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- 2024-02-10 发布
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第2章 2.3.2 第1课时
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．双曲线－＝1的( )
A．实轴长为2，虚轴长为4，渐近线方程为y＝±x，离心率e＝
B．实轴长为2，虚轴长为4，渐近线方程为y＝±x，离心率e＝
C．实轴长为2，虚轴长为4，渐近线方程为y＝±2x，离心率e＝
D．实轴长为2，虚轴长为8，渐近线方程为y＝±x，离心率e＝
答案： A
2．已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则·＝( )
A．－12 B．－2
C．0 D．4
解析： 因为渐近线方程为y＝x，∴b＝，
∴双曲线方程为x2－y2＝2，
所以点P的坐标为(，±1)，
又易知F1(－2,0)，F2(2,0)，不妨取P(，1)．
∴·＝(－2－，－1)·(2－，－1)＝0.
答案： C
3．双曲线的渐近线为y＝±x，则双曲线的离心率是( )
A. B．2
C.或 D.或
解析： 若双曲线焦点在x轴上，
∴＝，
∴e＝＝＝＝.
若双曲线的焦点在y轴上，
∴＝，＝.
∴e＝＝＝＝.
答案： C
4．已知双曲线－＝1的实轴的一个端点为A1，虚轴的一个端点为B1，且|A1B1|＝5，则双曲线的方程是( )
A.－＝1 B.－＝－1
C.－＝1 D.－＝－1
解析： 由题意知a＝4.又∵|A1B1|＝5，
∴c＝5，∴b＝＝＝3.
∴双曲线方程为－＝1.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为________．
解析： 椭圆4x2＋y2＝64，即＋＝1，
焦点为(0，±4)，离心率为，
所以双曲线的焦点在y轴上，c＝4，e＝，
所以a＝6，b＝＝2，
所以双曲线方程为－＝1.
答案： －＝1
6．若双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，则b等于________．
解析： 双曲线的渐近线方程为y＝±x
∴b＝1.
答案： 1
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；
(3)过点M(2，－2)与－y2＝1有公共渐近线．
解析： (1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)．
由题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴标准方程为－＝1或－＝1.
(2)当焦点在x轴上时，由＝且a＝3，∴b＝.
∴所求双曲线方程为－＝1.
当焦点在y轴上时，由＝且a＝3，∴b＝2.
所求双曲线方程为－＝1.
综上，双曲线方程为－＝1或－＝1.
(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线的方程为－y2＝λ，
将点(2，－2)代入得λ＝－(－2)2＝－2，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
8．双曲线－＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线离心率e的取值范围．
解析： 由题意知直线l的方程为＋＝1，
即bx＋ay－ab＝0.则＋≥c，
整理得5ab≥2c2.
又∵c2＝a2＋b2，∴5ab≥2a2＋2b2.
∴≤≤2.
e＝＝
∴≤e≤.
尖子生题库☆☆☆
9．(10分)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F(2，0)作双曲线的一条渐近线的垂线，与该渐近线交于点P，且O·F＝－6，求双曲线的方程．
解析： 方法一：设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
则过F且与其垂直的直线方程为y＝－(x－2)．
由可得点P的坐标为.
∴＝，
·＝(2，0)·＝－6.
解得a2＝2，∴b2＝c2－a2＝(2)2－2＝6，
∴双曲线方程为－＝1.
方法二：设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
∵点P在双曲线的渐近线上，故设其坐标为
∴F＝，O＝(2，0)．
由O·F＝－6得2(x－2)＝－6，即x＝.
又由O·F＝0，得x(x－2)＋2＝0，
代入x＝，得2＝3.
而a2＋b2＝(2)2＝8，
∴a2＝2，b2＝6.
∴双曲线方程为－＝1.
