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- 2024-02-08 发布
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2016学年杭州市高三年级第一学期教学质量检测
数学检测试卷
选择题部分（共40分）
一、 选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 若集合，，则集合（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“”是命题“或”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 有五条长度分别为1，3，5，7，9的线段，若从这五条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 设复数（其中是虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
5.已知直线经过椭圆的上顶点与右焦点，则椭圆的方程为（ ）
A. B. C. D.
6.已知（为自然对数的底数），则（ ）
A. B. C. D.
7.设是的内心，，若，则（ ）
A. B. C. D.
8.若不等式对任意的恒成立，则（ ）
A. B. C. D.
9.在中，，，则（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
10.设函数的图象经过点和点，.若，则（ ）
A. B. C. D.
非选择题部分（共110分）
二、 填空题（本大题共7小题，第11-14题每小题6分，15-17题每小题4分，共36分）
11. ________；=________.
12. 双曲线的渐近线方程是________，离心率是________.
13. 已知随机变量的分布列为：
若，则________，_________.
14. 设函数，则点处的切线方程是________；函数的最小值为_________.
15. 在的二项展开式中，含的奇次幂的项之和为，当时，________.
11. 若实数满足，则由点形成的区域的面积为_________.
12. 设函数，若存在实数，使得对任意不为零的实数均有成立，则的取值范围是________.
三、 解答题（本大题共5小题，共74分）
18. （本题满分14分）设.
（1） 求函数的最小正周期与值域；
（2） 设内角的对边分别为，为锐角，，若，求.
19. （本题满分15分）在平面直角坐标系内，点，点满足.
（1） 若，求点的轨迹方程；
（2） 当时，若，求实数的值.
20.（本题满分15分）设函数.
（1） 证明：；
（2） 证明：.
21. （本题满分15分）已知为椭圆上的两点，满足，其中
分别为左右焦点.
（1） 求的最小值；
（2） 若，设直线的斜率为，求的值.
22. （本题满分15分）设数列满足.
（1） 证明：；
（2） 证明：.
2016学年杭州市高三年级第一学期教学质量检测
数学参考答案及评分标准
一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
B
C
A
A
A
B
B
A
二、填空题：（本大题共7小题，第11-14题，每小题6分，15-17每小题4分，共36分）
11．1,1 12．y＝±x； 13．， 14．y＝x－1；－
15．－23023 16．1 17．
三、解答题：（本大题共5小题，共 74分）
18．（本题满分14分）
解：（I）化简得：f (x)＝sin(2x－)（x∈R），
所以最小正周期为π，值域为[－1,1]．………………………………7分
（II）因为f (A)＝sin(2A－)＝1．
因为A为锐角，所以2A－∈(－,)，
所以2A－＝，所以A＝．
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，
得b2－4b＋4＝0．解得b＝2． ………………………………7分
19．（本题满分15分）
解：（I）设P(x,y)，则＝(x,y－1)，＝(x,y＋1)，＝(x－1,y)．
因为k＝2，所以 ，
所以 (x,y－1)▪(x,y＋1)＝2[(x－1)2＋y2]，
化简整理，得 (x－2)2＋y2＝1，
故点P的轨迹方程为 (x－2)2＋y2＝1．……………………………7分
（II）因为k＝0，所以，
所以 x2＋y2＝1．
所以 |λ＋|2＝λ22＋2
＝λ2[x2＋(y－1)2]＋x2＋(y＋1)2
＝(2－2λ2) y＋2λ2＋2（y∈[－1,1]）．
当2－2λ2＞0时，即－1＜λ＜1，
(|λ＋|max)2＝2－2λ2＋2λ2＋2＝4≠16，不合题意，舍去；
当2－2λ2≤0时，即λ≥1或λ≤－1时，
(|λ＋|max)2＝2λ2－2＋2λ2＋2＝16，解得λ＝±2．………………………………8分
20．（本题满分15分）
解：（I）令g(x)＝f (x)－x2＋x－，即g(x)＝＋x－，
所以，
所以g(x)在上递减，在上递增，
所以g(x)≥＝0，所以f (x)≥x2－x＋． ………………………………7分
（II）因为，x∈[0,1]，
设h(x)＝2x3＋4x2＋2x－1，h′(x)＝6x2＋8x＋2，
因为h(0)＝－1，h(1)＝7，
所以存在x0∈(0,1)，使得f′(x)＝0，且f (x)在(0, x0)上递减，在(x0,1)上递增，
所以 f (x)max＝{ f (0)，f (1)}＝f (1)＝．
由（I）知，f (x)≥x2－x＋＝≥，
又＝，，
所以＜f (x)≤． ………………………………8分
21．（本题满分15分）
解: （I）因为（O为坐标原点），
显然，
所以的最小值为2． ………………………………5分
（II）由题意，可知．
又，所以PQ是两个直角三角形POQ和PF2Q的公共斜边，即得线段PQ的中点到O，F2两点的距离相等，即线段PQ中点的横坐标为．
设直线PQ的方程为y＝kx＋b，联立椭圆方程，得
(1＋2k2)x2＋4kbx＋2b2－2＝0．
设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则x1＋x2＝－．
又因为 x1＋x2＝1，
所以 1＋2k2＝－4kb， （1）
另一方面，x1x2＝，y1y2＝．
由x1x2＋y1y2＝0，得，
即 4k2b2＋2k3b－2k2＋3b2＋kb－2＝0， （2）
由（1）（2），得－20k4－20k2＋3＝0，解之得．………………10分
22．（本题满分15分）
证明：（I）易知an＞0，所以an＋1＞an＋＞an，
所以 ak＋1＝ak＋＜ak＋，
所以．
所以，当n≥2时，
，
所以an＜1．
又，所以an＜1（n∈N*），
所以 an＜an＋1＜1（n∈N*）． ………………………………8分
（II）当n＝1时，显然成立．
由an＜1，知，所以，
所以，
所以，
所以，当n≥2时，
，即．
所以（n∈N*）． ………………………………7分
