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- 2024-02-18 发布
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第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（共12小题，共60分）
1.圆x2+y2﹣6x+4y+12=0与圆（x﹣7）2+（y﹣1）2=36的位置关系是（ ）
A．外切 B．相交 C．内切 D．外离
【答案】C
【解析】
试题分析：此题主要考查圆与圆的位置关系，首先计算出两圆的圆心距为5等于两半径之差5，所以两圆内切，故选C
考点：圆与圆的位置关系
2.盒中共有形状大小完全相同的5个球，其中有2个红球和3个白球．若从中随机取2个球，则概率为的事件是（ ）
A、都不是红球 B、恰有1个红球
C、至少有1个红球 D、至多有1个红球
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意可得，从中随机取2个球，基本事件总数n=10,分别求出都不是红球的概率，恰好有1个红球的概率，至少有1个红球的概率，至多有1个红球的概率，由此能求出概率为的事件是恰有1个红球故选B。
考点：古典概型及其概率计算
3.已知函数f（x）的图象是连续不间断的，且有如下的x，f（x）对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
f（x）
11.8
8.6
﹣6.4
4.5
﹣26.8
﹣86.2
则函数f（x）在区间上的零点有（ ）
A．2个 B．3个 C．至少3个 D．至多2个
【答案】C
【解析】
试题分析：由表格可得，，同理可得，，又因为只是连续函数并非单调函数，所以在定义域至少有3个零点，故选C
考点：函数与方程，零点问题；
4.已知k=﹣6，则函数y=cos2x+kcosx+6的最小值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．-11 D．13
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意得，将k=-6代入函数中，则y=cos2x-6cosx+6，利用二倍角公式对函数进行化简得,t=x,t,，故选A
考点：二倍角公式化简及换元法，二次函数求最值；
5.设α角属于第二象限，且|cos|=﹣cos，则角属于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意得，是第二象限的角，可知在第一象限或者第三象限，再由|cos|=﹣cos，知cos<0,故在第三象限，故选C
考点：角所在象限的判断
6.若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（ ）
A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥
【答案】D
【解析】
试题分析：若正六棱锥底面边长与侧棱长相等，正六棱锥侧面构成正三角形，侧面的六个顶角都为60度，六个顶角之和为360度，这是不可能的，故不能是六棱锥，选D
考点：棱锥的结构特征
7.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意可知这组数据的平均数为10，方差为2可得到关于x,y的一个方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因此最好不要直接求出x,y，用换元法来解出结果，选D
考点：统计学中的数字特征运算；平均数和方差的运算公式的应用；
8.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【解析】
试题分析：由题意可知，把三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用这三个基向量表示出来即可得出答案，选B
考点：向量的加减混合运算及其意义；
9.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【答案】A
【解析】
试题分析：可作出图形，由条件=2及向量加法和减法的几何意义，以及向量的数乘运算便可以得到，这样根据平面向量基本定理即可得到λ的值，选A
考点：向量的三角形法则和向量共线定理；
10.张先生知道清晨从甲地到乙地有好、中、差三个班次的客车．但不知道具体谁先谁后．他打算：第一辆看后一定不坐，若第二辆比第一辆舒服，则乘第二辆；否则坐第三辆．问张先生坐到好车的概率和坐到差车的概率分别是（ ）
A．、 B．、 C．、 D．、
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意得，张先生乘车可分为6种情况，差，中，好他没乘上好车；差，中，好他乘上好车；中，差，好他乘上好车；中，好，差他乘上好车；好，差，中他没乘上好车；好，中，差他没乘上好车；代入古典概型公式计算，即可得到答案，选C
考点：古典概型求等可能事件的概率；
11.已知向量=（sinα，cos2α），=（1﹣2sinα，﹣1），α∈（，），若=﹣，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意得，通过=﹣得到关于的三角函数方程，求出，然后结合α∈（，）求出，利用两角差的正切公式求解即可得到答案，选C
考点：1.数量积的坐标运算；2.二倍角公式的运用；3三角函数的基本关系式
12. 曲线x2+y2﹣6x=0（y＞0）与直线y=k（x+2）有公共点,则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意得，曲线x2+y2﹣6x=0（y＞0）是圆心为（3，0），半径为3的半圆，它与直线y=k（x+2）有公共点成立的条件就是圆心（3，0）到直线y=k（x+2）的距离，且，即可得到答案，选C
考点：1.直线与圆的位置关系的应用；2.点到直线的距离公式的灵活运用；
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（共4小题，共20分）
13.函数y=3sin（﹣2x）的单调增区间是 ．
【答案】（k∈Z）
【解析】:试题分析：由y=3sin（﹣2x）=-3sin（2x-），要求y=3sin（﹣2x）就是求y=3sin（﹣2x）的递增区间就是求y=-3sin（2x-）的递减区间，由正弦函数的单调减区间可得到答案
考点：正弦函数的单调区间
14. 等边△ABC的边长为1，记=， =，=，则•﹣﹣•等于 ．
【答案】
【解析】:试题分析：由题意可得，，故•﹣﹣•=
考点：平面向量数量积的运算
15. 如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是 ．
【答案】9
【解析】:试题分析：由题意可得，a是在不断变大的，b是在不断变小，当程序运行两次时，a=9,b=5，a>b,跳出程序，输出a=9;
考点：算法的流程图的计算
16.已知圆C：（x﹣2）2+（y+m﹣4）2=1，当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是 ．
【答案】1
【解析】:试题分析：由题意可得，圆C圆心为（2，4-m） ，半径为1的圆，圆C上的点与原点的最短距离是圆心与原点连线的距离减去半径1，即d=求最小值，当m=4时，d最小，
考点：圆外一点到圆上一点距离最短问题；
三、解答题：（共6小题，共70分）
17.（本小题共10分）
已知集合A={x|log2≤1}，B={x|x2﹣2x+1﹣k2≥0}．
（1）求集合A；
（2）若A∩B≠∅，求实数k的取值范围．【答案】(1) A={x|x＜﹣4或x≥2};（2）﹣1≤k≤1
【解析】
试题分析：(1)利用集合A中，log2≤1=log22再利用对数函数的单调性得到0＜≤2，解此不等式组可求解；（2）由题意得，A∩B≠∅得到x2﹣2x+1﹣k2≥0在x∈（﹣∞，﹣4）∪=cosθcos（θ﹣φ）+sinθsin（θ﹣φ）变形可求解；
试题解析：
（1）∵与互相垂直，则，即sinθ=2cosθ，代入sin2θ+cos2θ=1得，又，
∴
（2）∵0＜φ＜，，
∴﹣＜θ﹣φ＜，则cos（θ﹣φ）==，
∴cosφ=cos=cosθcos（θ﹣φ）+sinθsin（θ﹣φ）=
考点：1.向量的数量积的运算；2.三角函数的基本关系式的运用；
19.（本小题共12分）
某校高一（2）班共有60名同学参加期末考试，现将其数学学科成绩（均为整数）分成六个分数段，画出如如图所示的部分频率分布直方图，请观察图形信息，回答下列问题：
（1）求70～80分数段的学生人数；
（2）估计这次考试中该学科的优分率（80分及以上为优分）、中位数、平均值；
（3）现根据本次考试分数分成下列六段（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第六组）为提高本班数学整体成绩，决定组与组之间进行帮扶学习．若选出的两组分数之差大于30分（以分数段为依据，不以具体学生分数为依据），则称这两组为“最佳组合”，试求选出的两组为“最佳组合”的概率．
【答案】(1)18（人）；（2）优分率为30%，中位数为75分，平均值为71分；（3）
【解析】
试题分析：(1)通过频率分布直方图，可算出70～80分数段的频率，乘以60即可算出来；（2）根据可求得成绩在80分及以上的学生人数，以此人数处以总数即为所求优分率，中位数是平分频率分布直方图面积数，平均数为各组中点数乘以这组的频率之各；（3）将这6组两两一组的所有组合一一列举，再将两组分数之差大于30分的所有组合一一列举，根据古典概型公式可求得所求概率。
试题解析：
该学科40～50分数段人数为60×0.01×10=6（人）；50～60分数段人数为60×0.015×10=9（人）；60～70分数段人数为60×0.015×10=9（人）；
70～80分数段人数为18人；80～90分数段人数为60×0.025×10=15（人）；90～100分数段人数为60×0.005×10=3（人）；
∴估计这次考试中位数为70～80分数段，即75分；
平均值为（45×6+55×9+65×9+75×18+85×15+95×3）=71（分）；
（3）所有的组合数：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），即n=5+4+3+2+1=15，符合“最佳组合”条件的有：（1，4），（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，6），即m=6，则P＝ ==．
考点：1.频率分布直方图的应用；2.古典概型及其概率的计算；
20.（本小题共12分）
如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，E为BD的中点．
（1）求证：BM⊥平面ADM；
（2）求直线AE与平面ADM所成角的正弦值．
【答案】(1)BM⊥平面ADM;（2）
【解析】
试题分析：(1)根据平面几何知识得AM⊥BM，据面面垂直的性质得出BM⊥平面ADM（2）以M为原点，MA，MB为x,y轴，以平面AMCD的垂线为z轴建立空间立体直角坐标系，设AD=1，求出和平面DM的法向量，则即为所求
试题解析：
（1）△ABM中，AB=2，，∴AM⊥BM，
又平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，且BM⊆平面ABCM，
∴BM⊥平面ADM…（6分）
（2）如图，以M点为坐标原点，MA所在直线为x轴，MB所在直线为y轴建立空间直角坐标系，则M（0，0，0），，，，
∵E为BD中点，∴，，
由（1）知，为平面ADM的一个法向量，，
，
∴直线AE与平面ADM所成角的正弦值为…（12分）
考点：1.直线与平面垂直的性质；2.直线与平面所成的角；
21.（本小题共12分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
【答案】(1)y=3或y=﹣x+3;（2）0≤a≤．
【解析】
试题分析：(1)联立直线与直线y=2x﹣4解析式得到方程组，求出方程组的解即得到圆心C坐标，根据A坐标设出切线方程，由圆心到切线的距离等于半径，列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，确定出切线方程即可；（2）设M(x,y)，由MA=2MO,利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以(0,1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得到两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式即可求出a的范围；
试题解析：
（1）联立得：，
解得：， ∴圆心C（3，2）．
若k不存在，不合题意；
若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即=1，
解得：k=0或k=﹣，
则所求切线为y=3或y=﹣x+3；
（2）设点M（x，y），由MA=2MO，知： =2，
化简得：x2+（y+1）2=4，
∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，
又∵点M在圆C上，C（a，2a﹣4），
∴圆C与圆D的关系为相交或相切，
∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，
∴1≤≤3，
解得：0≤a≤．
考点：1.圆的切线方程；2.点到直线的距离公式的运用；3.圆与圆位置关系的判定。
22. （本小题共12分）
已知函数f（x）=，g（x）=f（x）﹣a
（1）当a=2时，求函数g（x）的零点；
（2）若函数g（x）有四个零点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，记g（x）得四个零点分别为x1，x2，x3，x4，求x1+x2+x3+x4的取值范围．
【答案】(1)x=e2或x=，x=﹣2﹣;（2）0＜a≤1；（3）（﹣2，e+﹣4]
【解析】
试题分析：(1)根据函数零点的定义对f（x）分x＞0和x≤0列方程分别求出x的值；（2）函数g（x）=f（x）﹣a的零点个数即f（x）的图象与a的图象的交点个数，作函数f（x）的图象y=a的图象，结合两函数图象可知，利用数形结合进行判断求解；（3）根据函数的图象结合函数的对称性进行判断,不妨设x1＜x2＜x3＜x4，结合图象知x1+x2=﹣4且0＜x3＜1，x4＞1,由|lnx3|=|lnx4|=a，知x3x4=1且x4∈（1，e]可得出x3+x4范围，进而可求解出x1+x2+x3+x4的取值范围。
试题解析：
（1）当x＞0时，由|lnx|=2解得x=e2或x=，
当x≤0时，由x2+4x+1=2解得x=﹣2+（舍）或x=﹣2﹣，
∴函数g（x）有三个零点，分别为x=e2或x=，x=﹣2﹣．
（2）函数g（x）=f（x）﹣a的零点个数即f（x）的图象与a的图象的交点个数，
作函数f（x）的图象y=a的图象，结合两函数图象可知，
函数g（x）有四个零点时a的取值范围是0＜a≤1；
（3）不妨设x1＜x2＜x3＜x4，结合图象知x1+x2=﹣4且0＜x3＜1，x4＞1，
由|lnx3|=|lnx4|=a，知x3x4=1且x4∈（1，e]，
∴x3+x4=+x4∈（2，e+]，
故x1+x2+x3+x4的取值范围是∈（﹣2，e+﹣4]
考点：1.函数的零点与方程根的关系；2.分段函数的应用；3.数形结合思想，化归与转化思想的应用。