专题47 两个基本计数原理-高考全攻略之备战2018年高考数学（理）考点一遍过 14页

‎（1）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.‎ ‎（2）会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.‎ ‎1．两个计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 条件 完成一件事有两类方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法 结论 完成这件事共有种不同的方法 完成这件事共有种不同的方法 ‎【注意】区分分类与分步的依据在于“一次性”完成．若能“一次性”完成，则不需分步，只需分类；否则就分步处理．‎ ‎2．两个计数原理的区别与联系 原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 联系 两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言 区别一 每类办法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事 每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事 区别二 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏 考向一 分类加法计数原理 ‎（1）分类加法计数原理的特点：‎ ‎①根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准．‎ ‎②完成这件事的任何一种方法必须属于某一类．‎ ‎（2）使用分类加法计数原理遵循的原则：‎ 有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则．‎ ‎（3）应用分类加法计数原理要注意的问题：‎ ‎①明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事．‎ ‎②完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法．‎ ‎③确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须既不重复也不遗漏．‎ 典例1 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法有 A．10种 B．11种 C．12种 D．13种 ‎【答案】C 由分类加法计数原理得，共有3＋2＋1＋1＋2＋3=12种不同的方法．故选C.‎ ‎1．将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级，每个年级2人．要求甲必须在高一年级，乙和丙均不在高三年级，则不同的安排种数为 A．18 B．15‎ C．12 D．9‎ 考向二 分步乘法计数原理 应用分步乘法计数原理要注意的问题：‎ ‎①明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某一步骤的某种方法是不能完成这件事的，也就是说必须要经过几步才能完成这件事．‎ ‎②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步骤，这件事都不可能完成．‎ ‎③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步骤之间既不能重复也不能遗漏．‎ 典例2 某商场共有4个门，购物者若从一个门进，则必须从另一个门出，则不同走法的种数是 A．8 B．7‎ C．11 D．12‎ ‎【答案】D ‎2．将字母排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 考向三 两个计数原理的综合应用 ‎（1）利用两个原理解决涂色问题 解决着色问题主要有两种思路：一是按位置考虑，关键是处理好相交线端点的颜色问题；二是按使用颜色的种数考虑，关键是正确判断颜色的种数．‎ 解决此类应用题，一般优先完成彼此相邻的三部分或两部分，再分类完成其余部分．要切实做到合理分类，正确分步，才能正确地解决问题．‎ ‎（2）利用两个原理解决集合问题 解决集合问题时，常以有特殊要求的集合为标准进行分类，常用的结论有的子集有个，真子集有个．‎ 典例3 一个三位数，其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字(如735,414等)，那么，这样的三位数共有 A．240个 B．249个 C．285个 D．330个 ‎【答案】C 当十位数字是6时有3×3=9种结果，‎ 当十位数字是7时有2×2=4种结果，‎ 当十位数字是8时有1种结果，‎ 所以共有81＋64＋49＋36＋25＋16＋9＋4＋1=285种结果．‎ ‎【名师点睛】与两个计数原理有关问题的常见类型及解题策略：‎ ‎(1)与数字有关的问题．可分类解决，每类中又可分步完成，也可以直接分步解决．‎ ‎(2)与几何有关的问题．可先分类，再分步解决．‎ ‎(3)涂色问题．可按颜色的种数分类完成，也可以按不同的区域分步完成．‎ ‎3．将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则不同的涂色方法有 种.‎ ‎1．设某班有男生30名，女生24名．现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，则不同的选法共有 ‎ A．24种 B．30种 C．54种 D．720种 ‎2．在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下表所示： ‎ A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选择一个专业，则这名同学可能的专业选择有 A．4种 B．5种 C．9种 D．20种 ‎3．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 A．8种 B．12种 C．16种 D．20种 ‎4．某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各1人，则不同的选法有 A．8种 B．12种 C．16种 D．20种 ‎5．如图所示，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是 A．6 B．10 ‎ C．12 D．24‎ ‎6．从这九个数字中，任意抽取两个相加所得的和为奇数的不同代数式的种数是 A．6 B．9 ‎ C．20 D．25‎ ‎7．某商店现有甲种型号电视机10台，乙种型号电视机8台，丙种型号电视机12台，从这三种型号的电视机中各选一台检验，则不同的选法有 A．30种 B．80种 C．96种 D．960种 ‎8．某公共汽车上有10名乘客，要求在沿途的5个车站全部下完，乘客下车的可能方式有 A．510种 B．105种 C．50种 D．以上都不对 ‎9．已知集合，从两个集合中各取一个元素作点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限不同点的个数为 A．18 B．16 ‎ C．14 D．10‎ ‎10．如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方法有 A．24种 B．72种 C．84种 D．120种 ‎11．已知a∈{3,4,5}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2=r2可表示不同圆的个数为______个．‎ ‎12．大小不等的两个正方体玩具，分别在各面上标有数字1,2,3,4,5,6，则向上的面标着的两个数字之积不小于20的积的结果有____________种．‎ ‎13．如图所示的几何体由一个正三棱锥P－ABC与正三棱柱组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．‎ ‎14．将3个不同的小球放入编号分别为1,2,3,4的盒子内，则4号盒子中至少有一个球的放法有________种．‎ ‎15．为举办校园文化节，某班推荐2名男生、3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为：乐器1人，舞蹈2人，演唱2人，每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同的推荐方案的种数为________．(用数字作答)‎ ‎1．(2016年高考新课标Ⅱ卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 A．24 B．18‎ C．12 D．9‎ ‎2．(2016年高考新课标Ⅲ卷)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有 A．18个 B．16个 C．14个 D．12个 ‎3．(2013年高考福建卷) 满足a，b∈{−1,0,1,2}，且关于x的方程有实数解的有序数对的个数为 A．14 B．13‎ C．12 D．10‎ ‎4．(2013年高考山东卷) 用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 A．243 B．252‎ C．261 D．279‎ ‎5．(2014年高考安徽卷) 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有 A．24对 B．30对 C．48对 D．60对 ‎ ‎ 变式拓展 ‎1．【答案】D ‎【解析】若甲、乙在高一年级，则丙一定在高二年级，此时不同的安排种数为3种；‎ 若甲、丙在高一年级，则乙一定在高二年级，此时不同的安排种数为3种；‎ 若甲在高一年级，乙、丙在高二年级，此时不同的安排种数为3种，‎ 所以共有3+3+3=9种不同的安排种数．‎ ‎2．【答案】A ‎3．【答案】72‎ ‎【解析】给五个区域标记号A、B、C、D、E(如图所示)，‎ 则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色依赖于B与D所涂的颜色，如果B与D颜色相同有2种涂色方法，不相同，则只有一种．因此应先分类后分步．‎ ‎(1)当B与D同色时，有4×3×2×1×2=48种．‎ ‎(2)当B与D不同色时，有4×3×2×1×1=24种．‎ 故共有48＋24=72种不同的涂色方法．‎ ‎【名师点睛】涂色问题大致有两种方案：‎ ‎（1）选择正确的涂色顺序，按步骤逐一涂色，这时用分步乘法计数原理进行计算.‎ ‎（2）首先根据涂色时所用色数的多少，进行分类处理，然后在每一类的涂色方案的计算上需要用到分步乘法计数原理．最后根据分类加法计数原理对每一类的涂色方法数求和即得到最终涂色方法数．‎ 考点冲关 ‎1．【答案】D ‎2．【答案】C ‎【解析】这名同学可以选择A，B两所大学的一所，在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法，又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有5＋4=9(种)．‎ ‎【名师点睛】使用分类加法计数原理时，要根据问题的特点确定一个分类的标准．‎ ‎3．【答案】B ‎【解析】在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，选取3个面有2个不相邻，则必选相对的2个面，所以分3类．若选ABCD和A1B‎1C1D1两个面，另一个面可以是ABB‎1A1，BCC1B1，CDD‎1C1和ADD‎1A1中的一个，有4种．同理选另外相对的2个面也有4种．所以共有4×3=12(种)．‎ ‎4．【答案】D ‎【解析】由题意知，在艺术小组9人中，有且仅有1人既会钢琴又会小号(称为“多面手”)，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人．按“多面手”的选法分为两类：‎ ‎(1)“多面手”入选，则有6＋2=8(种)选法；‎ ‎(2)“多面手”不入选，则有6×2=12(种)选法．‎ 因此选法共有8＋12=20(种)．‎ ‎5．【答案】B 故共有6+4=10种情况.‎ ‎6．【答案】C ‎【解析】有5个奇数，4个偶数，所以要使和为奇数必取一奇一偶，即有种，选C.‎ ‎7．【答案】D ‎【解析】完成从这三种型号的电视机中各选一台检验可分三步完成：‎ 第一步：从甲种型号中选一台，有10种不同的方法；‎ 第二步：从乙种型号中选一台，有8种不同的方法；‎ 第三步：从丙种型号中选一台，有12种不同的方法；‎ 根据分步乘法计数原理，得10×8×12=960(种)．‎ 因此共有960种不同的方法．‎ ‎【名师点睛】利用分步乘法计数原理解题时，首先要确定一个可行的分步标准，其次，还要注意完成这件事情必须且只需连续完成这n个步骤后，这件事情才算圆满完成．‎ ‎8．【答案】A ‎【解析】任何一个乘客可以在任一车站下车，且相互独立，所以每一个乘客下车的方法都有5种，由分步计数原理知N=510.故选A.‎ ‎9．【答案】C ‎4×2=8(个)．‎ 综合上面两类，利用分类计数原理，共有6＋8=14(个)．故选C.‎ ‎10．【答案】C ‎【解析】如图，设四个直角三角形顺次为A，B，C，D，按A→B→C→D顺序涂色，下面分两种情况：‎ ‎(1)A，C不同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的2种颜色中任意取一色)：有4×3×2×2=48(种)．‎ ‎(2)A，C同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的3种颜色中任意取一色)：有4×3×1×3=36(种)．共有84种．‎ ‎11．【答案】24‎ ‎【解析】确定圆的方程可分三步：确定a有3种方法，确定b有4种方法，确定r有2种方法，由分步计数原理知N=3×4×2=24(个)．‎ ‎12．【答案】8‎ ‎【解析】第1个正方体向上的面标有的数字必大于等于4.如果是3，则3与第二个正方体面上标有数字最大者6的积3×6=18＜20，‎ ‎4×5=5×4=20，4×6=6×4=24，5×5=25，5×6=6×5=30，6×6=36，‎ 以上积的结果分别为20,24,25,30,36，共8种．‎ ‎13．【答案】12‎ ‎【解析】先涂三棱锥P－ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有3×2×1×2=12种．‎ ‎14．【答案】37‎ ‎15．【答案】24‎ ‎【解析】若参加乐器培训的是女生，则各有1名男生及1名女生分别参加舞蹈和演唱培训，共有3×2×2=12(种)方案；若参加乐器培训的是男生，则各有1名男生、1名女生及2名女生分别参加舞蹈和演唱培训，共有2×3×2=12(种)方案，所以共有24种推荐方案．‎ 直通高考 ‎1．【答案】B ‎【解析】由题意可知E→F共有6种走法，F→G共有3种走法，由乘法计数原理知，则共有6×3=18种走法，故选B.‎ ‎【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间 是独立的．‎ 分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．‎ ‎2．【答案】C ‎【解析】由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ 由上表知，不同的“规范01数列”共有14个，故选C.‎ ‎【方法点拨】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树状图将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．‎ ‎3．【答案】B ‎【解析】当时，关于x的方程为，此时有序数对均满足要求；‎ 当时，，所以，此时满足要求的有序数对为 ‎．‎ 综上，共有13个满足要求的有序数对．‎ ‎4．【答案】B ‎648=252.‎ ‎5．【答案】C ‎【解析】解法一（直接法）：如图，在上底面中选，四个侧面中的面对角线都与它成60°，共8对，同样对应的也有8对，下底面也有16对，共有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对．所以全部共有48对．‎ 解法二（间接法）：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或成角为60°，其中，互相垂直的有12对，互相平行的有6对，所以成角为60°的共有对．‎ ‎ ‎ ‎ ‎