2019-2020学年山东省德州市高二上学期期末数学试题（解析版） 23页

‎2019-2020学年山东省德州市高二上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．设命题：，，则为（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用特称命题的否定是全称命题，直接写出结果，判断选项即可．‎ ‎【详解】‎ 解：因为特称命题的否定是全称命题，‎ 所以命题 “，”，则是“，”．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的关系，属于基础题．‎ ‎2．已知双曲线的实轴长为2，焦点为，，则该双曲线的标准方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接利用双曲线的基本性质求出，然后写出双曲线方程即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意考查，，．‎ 双曲线以、为焦点，‎ 双曲线的标准方程是：．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的标准方程的求法，属于基础题．‎ ‎3．若直线与直线互相平行，那么的值等于（ ）‎ A．1或0 B． C．0 D．0或 ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，由直线平行的判定方法可得，解可得的值，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，如果直线与直线互相平行，‎ 则有，‎ 解得或；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的一般式方程的应用，涉及直线平行的判定，属于基础题．‎ ‎4．如图，平行六面体中，与的交点为，设，，，则下列选项中与向量相等的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图所示，利用向量三角形法则、平行四边形法则、向量共线定理即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：如图所示，，‎ ‎，，，，，‎ ‎，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量三角形法则、平行四边形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎5．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 ‎【答案】B ‎【解析】根据线面平行、垂直，面面平行、垂直的性质及判定定理一一判断即可.‎ ‎【详解】‎ 解：对于：若，，则直线与平面，可能平行，相交，或，故错误；‎ 对于：若，，，则与一定不平行，否则，与已知矛盾，通过平移使得与相交，且设与确定的平面为，则与和的交线所成的角即为与所成的角，因为，所以与所成的角为，即，故正确；‎ 对于：若，，则直线与平面，可能平行或，故错误；‎ 对于：若，，，，无法得到，还需一个条件、相交于一点，故错误；‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题．‎ ‎6．点在直线上，过点作圆：的切线和 ‎，切点分别为，，则四边形面积的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由圆的方程为求得圆心、半径为：1，由“若四边形面积最小，则圆心与点的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长，最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解．‎ ‎【详解】‎ 解：圆的方程为：‎ 圆心、半径为：1‎ 根据题意，若四边形面积最小当圆心与点的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，‎ 切线长，最小 圆心到直线的距离为 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，同时，还考查了转化思想．属于中档题．‎ ‎7．如图，正三棱柱中，，，是的中点，则与平面所成角的正弦值等于　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】以为原点，在平面中，过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与平面所成角的正弦值．‎ ‎【详解】‎ 解：以为原点，在平面中，过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎，，则，，，，0，，，0，，，1，，‎ ‎，，，，0，，，，，‎ 设平面的法向量，，，‎ 则，取，得，，，‎ 设与平面所成角为，‎ 则，‎ 与平面所成角的正弦值为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．‎ ‎8．已知直线：，若，则倾斜角的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求出直线斜率的取值范围，进而利用三角函数的单调性可求出直线倾斜角的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：：‎ 则 设的倾斜角为，则 当时直线的斜率为，倾斜角为，‎ ‎，的倾斜角为 综上，‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 熟练掌握直线的斜率和三角函数的单调性及值域是解题的关键，属于中档题．‎ 二、多选题 ‎9．双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，下列结论正确的是（ ）‎ A．该双曲线的离心率为 B．该双曲线的渐近线方程为 C．点到两渐近线的距离的乘积为 D．若，则的面积为32‎ ‎【答案】BC ‎【解析】由所给双曲线方程计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：‎ ‎，故错误；‎ 双曲线的渐近线方程为即，故正确；‎ 设双曲线上一点，即 则到两渐近线的距离的乘积为，故正确；‎ 若，则 由焦点三角形面积公式，故错误.‎ 综上，正确的有 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的简单几何性质，焦点三角形的面积公式，属于基础题.‎ ‎10．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，‎ 两点（点在第一象限），则下列结论中正确的是（ ）‎ A． B．‎ C．若直线的倾斜角为，则 D．若直线的倾斜角为，则 ‎【答案】AC ‎【解析】根据所给条件一一计算验证可得.‎ ‎【详解】‎ 解：抛物线的焦点为，准线为 当斜率不存在时，则过焦点的直线的方程为 则， ‎ 此时，‎ 故错误；‎ 当斜率存在时，设过焦点的直线方程为 联立直线与抛物线方程得消元得 由韦达定理可得，，故正确；‎ 若直线的倾斜角为，则，‎ ‎，故错误；‎ ‎ ‎ 过、分别作准线的垂线，垂足分别为，，作，垂足为，‎ 设，，则 由抛物线的定义得，，‎ ‎，‎ ‎，于是，解得，‎ 则，故正确；‎ 综上，正确的有 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的简单几何性质，属于中档题.‎ ‎11．若原点到直线的距离不大于1，则直线与下列曲线一定有公共点的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】AC ‎【解析】原点到直线的距离小于或等于1，故直线一定经过圆面 内的点，画图可得与直线一定有公共点的曲线．‎ ‎【详解】‎ 解：原点到直线的距离小于或等于1，故直线一定经过圆面 ‎ 内的点，如图所示：故与直线一定有公共点的曲线的是，‎ 故选：．‎ ‎、 、 ‎ ‎、 、‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，体现了数形结合和的数学思想，判断直线一定经过圆面 内的点是解题的关键，属于中档题．‎ ‎12．在中，，，，点、分别为边，上的两点（不与端点重合），且，将沿折起，使平面平面，则下列说法正确的是（ ）‎ A．平面 B．若为的中点，三棱锥的体积等于三棱锥的体积 C．若为的中点，三棱锥的体积为 D．上存在两个不同的点，，使得 ‎【答案】ACD ‎【解析】根据线面平行的判定定理证明平面，再利用三角形相似计算线段，由所给条件依次计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解： ，将沿折起，使平面平面 ‎，‎ 平面，平面，且 平面，故正确；‎ ‎，平面平面，平面平面 平面 ‎，‎ 当为的中点时， ，‎ ‎ ‎ ‎，故错误；‎ 当为的中点时，‎ ‎ ‎ ‎，故正确；‎ 设，则，‎ 解得，‎ 故上存在两个不同的点，，使得，故正确；‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面垂直的判定，三棱锥的体积计算问题，属于中档题.‎ 三、填空题 ‎13．已知在空间直角坐标系中，点，，则______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】根据向量的坐标表示，表示出向量，再计算其模.‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的坐标表示，以及向量的模的计算，属于基础题.‎ ‎14．已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为.若的面积为8，则此圆锥的外接球的表面积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】通过的面积为8求得母线长，利用母线与底面所成角可得轴截面为等腰三角形，易得外接球球心和半径，得解．‎ ‎【详解】‎ 解 ‎：‎ 如图，设母线长为，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 延长使，‎ 则为外接球球心，半径为4，‎ 表面积为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了圆锥外接球，属于基础题．‎ ‎15．如图，在直三棱柱中，，，则异面直线与所成角为______；二面角的余弦值是______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】为坐标原点，分别以，，为、、轴建立空间直角坐标系，‎ 利用空间向量法求出异面直线的夹角以及二面角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ 解：直三棱柱中，，‎ ‎，，‎ 如图以为坐标原点，分别以，，为、、轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，,，，‎ ‎,，‎ 所以异面直线与所成角为；‎ 设平面的法向量为 则即令，则 显然平面的一个法向量为 故二面角的余弦值是 故答案为：；‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用空间向量法求异面直线的夹角以及二面角的余弦值，属于中档题.‎ ‎16．已知为坐标原点，，分别为椭圆：的左、右焦点，过点且斜率为的直线与椭圆交于点，且，则椭圆 的离心率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据所给条件画出草图，由三角形的相关知识可得，，又即可求得椭圆的离心率.‎ ‎【详解】‎ 解：如图 依题意，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的离心率的计算，关键是画出草图，数形结合分析，属于基础题.‎ 四、解答题 ‎17．已知命题：方程表示双曲线，命题：方程表示椭圆或圆，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分别求出命题、为真参数的取值范围，因为是的必要不充分条件，转化为集合的包含关系，求参数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：因为方程表示双曲线，‎ 所以，‎ 解得，‎ 因为方程表示椭圆或圆，‎ 所以，‎ 得，‎ 因为是的必要不充分条件，‎ 所以是的真子集，‎ 所以，‎ 所以.‎ 经检验满足条件，所以的取值范围.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用双曲线和椭圆的方程的等价条件是解决本题的关键，属于基础题.‎ ‎18．在平面直角坐标系中，①已知点，，为曲线上任一点，到点的距离和到点的距离的比值为2；②圆经过，，且圆心在直线上.从①②中任选一个条件.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）若直线被曲线截得弦长为2，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）若选择条件①，根据平面直角坐标系上任意两点的距离公式计算，化简可得.‎ 若选择条件②，求出直线的方程，的中点坐标，即可得到的垂直平分线的方程，联立得到圆心坐标，再用两点的距离公式求出半径，即可得解.‎ ‎（2）根据弦长求出圆心到直线的距离，利用点到线的距离公式求出参数的值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）选择条件①‎ 则，即，‎ 所以，整理得：，即.‎ 选择条件②，‎ ‎，的中点为，，‎ 所以的垂直平分线方程为，即，‎ 所以，解得圆心.‎ ‎，所以曲线的方程为.‎ ‎（2）直线被曲线截得弦长为2，圆心到直线的距离 ‎.‎ 由点到直线的距离公式，‎ 解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求动点的轨迹方程，以及圆的弦长问题，属于基础题.‎ ‎19．如图，在三棱柱中，侧面为菱形，边长为2，且，，是的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若平面平面，与平面所成的角为，求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】（1）连接，设，连接.利用三角形中位线的性质可证，即可得证.‎ ‎（2）为正三角形，所以，再由平面平面，可得平面，利用割补法求出四棱锥的体积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：连接，设，连接.‎ 因为三棱柱的侧面为平行四边形，所以为的中点.‎ 在中，因为是的中点，‎ 所以.‎ 因为平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）因为为正三角形，所以，，‎ 因为平面平面，平面平面，‎ 所以平面，‎ 所以为与平面所成的角，所以，‎ 所以，‎ 因为，为中点，‎ 所以.‎ 所以 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行的判定，四棱锥的体积的计算问题，属于基础题.‎ ‎20．已知抛物线：的焦点为，为抛物线上一点，为坐标原点，的外接圆与抛物线的准线相切，且外接圆的周长为.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）已知点，设不垂直于轴的直线与抛物线交于不同的两点，，若，证明直线过定点并写出定点坐标.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析,恒过定点 ‎【解析】（1）先求出的外接圆的半径长，再利用抛物线的定义可求出的值，从而得出抛物线的方程；‎ ‎（2）设的方程为，，，联立直线与抛物线方程，列出韦达定理，等价于即可得到、的关系，即可得到直线恒过定点.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为的外接圆与抛物线的准线相切，‎ 所以的外接圆的圆心到准线的距离等于半径，‎ 因为外接圆的周长为，所以圆的半径为3，‎ 又圆心在的垂直平分线上，，‎ ‎，解得：，‎ 所以抛物线的方程为.‎ ‎（2）设的方程为，，，‎ 由得，，则.‎ 所以，，‎ 因为，所以，‎ 即，化简得，‎ 所以，所以，‎ 所以的方程为，恒过定点.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的定义以及方程的求解，同时也考查了韦达定理法在抛物线综合问题中的应用，属于中档题．‎ ‎21．正方形的边长为2，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，平面平面.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】（1）利用正方形的性质可得垂直于面，得到又，所以再由已知条件即可证明．‎ ‎（2）作，垂足为，由（1）得，平面，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由已知可得，平面平面，平面，，‎ 平面平面，所以平面，‎ ‎，又，所以，又，‎ 且，所以平面.‎ ‎（2）作，垂足为，由（1）得，平面.‎ 以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 由（1）可得，.又，，所以.故.‎ 可得，.‎ 则，，，，，，，‎ 由（1）知：为平面的法向量，.‎ 设平面的法向量为，则：，即，‎ 所以，令，则，.‎ 则.‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面垂直的判定、利用空间向量法求二面角的余弦值，属于中档题.‎ ‎22．已知椭圆：的离心率为，椭圆的四个顶点构成的四边形面积为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若是椭圆上的一点，过且斜率等于的直线与椭圆交于另一点，点关于原点的对称点为.求面积的最大值及取最大值时直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）取得最大值.此时直线的方程为 ‎【解析】（1）利用已知条件求出，，即可得到椭圆方程．‎ ‎（2）设，，则，直线的斜率，利用点差法可得与的关系，求出，设方程为，联立直线与椭圆方程，列出韦达定理，表示出三角形的面积，即可计算面积最值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）根据题意，椭圆：的离心率为，则有，‎ 以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为，则有，‎ 又，解得，.‎ 故椭圆的方程为.‎ ‎（2）设，，‎ 则，直线的斜率，‎ 由，两式相减，，‎ 由直线，所以.‎ 连结，因为，关于原点对称，所以，设方程为，‎ 由，‎ 整理得：，，得.‎ ‎，，‎ ‎.‎ 所以当时，取得最大值.此时直线的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查弦长和面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力．‎