数学文卷·2018届河北武邑中学高三下学期第三次质检考试（2018 15页

河北武邑中学2018届高三第二学期第三次质量检测考试 数学试题（文科） 命题人 闫秀香 注意事项：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和II卷（非选择题）两部分，满分分，考试时间分钟。‎ ‎2．答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。‎ ‎3．选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效。‎ 第Ⅰ卷 选择题（共60分）‎ 一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上。‎ ‎1．设集合， ，则 A. B. C. D. ‎ ‎2．已知是虚数单位， ，则复数的共轭复数为 A. B. C. D. ‎ ‎3.命题“若，则”的逆否命题是 A. 若，则或 B. 若，则 ‎ C. 若或，则 D. 若或，则 ‎4.已知等差数列的前和为，若，，则=‎ A． B． C. D．‎ ‎5. 运行如图所示框图的相应程序，若输入的值分别为和，则输出的值是 A．-1 B．0 C. 1 D．3 ‎ ‎6. 已知，则 A. B. C. D.‎ ‎7. 函数（其中e为自然对数的底数）的图象大致为 ‎ ‎ ‎ ‎8.已知函数相邻两条对称轴间的距离为，且，则下列说法正确的是 A． B．函数为偶函数 ‎ C.函数在上单调递增 D．函数的图象关于点对称 ‎9．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，面积最大面的面积为 A． B． C．2 D．4‎ ‎10．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图①的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为1，从第三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和．现将杨辉三角形中的奇数换成，偶数换成，得到图②所示的由数字和组成的三角形数表，由上往下数，记第行各数字的和为，如，，，，……，则=‎ ‎ ‎ A.2 B.4 C. 8 D. 12‎ ‎ ‎ ‎11.已知离心率为的双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，则 ‎ A．32 B．16 C．8 D．4‎ ‎12. 若关于的方程存在三个不等实根，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置。‎ ‎13.平面内有三点且，则x= ．‎ ‎14．若，满足约束条件则的最小值为 ．‎ ‎15.已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在准线上，若，且直线的斜率，则△的面积为 . ‎ ‎16. 如图，在三棱锥中，平面，，‎ 已知，，则当最大时，‎ 三棱锥的体积为 ． ‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17．（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，已知.‎ ‎（1）证明： ；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎ ‎ ‎18．（本小题满分12分）某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过站的地铁票价如下表：‎ 乘坐站数 票价（元）‎ 现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过站，且他们各自在每个站下车的可能性是相同的.‎ ‎（1）若甲、乙两人共付费元，则甲、乙下车方案共有多少种？‎ ‎（2）若甲、乙两人共付费元，求甲比乙先到达目的地的概率.‎ ‎ ‎ ‎19．（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，点在线段上，平面．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若△是等边三角形，，平面平面，四棱锥的体积为，求点到平面的距离．‎ ‎ ‎ ‎20. （本小题满分12分）已知椭圆： 的左、右焦点分别为和，离心率是，直线过点交椭圆于， 两点，当直线过点时， 的周长为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）当直线绕点运动时，试求的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎21. （本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）当时，证明：.‎ ‎ ‎ ‎(二)选考题：共10分，考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22. （本小题满分10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．‎ ‎（1）求曲线的普通方程；‎ ‎（2）在以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线方程为，已知直线与曲线相交于、两点，求．‎ ‎ ‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23．（本小题满分10分）‎ 设 ‎（1）当，解不等式；‎ ‎（2）当时，若，使得不等式成立，求实数的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 第三次质量检测考试数学试题（文科）答案 1. 一． BADAD AACBD CC ‎12. 【解析】原方程可化为，令，则．‎ 设，则得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．故当时，函数有极大值，也为最大值，且．可得函数的图象如下：‎ ‎∵关于的方程存在三个不等实根，∴方程有两个根，且一正一负，且正根在区间内．令，则有，解得．‎ ‎∴实数的取值范围是．选C．‎ 二．填空题：13．1 14、0 15、 16、4‎ 三．17解：（1）∵，∴， 2分 由余弦定理可得，∴， ‎ ‎∴. 4分 ‎（2）∵，∴，（6分）‎ 由正弦定理得，∴，（9分）‎ 又，（10分）∴.（12分）‎ ‎18.（1）由题意知甲、乙乘坐地铁均不超过站，（2分）前站设为，，， ‎ 甲、乙两人共有，，，，，，，，种下车方案. （4分）‎ ‎（2）设站分别为，，，，，，，，，因为甲、乙两人共付费元，共有甲付元，乙付元；甲付元，乙付元；甲付元，乙付元三类情况.（7分）‎ 由（1）可知每类情况中有种方案，所以甲、乙两人共付费元共有种方案.（9分）‎ 而甲比乙先到达目的地的方案有，，，，，，，，，，，，共种，（11分）‎ 故所求概率为.‎ 所以甲比乙先到达目的地的概率为.（12分）‎ ‎19.‎ ‎ ‎ ‎（5分）‎ ‎ ‎ ‎ .（12分）‎ ‎20解：（Ⅰ）∵的周长为 ‎ ‎，‎ ‎∴，（2分）‎ 又，∴，∴， ‎ ‎∴椭圆的标准方程为.（5分）‎ ‎（Ⅱ）设， 两点坐标分别为， ，‎ 当直线与轴重合时， 点与上顶点重合时， ， ‎ 当直线与轴重合时， 点与下顶点重合时， ， （6分）‎ 当直线斜率为时， ， ‎ 当直线斜率存在且不为时，不妨设直线方程为， ‎ 联立，得，‎ 则有，①‎ ‎② （8分）‎ 设，则，代入①②得 ‎③‎ ‎④‎ ‎∴ ，（10分）‎ 即，解得，‎ 综上， （12分）‎ ‎21. 解：（Ⅰ）当时，，‎ 所以 1分 所以，. 2分 所以曲线在点处的切线方程为．‎ 即. 4分 ‎（Ⅱ）证法一：当时，.‎ 要证明，只需证明. 5分 以下给出三种思路证明.‎ 思路1：设，则.‎ 设，则，‎ 所以函数在上单调递增． 6分 因为，，‎ 所以函数在上有唯一零点，且. 8分 因为时，所以，即. 9分 当时，；当时，.‎ 所以当时，取得最小值． 10分 故．‎ 综上可知，当时，. 12分 思路2：先证明． 5分 设，则．‎ 因为当时，，当时，，‎ 所以当时，函数单调递减，‎ 当时，函数单调递增．所以．‎ 所以（当且仅当时取等号）． 7分 所以要证明， ‎ 只需证明． 8分 下面证明．设，则．‎ 当时，，当时，，‎ 所以当时，函数单调递减，‎ 当时，函数单调递增．所以．‎ 所以（当且仅当时取等号）． 10分 由于取等号的条件不同，‎ 所以．‎ 综上可知，当时，‎ ‎. 12分 ‎（若考生先放缩，或、同时放缩，‎ 请参考此思路给分！）‎ 思路3：先证明.‎ 因为曲线与曲线的图像关于直线对称，‎ 设直线与曲线，分别交于点，，‎ 点，到直线的距离分别为，，‎ 则．其中，．‎ ‎①设，则．因为，所以．‎ 所以在上单调递增，则．所以．‎ ‎②设，则．‎ 因为当时，；当时，，‎ 所以当时，单调递减；‎ 当时，单调递增．‎ 所以．所以．‎ 所以．‎ 综上可知，当时，. 12分 证法二：因为，‎ 要证明，只需证明. 5分 以下给出两种思路证明.‎ 思路1：设，则.‎ 设，则．‎ 所以函数在上单调递增． 6分 因为，，‎ 所以函数在上有唯一零点，‎ 且. 8分 因为，所以，即 9分 当时，；当时，.‎ 所以当时，取得最小值 10分 故．‎ 综上可知，当时，． 12分 思路2：先证明，且． 5分 设，则．‎ 因为当时，；当时，，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增．‎ 所以当时，取得最小值．‎ 所以，即（当且仅当时取等号）． 7分 由，得（当且仅当时取等号）． 8分 所以（当且仅当时取等号）． 9分 再证明．‎ 因为，，且与不同时取等号，‎ 所以 ‎．‎ 综上可知，当时，． 12分 ‎22. 解：（Ⅰ）由已知，‎ ‎ 由，消去得：‎ 普通方程为，‎ 化简得 5分 ‎（Ⅱ）由sin(-)+=0知，‎ ‎ 化为普通方程为x-y+=0 （7分）‎ 圆心到直线的距离=，（8分）‎ 由垂径定理 10分 ‎23.解：解：（Ⅰ）时原不等式等价于 即，所以解集为． 4分 ‎（Ⅱ）当时，，令，6分 由图像知：当时，取得最小值,（8分）‎ 由题意知：，9分 所以实数的取值范围为. 10分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎