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- 2024-02-10 发布
河北定州中学2016-2017学年第二学期高二承智班数学开学考试
一、单项选择题
1．已知四棱锥中，侧棱都相等，底面是边长为的正方形，底面中心为，以为直径的球经过侧棱中点，则该球的体积为（ ）
A. B. C. D.
2．如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若=a =b，=c，则下列向量中与相等的向量是 （ ）
A．－a+b+c B．a+b+c
C．a－b+c D．－a－b+c
3．设，，，则（ ）
A. B. C. D.
4．已知复数，则( )
A.2 B.-2 C.2i D.-2i
5．已知实数，且满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．4
6．已知集合，，则为
A．（0，＋） B．（1，＋） C．[2，＋） D．［1，＋）
7．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
8．已知集,,则
A． B． C．P D．Q
9．在中，内角的对边分别为，且,则是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
10．下图所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（ ）
（1）小明离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
（2）小明骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
（3）小明出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．
A．（1）（2）（4） B．（4）（2）（3）
C．（4）（1）（3） D．（4）（1）（2）
11．如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12．若等比数列中，，若，，则等于（ ）
A．16 B．27 C．36 D．82
二、填空题
13．设函数，若曲线在点处的切线方程为，则 。
14．从4名男同学、3名女同学中选3名同学组成一个小组，要求其中男、女同学都有，则共有 种不同的选法．（用数字作答）
15．已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是 ．
16．已知α是第二象限的角,tanα=1/2，则cosα=__________
三、解答题
17．（本题满分12分）已知奇函数
（1）求实数的值，并在给出的直角坐标系中
（2）画出的图象；
（3）若函数在区间上单调递增，试确定实数的取值范围．
18．为方便市民休闲观光，市政府计划在半径为200米，圆心角为的扇形广场内（如图所示），沿边界修建观光道路，其中分别在线段上，且两点间距离为定长米.
（1）当时，求观光道段的长度；
（2）为提高观光效果，应尽量增加观光道路总长度，试确定图中两点的位置，使观光道路总长度达到最长？并求出总长度的最大值.
19．如图，棱柱的底面是菱形.侧棱长为，平面平面，，，点是的重心，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
20．（本题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数），它与曲线
C：（y－2）2－x2＝1交于A、B两点．
（1）求|AB|的长；
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为（2，），求点P到线段AB中点M的距离．
参考答案
CABAC BBDAD
11．C
12．B
13．1
14．30
15．．
16．
17．（1），图像略；（2）．
（1）函数是奇函数
即
因此
作图如下：
（2）从函数图像可知的单调递增区间是
因此实数的取值范围是．
18．（1）（2）当两点各距点60米处时，观光道路总长度达到最长，最长为.
（1）在中，由已知及正弦定理得，
即，∴.
（2）设，，，
在中，，即，
∴，
故，当且仅当时，取得最大值，
∴当两点各距点60米处时，观光道路总长度达到最长，最长为.
19．证明：（1）因为平行等于，所以四边形是平行四边形，所以
.
又因为平行等于，所以四边形是平行四边形，所以.
因为平面，平面，
所以平面，平面，又因为，平面，
所以平面平面.
（2）解：设，由题意可知是等边三角形.
因为，所以，
所以，所以，所以，
又因为平面⊥平面，平面平面，
平面，所以平面.
以为原点，分别以所在直线为轴，以过点与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，则.设.
因为，，，所以.
由平面，可知平面的法向量是.
设平面的法向量是，而，.
由，所以.
所以.
取平面的法向量，所以.
20．（1） （2）
1）将直线l参数方程 （t为参数）
代入（y－2）2－x2＝1，得t2＋t－5＝0．
∴t1＋t2＝－，t1t2＝－．
∴|AB|＝|t1－t2|＝＝．
（2）P点直角坐标为（－2,2），
线段AB中点对应的参数值为，
∴点P到线段AB中点M距离为