- 684.50 KB
- 2024-02-17 发布
湖南省株洲市醴陵二中、醴陵四中2018-2019学年高二下学期期中联考数学理科
试卷
考试时间：120分钟 总分：150分
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。每小题只有一个选项最符合题意。）
1.复数在复平面内，z所对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.如图是导函数的图象，那么函数在下面哪个区间是减函数( )
A. B. C. D.
3.有一段“三段论”推理是这样的：
对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点.
以上推理中 （ ）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确
4. 9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品来检查，至少有两件一等品的种数是（ ）
A. B. C. D.
5. 的展开式中，含的项的系数（ ）
A.－9 B.121 C.-74 D.-121
6.函数在处有极值10, 则点为 （ ）
A. B. C. 或 D.不存在
7．随机变量服从二项分布～，且则等于（ ）
A. B. C. 1 D. 0
8. ＝（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
9、函数若函数上有3个零点，则m的
取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
10.从5名志愿者中选出4人分别到A、B、C、D四个部门工作，其中甲、乙两名志愿者不能到A、B二个部门工作，其他三人能到四个部门工作，则选派方案共有（ ）
A.120种 B.24种 C.18种 D.36种
11．曲线， 和直线围成的图形面积是 （ ）
A． B． C． D．
12．已知在区间上是减函数，那么（ ）
A．有最大值 B．有最大值－ C．有最小值 D．有最小值－
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题纸的对应位置上。）
13．已知随机变量服从正态分布，若，则 。
14．曲线上的点到直线的最短距离是 。
15．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是___ ___(写出所有正确结论的编号)．
①P(B)＝； ②P(B|A1)＝； ③事件B与事件A1相互独立；
④A1，A2，A3是两两互斥的事件；
⑤P(B)的值不能确定，因为不知道它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．
16．一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）
○●○○●○○○●○○○○●……
若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2019个圆中有实心圆的个数为 ．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（10分）已知，，
（1）求：，，的值； （2）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明。
18．（12分）用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数。
（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
（2）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如，等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；
（3）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数。
19.（12分）在某校组织的高二女子排球比赛中，有A、B两个球队进入决赛，决赛采用
7局4胜制．假设A、B两队在每场比赛中获胜的概率都是．并记需要比赛的场数为．
（Ⅰ）求大于4的概率； （Ⅱ）求的分布列与数学期望。
20.（12分）已知函数
（1）求的单调区间；
（2）求曲线在点（1，）处的切线方程；
（3）求证：对任意的正数与，恒有 。
21．（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
作物产量(kg)
300
500
概率
0.5
0.5
作物市场价格(元/kg)
6
10
概率
0.4
0.6
（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；
（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率。
22.（12分）已知函数
(1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求a的取值范围。
答案
考试时间：120分钟 总分：150分
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。每小题只有一个选项最符合题意。）
1.复数在复平面内，z所对应的点在（ B ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.如图是导函数的图象，那么函数在下面哪个区间是减函数( B )
A. B. C. D.
3.有一段“三段论”推理是这样的：
对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点.
以上推理中 （ A ）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确
4. 9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品来检查，至少有两件一等品的种数是（ D ）
A. B. C. D.
5. 的展开式中，含的项的系数（ A ）
A.－9 B.121 C.-74 D.-121
6.函数在处有极值10, 则点为 （ B ）
A. B. C. 或 D.不存在
7．随机变量服从二项分布～，且则等于（ B ）
A. B. C. 1 D. 0
8. ＝（ A ）
A.1 B.2 C.3 D.4
9、函数若函数上有3个零点，则m的
取值范围为 （ D ）
A． B． C． D．
10.从5名志愿者中选出4人分别到A、B、C、D四个部门工作，其中甲、乙两名志愿者不能到A、B二个部门工作，其他三人能到四个部门工作，则选派方案共有（ D ）
A.120种 B.24种 C.18种 D.36种
11．曲线， 和直线围成的图形面积是 （ D ）
A． B． C． D．
12．已知在区间上是减函数，那么（ B ）
A．有最大值 B．有最大值－ C．有最小值 D．有最小值－
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题纸的对应位置上。）
13．已知随机变量服从正态分布，若，则 0.6 。
14．曲线上的点到直线的最短距离是 。
15．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是__②__④____(写出所有正确结论的编号)．
①P(B)＝； ②P(B|A1)＝； ③事件B与事件A1相互独立；
④A1，A2，A3是两两互斥的事件；
⑤P(B)的值不能确定，因为不知道它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．
16．一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）
○●○○●○○○●○○○○●…… 若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2019个圆中有实心圆的个数为 62
．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（10分）已知，，
（1）求：，，的值； （2）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明
解：（1），， ……………………3分
（2）猜 ……………………5分
证明：下面用数学归纳法证明。
① 时，易证 ……………………6分
② 假设时，（k≥1，k∈N*），即：
则 ……………………9分
由①，②可知，对任意，都成立。 ……………………10分
18．（12分）用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．
（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
（2）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如，等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；
（3）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．
解：（1）偶数分为二类：
若个位数是0，则共有个；
若个位数是2或4，则共有个；
所以，共有30个符合题意的三位偶数。 ……………………4分
（2）“凹数”分三类：
若十位是0，则有个；
若十位是1，则有个；
若十位是2，则有个；
所以，共有20个符合题意的“凹数”。 ……………………8分
（3）符合题意的五位数分为三类：
若两个奇数数字在一、三位置：共有个；
若两个奇数数字在二、四位置：共有个；
若两个奇数数字在三、五位置：共有个；
所以，共有28个符合题意的五位数。 ……………………12分
19.（12分）在某校组织的高二女子排球比赛中，有A、B两个球队进入决赛，决赛采用
7局4胜制．假设A、B两队在每场比赛中获胜的概率都是．并记需要比赛的场数为．
（Ⅰ）求大于4的概率； （Ⅱ）求的分布列与数学期望．
解：（Ⅰ）依题意可知，的可能取值最小为4．
当＝4时，整个比赛只需比赛4场即结束，这意味着A连胜4场，或B连胜4场，于是，由互斥事件的概率计算公式，可得
P（＝4）＝2＝．
∴ P（＞4）＝1－P（＝4）＝1－＝．
即＞4的概率为． ……………………4分
（Ⅱ）∵的可能取值为4，5， 6，7，可得
P（＝4）＝2＝ P（＝5）＝2＝
P（＝6）＝2＝ P（＝7）＝2＝
……………………8分
∴的分布列为：
4
5
6
7
P
……………………10分
的数学期望为：E＝4＋5＋6＋7＝． ……………………12分
20.（12分）已知函数
（1）求的单调区间；
（2）求曲线在点（1，）处的切线方程；
（3）求证：对任意的正数与，恒有．
解：（1）单调增区间 ，单调减区间 ……………………4分
（2）切线方程为 ……………………8分
（3）所证不等式等价为 ……………………9分
而，设则，由（1）结论可得，由此，所以即，记代入得证。 ………………12分
21．（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
作物产量(kg)
300
500
概率
0.5
0.5
作物市场价格(元/kg)
6
10
概率
0.4
0.6
（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；
（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．
解：（1）设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，
∵利润＝产量×市场价格－成本，
∴X所有可能的取值为
500×10－1000＝4000，500×6－1000＝2000，
300×10－1000＝2000，300×6－1000＝800． ………2分
，
，
，
∴X的分布列为
X
4000
2000
800
P
0.3
0.5
0.2
…………………6分
（2）设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”(i＝1，2，3)，
由题意知C1，C2，C3相互独立，由（1）知，
P(Ci)＝P(X＝4000)＋P(X＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1，2，3)，
3季的利润均不少于2000元的概率为P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；……8分
3季中有2季的利润不少于2000元的概率为
， ………………10分
∴这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.512＋0.384＝0.896．
……………………12分
22.（12分）22.（12分）已知函数
(1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求a的取值范围。
解：(1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)． ………………1分
①设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.
所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． ………………3分
① 设a＜0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．
若a＝－，则f′(x)＝(x－1)(ex－e)，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． ………………4分
若a＞－，则ln(－2a)＜1，
故当x∈(－∞，ln(－2a))∪(1，＋∞)时，f′(x)＞0；
当x∈(ln(－2a)，1)时，f′(x)＜0.
所以f(x)在(－∞，ln(－2a))，(1，＋∞)上单调递增，
在(ln(－2a)，1)上单调递减． ………………5分
若a＜－，则ln(－2a)＞1，
故当x∈(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)＞0；
当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)＜0.
所以f(x)在(－∞，1)，(ln(－2a)，＋∞)上单调递增，
在(1，ln(－2a))上单调递减． ………………6分
(2)①设a＞0，则由(1)知，f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b满足b＜0且b＜ln ，则f(b)＞(b－2)＋a(b－1)2＝a＞0，所以f(x)有两个零点． ………………8分
②设a＝0，则f(x)＝(x－2)ex，所以f(x)只有一个零点． ………………9分
③设a＜0，若a≥－，则由(1)知，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．又当x≤1时，f(x)＜0，故f(x)不存在两个零点；若a＜－，则由(1)知，f(x)在(1，ln(－2a))上单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)上单调递增．又当x≤1时，f(x)＜0，故f(x)不存在两个零点． ………………11分
综上，a的取值范围为(0，＋∞)． ………………12分