数学文卷·2019届湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高二下学期期中考试（2018-04） 8页

‎2018年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”‎ 高二期中考试 数学（文科）试题 ‎ 命题学校：襄阳五中 ‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项）‎ ‎1.复数满足，则（　　）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.下列命题为真命题的是（　　）‎ A. 若为真命题，则 为真命题 B. 是的充分不必要条件 C. 命题“若 ，则”的否命题为：“若 ，则” D. 已知命题，使得，则¬，使得．‎ ‎3.下列说法中正确的是（　　）‎ A. 先把高二年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150…的学生，这种抽样方法是分层抽样法 B. 线性回归直线不一定过样本中心 C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 D. 若一组数据的平均数是5，则该组数据的方差也是5‎ ‎4.抛掷一枚骰子，记事件为“落地时向上的点数是奇数”，事件为“落地时向上的点数是偶数”，事件为“落地时向上的点数是3的倍数”，事件为“落地时向上的点数是6或4”，则下列各对事件是互斥事件但不是对立事件的是（　　）‎ A. 与 B. 与 C.与 D. 与 x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y ‎ -1‎ ‎1‎ ‎8‎ m ‎5.根据表格中的数据用最小二乘法计算出变量的线性回归方程为，则表格中的值是（　　）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知椭圆的左右焦点分别是，其离心率，过左焦点作一条直线与椭圆交于两点，已知的周长是，则该椭圆的方程是（　　）A. B. C. D. ‎ ‎7.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输出的m的值为0，则输入的a的值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.已知抛物线的焦点是，其上一点，其中，则（　　）‎ A. 8 B.4 C. D. ‎ ‎9.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．在如图所示的一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（　　） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知双曲线的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为的直线交双曲线于两点，则截得的弦长（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.设函数．若曲线在点处的切线方程是，则曲线在点处的切线方程是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.如图，在底面半径为和高为的圆锥中，是底面圆的两条互相垂直 的直径，是母线的中点，若过直径与点的平面与圆锥侧面的交线是以 为顶点的抛物线的一部分，则圆锥顶点到该抛物线焦点的距离为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填入相应的位置）‎ ‎13.已知，，，且是成立的必要不充分条件，则实数的取值范围是__________．‎ ‎14.已知椭圆，过点作直线交椭圆于两点，且点是的中点，则直线的方程是__________．‎ ‎15.已知直线与曲线相切于点，则_______．‎ ‎16.如图所示三角形数阵中，为第行从左到右的第个数，例如，若，则______．‎ 三、解答题（共6小题，共70分，解答题需要写出必要的文字说明和解析过程）‎ ‎17.(本小题12分)共享单车是指企业为校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是一种分时租赁模式，某共享单车企业为更好地服务社会，随机调查了100人，统计了这100‎ 人每日平均骑行共享单车的时间（单位：分钟），将统计数据分为：六个小组，得到右侧频率分布直方图，已知骑行时间在[60，80），[20，40），[40，60）三组对应的人数依次成等差数列. （1）求频率分布直方图中的值；‎ ‎（2）估计这100人每日平均骑行共享单车时间的中位数；（保留小数点后两位小数） ‎ ‎（3）若将日平均骑行时间不少于80分钟的用户定义为“忠实用户”，将日平均骑行时间少于40分钟的用户为“潜力用户”，现从上述“忠实用户”与“潜力用户”的人中按分层抽样选出5人，再从这5人中任取3人，求恰好1人为“忠实用户”的概率．‎ ‎18.(本小题12分)已知函数，‎ ‎（1）若是的极值点，求在上的最小值和最大值；‎ ‎（2）若在上是单调递增函数，求实数的取值范围．‎ ‎19.(本小题12分)某重点高中计划面向高二年级1200名学生开设校本选修课程，为确保工作的顺利实施，先按性别进行分层抽样，抽取了180名学生对社会科学类，自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查，其中男生有105人．在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45人． （1）分别计算抽取的样本中男生及女生选择社会科学类的频率，并以统计的频率作为概率，估计实际选课中选择社会科学类学生的人数；‎ ‎（2）根据抽取的180名学生的调查结果，完成下列列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？‎ 选择自然科学类 选择社会科学类 合计 男生 女生 合计 附：，其中．‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎20.(本小题12分)已知函数，（其中为常数）． （1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围； （3）若，令，证明：．‎ ‎21.(本小题12分)已知圆和定点，其中点是该圆的圆心，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，设动点的轨迹为． （1）求动点的轨迹方程；‎ ‎（2）设曲线与轴交于两点，点是曲线上异于的任意一点，记直线的斜率分别为，．证明：是定值；‎ ‎（3）设点是曲线上另一个异于的点，且直线与的斜率满足，‎ 试探究：直线是否经过定点？如果是，求出该定点，如果不是，请说明理由．‎ ‎22.(本小题10分)已知命题不等式恒成立；命题方程表示双曲线．若命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎2018年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”‎ 高二期中考试数学（文科）试题答案 ‎1---5 BBDCA 6---10 BCBAC 11-12 DA ‎ ‎13. 14. 15. 5 16. 87 ‎ ‎17.解：（1）由…（1分） 解得，又．…（3分）‎ ‎（2），所以中位数大约是 ‎…（6分） （3）“忠实用户”“潜力用户”的人数之比为：，所以“忠实用户”抽取人，“潜力用户”抽取人，…（8分） 记事件：从5人中任取3人恰有1人为“忠实用户” 设两名“忠实用户”的人记为：，三名“潜力用户”的人记为：， 则这5人中任选3人有：，，，共10种情形，符合题设条件有：共有6种．…（10分）‎ 因此恰好1人为“忠实用户”的概率为．…（12分）‎ ‎18.解：（1）函数，可得…（2分）‎ 可知在上单调递减，在上单调递增，4分 且，所以…（6分）‎ ‎(2)函数&分参可得…（8分）‎ ‎，，即…（12分）‎ ‎19.解：（Ⅰ）由条件知，抽取的男生为105人，女生为180-105=75人； 男生选择社会科学类的频率为，女生选择社会科学类的频率为；… （2分） 由题意，男生总数为人，女生总数为人，… （4分） 所以，估计选择社会科学的人数为人；… （6分） （Ⅱ）根据统计数据，可得列联表如下： ‎ 选择自然科学类 选择社会科学类 合计 男生 ‎60‎ ‎45‎ ‎105‎ 女生 ‎30‎ ‎45‎ ‎75‎ 合计 ‎90‎ ‎90‎ ‎180‎ 计算观测值， 所以，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关．… （12分）‎ ‎20.解：（1）函数的定义域是，，‎ 当时，，即在上单调递增；…（2分）‎ ‚当时，，可得，可知在上单调递增，在上单调递减；…（4分）‎ ‎(2)，分参可得，，可得，即在单调递增，在上单调递减，…（6分）‎ 通过数形结合可知…（8分）‎ ‎(3)已知，可得，则，所以在上单调递增，又，所以在上有唯一的实数根，且，当时，，当时，，从而当时，取极小值，也是最小值，由，得，则，… （10分）‎ 故，，所以科．&… （12分）Z&X&X&K ‎21.解：（1）依题意可知圆的标准方程为，因为线段 的垂直平分线交于点，所以，动点始终满足，故动点满足椭圆的定义,因此，解得，∴椭圆的方程为，…（3分）‎ ‎（2）），设，则（6分） （3），由（2）中的结论可知，所以 ，即，当直线的斜率存在时，可设的方程为，，可得，‎ 则（），…（7分）， …（8分） 将（）式代入可得，即，‎ 亦即 …（10分）‎ 当时，，此时直线恒过定点（舍）；‎ 当时，，此时直线恒过定点；‎ 当直线的斜率不存在时，经检验，可知直线也恒过定点；‎ 综上所述，直线恒过定点. …（12分）‎ ‎22.解：若命题为真命题，则，所以；…（2‎ 分） 若命题为真命题，则，所以；…（4分） 因为命题为真命题，为假命题，即与必定为一真一假 当命题为真命题，命题为假命题时，，则；…（6分） 当命题为假命题，命题为真命题时，，则；…（8分） 综上，．…（10分）‎