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- 2024-02-14 发布
数学（理）周测
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知全集，集合，集合，则阴影部分所示集合为（ ）
A． B． C． D．
2.已知是虚数单位，复数的共轭复数与复平面内的点对应，则复数对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.设等比数列的前项和为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4.当时，函数取得最小值，则函数是（ ）
A．奇函数且图象关于直线对称 B．偶函数且图象关于点对称
C.奇函数且图象关于点对称 D．偶函数且图象关于点对称
5.已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（ ）
A． B． C. D．
6.若正实数，，满足，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C. 4 D．5
7.方程，的根存在的大致区间是（ ）
A． B． C. D．
8.若，满足且仅在点处取得最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
9.已知点，，在圆上，满足（其中为坐标原点），又，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A． B．1 C. D．
10.如图，在正三棱锥中，、分别是棱、的中点，且，若，则此正三棱锥外接球的体积是（ ）
A． B． C. D．
11.利若直角坐标平面内的两不同点、满足条件：①、都在函数的图象上；②、关于原点对称。则称点对是函数的一对“友好点对”（注：点对与看作同一对“友好点对”）。已知函数，则此函数的“友好点对”有（ ）对
A．0 B．1 C.2 D．3
12.定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（ ）
A． B．
C. D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知函数，则的解集为 ．
14.已知向量，的夹角为，且，，则 ．
15.在直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，以轴为非负半轴为始边，若其终边经过点，且，定义：，称“”为“的正余弦函数”，若，则 ．
16.若数列满足，且数列的前项和为，若实数满足对于任意都有，则的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分10分）在中，三个内角分别为，已知，．
⑴求的值；
⑵若，为的中点，求的长．
18. （本小题满分12分）在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，．
⑴求与；
⑵设数列满足，求的前项和．
19. （本小题满分12分）已知斜三棱柱的底面是直角三角形，，侧棱与底面所成角为，点在底面上身影落在上．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若点恰为中点，且，求的大小；
（Ⅲ）若，且当时，求二面角的大小．
20. （本小题满分12分）如图，海上有、两个小岛相距，船将保持观望岛和岛所成的视角为，现从船上派下一只小艇沿方向驶至处进行作业，且．设．
⑴用分别表示和，并求出的取值范围；
⑵晚上小艇在处发出一道强烈的光线照射岛，岛至光线的距离为，求的最大值．
21. （本小题满分12分）已知数列中，，且点在直线上．
⑴求数列的通项公式；
⑵若函数（，且），求函数的最小值；
⑶设，表示数列的前项和，试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．
22. （本小题满分12分）已知．
⑴曲线在处的切线恰与直线垂直，求的值；
⑵若，求的最大值；
⑶若，求证：．
数学试题（理科）答案
一、选择题
1-5:BDCAC 6-10:CBDAB 11、12：BD
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：⑴因为，且，，
则．
，
所以．
18.解：⑴因为，所以，得，（舍），，
，…………………………6分
⑵因为，所以
得……………… 12分
19.解：⑴∵，平面，∴，
又∵，，∴………………4分
⑵，
∴四边形为菱形，又∵为中点，，
∴为侧棱和底面所成的角，∴，
∴，即侧棱与底面所成角………………8分
⑶以为原点，为轴，为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，平面的法向量，
设平面的法向量为，
由，得，，，
∵二面角大小是锐二面角，∴二面角的大小是．……12分
20.解：⑴在中，，，
由余弦定理得，，
又，所以①…………1分
在中，，
由余弦定理得，
②………………………………3分
得，
得，即，……4分
又，所以，即，
又，即，所以…………6分
⑵易知，
故………………8分
又，设，
所以，，……………………9分
又，………………………………………… 10分
则在上是增函数，
所以的最大值为，即的最大值为10．………………12分
（利用单调性定义证明在上是增函数，同样给满分；如果直接说出在上是增函数，但未给出证明，扣2分．
21.解：⑴∵点在直线上，即，且，
∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴，也满足，∴．
⑵∵，
，
∴，
∴是单调递增的，故的最小值是．
⑶∵，∴，
即，∴，
∴，
∴，∴．
故存在关于的整式，使等式对于一切不小于2的自然数恒成立．
法二：先由的情况，猜想出，再用数学归纳法证明．
22. ⑴解：由，
得：，则，所以，得．
⑵解：令，得，即，
由，得，由，得：．
∴在上为增函数，在上为减函数．
∴当，即时，，
当，即时，，
当，即时，．
⑶证明：由⑵知，
∵，
∴，
∴，得：，
∴，且，
得，又，，
∴．