⅱ)若m的最大值为n，当正数a，b满足＋＝n时，求7a＋4b的最小值．
参考答案
1. C2.B3.A4.A5.B6.D7.A8.C9.C10.D11.D12.D
13. 14.5 15.4 16.（3）（5）
17.解：（1）f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），
令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，x∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，x∈Z，
则函数f（x）的递增区间为[kπ﹣，kπ+]，x∈Z；
（2）∵f（B）=sin（B﹣）=﹣，∴sin（B﹣）=﹣，
∵0＜B＜π，∴﹣＜B﹣＜，
∴B﹣=﹣，即B=，
又b=1，c=，
∴由正弦定理=得：sinC==，
∵C为三角形的内角，
∴C=或，
当C=时，A=；当C=时，A=（不合题意，舍去），
则B=，C=．
18.（本小题满分12分）
(1)根据题意，在区间[0,100]对企业没有造成经济损失；
在区间（100,300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为200元，当API为200时，造成的经济损失为400元）；
当API大于300时造成的经济损失为2000元，
(2)设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失大于200元且不超过600元”为事件A，
(3)根据统计数据得到如下列联表：
非重度污染
重度污染
合计
供暖季
22
8
30
非供暖季
63
7
70
合计
85
15
100
观测值 ，所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关。
19．（1）由，得
得
是等比数列，且公比为
（2）由（1）及得
=
20.解析：(Ⅰ)依题意，a＝b，c＝1，
解得a2＝2，b2＝1，∴椭圆E的标准方程为＋y2＝1.(4分)
(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则·＝(x1－2，y1)·(x2－2，y2)＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2，
当直线l垂直于x轴时，x1＝x2＝－1，y1＝－y2且y＝，
此时＝(－3，y1)，＝(－3，y2)＝(－3，－y1)，
所以·＝(－3)2－y＝；(7分)
当直线l不垂直于x轴时，设直线l：y＝k(x＋1)，
由整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以·＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＋k2(x1＋1)(x2＋1)
＝(1＋k2)x1x2＋(k2－2)(x1＋x2)＋4＋k2＝(1＋k2)·－(k2－2)·＋4＋k2
＝＝－<.
要使不等式·≤λ(λ∈R)恒成立，只需λ≥(·)max＝，即λ的最小值为.
21.解：由题意得：
； (2分)
(1) 由曲线在点处的切线垂直于轴，结合导数的几何意义得，即，解得； (6分)
(2) 设，则只需求当时，函数的最小值.
令，解得或，而，即.
从而函数在和上单调递增，在上单调递减.
当时，即时，函数在上为减函数，；
当，即 时，函数的极小值即为其在区间上的最小值， .
综上可知，当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为.
22.解(1) 对于曲线有
，即的方程为：；
对于曲线有
，所以的方程为. (5分)
(2) 显然椭圆与直线无公共点，椭圆上点到直线的距离为：
，
当时，取最小值为，此时点的坐标为.
23.解析：(Ⅰ)由题意可知： ＋－m≥0对任意实数恒成立．
设函数g(x)＝＋，则m不大于函数g(x)的最小值．
又＋≥＝4.即g(x)的最小值为4，所以m≤4.(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知n＝4，
∴7a＋4b＝＝
＝≥＝.
当且仅当a＋2b＝3a＋b，即b＝2a＝时，等号成立．所以7a＋4b的最小值为.(10分)