【推荐】专题7-3+简单的线性规划-2018年高三数学（文）一轮总复习名师伴学 25页

‎ ‎真题回放 ‎1. 【2017课标1，文7】设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为 A．0 B． 1 C．2 D．3‎ ‎【答案】D ‎ 2. 【2017课标3，文5】设x，y满足约束条件，则的取值范围是（ ）‎ A．[–3,0] B．[–3,2] C．[0,2] D．[0,3]‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点 处取得最小值 3. 【2017天津，文16】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：‎ 连续剧播放时长（分钟）‎ 广告播放时长（分钟）‎ 收视人次（万）‎ 甲 ‎70‎ ‎5‎ ‎60‎ 乙 ‎60‎ ‎5‎ ‎25‎ 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用， 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.‎ ‎（I）用，列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；‎ ‎（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析（Ⅱ）电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）设根据甲乙连续剧总的播放时间不多于600分钟，得到 ，根据广告时间不少于30分钟，得到 ，和 ，同时注意次数，需满足的条件，建立不等式组，画区域；（Ⅱ）求的最值，同时注意是整数解. ‎ 试题解析：（Ⅰ）解：由已知，满足的数学关系式为即 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：‎ 问题中的最优解是整数. ‎ 考点分析 考点 了解A 掌握B 灵活运用C 线性规划　‎ B ‎ 高考单独考查二元一次不等式（组）表示的平面区域的较少，常与面积、周长等结合考查。另外求线性规划问题的最值，以及与基本不等式、向量等知识结合考查，考查频率非常大。还有就是考查线性规划在生活中的应用，求解最优化问题等。‎ 知识链接 ‎1．二元一次不等式表示的平面区域 ‎(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．‎ ‎(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．‎ ‎2．线性规划相关概念 名称 意义 约束条件 由变量x，y组成的一次不等式 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值的函数 线性目标函数 关于x，y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 ‎3.重要结论 画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：‎ ‎(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；‎ ‎(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域 对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有 ‎(1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；‎ ‎(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．‎ ‎2．最优解和可行解的关系 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．‎ 融会贯通 题型一　二元一次不等式(组)表示的平面区域 典例1. 　 (1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的(　　)‎ ‎(2)不等式组所表示的平面区域的面积等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　(1)C　(2)C 或画出平面区域后，只有C符合题意．‎ ‎(2)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A(0，)，B(1,1)，C(0,4)，则△ABC的面积为×1×＝.故选C. ‎ 典例2　(1)(2015·重庆)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为(　　)‎ A．－3 B．1 C. D．3‎ ‎(2)若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是______________________________．‎ ‎【答案】　(1)B　(2) ‎ ‎ 由于直线y＝kx＋过定点.因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋能平分平面区域．‎ 因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点D.‎ 当y＝kx＋过点时，＝＋，‎ 所以k＝.‎ 解题技巧与方法总结 ‎(1)求平面区域的面积：‎ ‎①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；‎ ‎②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．‎ ‎(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．‎ ‎【变式训练】(1)不等式组表示的平面区域为Ω，直线y＝kx－1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为(　　)‎ A．(0,3] B．[－1,1]‎ C．(－∞，3] D．[3，＋∞)‎ ‎(2)已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为(　　)‎ A．1 B．－1 C．0 D．－2‎ ‎【答案】　(1)D　(2)A ‎ ‎ ‎(2)由于x＝1与x＋y－4＝0不可能垂直，所以只可能x＋y－4＝0与kx－y＝0垂直或x＝1与kx－y＝0垂直．‎ ‎①当x＋y－4＝0与kx－y＝0垂直时，k＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求．‎ ‎②当x＝1与kx－y＝0垂直时，k＝0，检验不符合要求．‎ 题型二　求目标函数的最值问题 典例3　 (2016·全国丙卷)若x，y满足约束条件 则z＝x＋y的最大值为________．‎ ‎【答案】　 典例4　实数x，y满足 ‎(1)若z＝，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；‎ ‎(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围．‎ ‎【答案】(1) [2，＋∞)．(2) [1,5]．‎ ‎【解析】　由作出可行域，‎ 如图中阴影部分所示．‎ ‎(1)z＝表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，‎ 因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在，即zmax不存在)．‎ 由得B(1,2)，‎ ‎∴kOB＝＝2，即zmin＝2，‎ ‎∴z的取值范围是[2，＋∞)．‎ ‎(2)z＝x2＋y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．‎ 因此x2＋y2的最小值为OA2，最大值为OB2.‎ 由得A(0,1)，‎ ‎∴OA2＝()2＝1，OB2＝()2＝5，‎ ‎∴z的取值范围是[1,5]．‎ 引申探究 ‎1．若z＝，求z的取值范围．‎ ‎【答案】(－∞，0]．‎ ‎【解析】　z＝可以看作过点P(1,1)及(x，y)两点的直线的斜率．‎ ‎∴z的取值范围是(－∞，0]．‎ ‎2．若z＝x2＋y2－2x－2y＋3.求z的最大值、最小值．‎ ‎【答案】zmax＝2＋1＝3，zmin＝＋1＝.‎ 典例5　(1)已知实数x，y满足如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m＝________.‎ ‎(2)已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝________.‎ ‎【答案】　(1)5　(2) ‎ ‎ ‎(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．‎ 易知直线z＝2x＋y过交点A时，z取最小值，‎ 由得 ‎∴zmin＝2－2a＝1，解得a＝.‎ 解题技巧与方法总结 ‎(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．‎ ‎(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：‎ ‎①表示点(x，y)与原点(0,0)的距离，表示点(x，y)与点(a，b)的距离；‎ ‎② 表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．‎ ‎(3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件．‎ ‎【变式训练】(1)(2016·临沂检测)若x，y满足约束条件则z＝x－y的最小值是(　　)‎ A．－3 B．0 C. D．3‎ ‎(2)当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ ‎【答案】　(1)A　(2)[1，]‎ 题型三　线性规划的实际应用问题 典例6　某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．‎ ‎(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润ω(元)；‎ ‎(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？‎ ‎【答案】详情见解析 解题技巧与方法总结 解线性规划应用问题的一般步骤 ‎(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．‎ ‎(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多) 的量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数．‎ ‎(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)．‎ ‎(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)．‎ ‎(5)检验：根据结果，检验反馈．‎ ‎【变式训练】(2016·昆明质检)某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a，b满足不等式组设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则x等于(　　)‎ A．10 B．12 C．13 D．16‎ ‎【答案】　C ‎【解析】　如图所示，画出约束条件所表示的区域，即可行域，作直线l：b＋a＝0，平移直线l，再由a，b∈N，可知当a＝6，b＝7时，xmax＝a＋b＝13. ‎ 练习检测 ‎1. （2017河南省安阳市第三十五中学2018届高三上学期入门诊断）实数x,y满足x-y≥0‎‎2x-y-2≤0‎y≥0‎，则z=2y-3x的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎‎-3‎ 截距最小，此时z最小，由y=0‎y=2x-2‎，解得x=1‎y=0‎，即A（1，0）‎，则zmin‎=2×0-3×1=-3‎，故答案为‎-3‎.‎ 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎2.（2017山东省淄博市淄川中. 若变量x，y满足约束条件 ，则z=3x+5y的取值范围是（　　）‎ A. [3，+∞） B. [﹣8，3] C. （﹣∞，9] D. [﹣8，9]‎ ‎【答案】D ‎ 3. （2017黑龙江省大庆实验中变量， 满足约束条件，则目标函数的最小值__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎ 4. （2017安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会）. 设实数满足不等式组，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. 12 D. 0‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出可行域如图所示：‎ 令易得，当经过点时的最大值为12‎ 故选C.‎ 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎5. （2017安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会）. 已知变量， 满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出可行域如图：根据图形，当目标函数过点 时， 有最小值，故选B．‎ ‎6. （2017湖北省部分重点中学高三7月联考）. 已知变量满足约束条件则的最小值为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ 考点：1.线性规划；2.函数最值.‎ ‎【思路点晴】对于线性目标函数，必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解.同时注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系；对于非线性目标函数，应考虑其具有的几何意义，依平面几何知识解答；对于交汇问题应转化为目标函数最值问题处理.对数运算公式必须记忆准确.‎ ‎7. （2017河南省师范大学附属中. 某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表：‎ 货物 体积（升/件）‎ 重量（公斤/件）‎ 利润（元/件）‎ 甲 ‎20‎ ‎10‎ ‎8‎ 乙 ‎10‎ ‎20‎ ‎10‎ 运输限制 ‎110‎ ‎100‎ 在最合理的安排下，获得的最大利润的值为__________．‎ ‎【答案】62‎ ‎ ‎ 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎8.（2017安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟）. 若实数满足，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎9.（2017山西省怀仁县第一中. 不等式组表示的平面区域为，直线与区域有公共点，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ 10. （2017浙江省衢州市教学质量检测）.已知实数满足，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 为可行域内一点，可行域如图，所以的取值范围是 ‎ ‎ ‎