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- 2024-02-08 发布
2018年高考数学讲练测【浙江版】【测】第九章 解析几何
第八节 直线与圆锥曲线的位置关系
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的．）
1.【2018届广雅中学、东华中学、河南名校高三上第一次联考】已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在左准线上，若，且直线的斜率，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2. 【2017届河南百校联盟高三9月质监乙卷】已知抛物线上一点到焦点的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且，则点到原点的距离为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】B
【解析】设，则，所以，到原点的距离为，选B．
3.【2017届河南息县第一高级中学高三上阶段测三】设抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为，若的面积为2，则点的坐标为（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】A
【解析】依题意，设，则，面积为，故选A．
4.【2018届河南省中原名校（即豫南九校）高三上第二次考评】直线与椭圆（）相交于两点， ，线段的中点为，则椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
5.【2018届上海市交通大学附属中学高三上学期开学】已知椭圆，直线，点，直线交椭圆于两点，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 设点的坐标分别为，
由椭圆的定义可知，椭圆的右焦点，此时直线经过点，
可得， ，
所以
联立方程组 ，得，所以，
代入上式可得，故选B.
6.【2017届河南百校联盟高三9月质监乙卷】已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
7.【2018届广东省珠海市高三9月摸底】已知抛物线 C：y2=4x，过点 P(-2 ，0) 作直线 l 与 C 交于 A B 两点，直线 l 的斜率为 k ，则 k 的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意易知：直线的斜率存在.
设直线 l的方程为： ，带入y2=4x
得到： ,
显然时，不适合题意；
当时， ,,又
所以
故选：Ａ
8.【2018届海南省（海南中学、文昌中学、海口市第一中学、农垦中学）等八校高三上学期新起点】直线过点且与双曲线交于两点，若线段的中点恰好为点，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
9.【2018届河南省安阳市第三十五中学高三上学期开学】设为抛物线的焦点，过且倾斜角为60°的直线交曲线于两点（点在第一象限，点在第四象限），为坐标原点，过作的准线的垂线，垂足为，则与的比为（ ）
A. B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】抛物线的焦点 ，准线为 ，
设直线 ，联立抛物线方程，消去 ，可得
设，则 ，由
则 ，
即有 .故选C.
10.【2017届山东省济宁市高三3月模拟】已知双曲线（， ）的左、右焦点分别为、，焦距为，抛物线的准线交双曲线左支于， 两点，且（为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
11.已知抛物线与点，过的焦点且斜率为的直线与交于两点，若，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】由题意知抛物线C的焦点坐标为（2,0），则直线AB的方程为，将其代入，
得.
设，则，.①
由
∵，
∴.
∴，
即. ④
由①②③④解得k=2.故选D.
12.【2017届浙江省杭州市高三4月】设倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于， 两点，设点在轴上方，点在轴下方.若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
二、填空题
13.【2018届河南省中原名校（即豫南九校）高三上第二次考评】直线与抛物线交于两不同点，.其中，，若，则直线恒过点的坐标是__________．
【答案】
14.【2017届江苏省如皋市高三下联考二】已知椭圆的离心率为，右焦点为，点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于，两点．若的周长为，则椭圆的方程为____．
【答案】
【解析】
椭圆的离心率为 ,则a=2c,b= c，
设 P(x1,y1),Q(x2,y2)，
∴|PF2|2=(x1−c)2+y21= (x1−4c)2，
∴|PF2|=2c− x1，
连接OM，OP，由相切条件知：
|PM|2=|OP|2−|OM|2=x21+y21−3c2= x21，
∴|PM|= x1，
∴|PF2|+|PM|=2c，
同理可求|QF2|+|QM|=2c，
∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=4c.
∵△PF2Q的周长为4，∴c=1，
∴a=2,b= ，
∴椭圆C的方程为 .
15.【2018届安徽省巢湖市柘皋中学高三上第二次月考】已知椭圆与圆M： ，过椭圆的上顶点做圆的两条切线分别与椭圆相交于；两点（不同于点），则直线与直线的斜率之积等于__________.
【答案】1
16.【2018届河南省漯河市高级中学高三上期中】已知椭圆是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，则的取值范围是__________．（用表示）
【答案】
，可得
且 ，
即答案为．
三、解答题
17.【浙江省金华、丽水、衢州市十二校2017届高三8月联考】已知椭圆的离心率为，为圆上任意一点，过作椭圆的切线，，设切点分别为，．
（1）证明：切线的方程为；
（2）设为坐标原点，求面积的最大值．
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】（1）由题意，，解得，．．．．．．．．．．．．．．．．2分
①当时， ，直线，∴，代入椭圆方程得到，
∴切线的方程是．
②当时，联立，消，得到，
即，．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
∴
∴切线的方程为；．．．．．．．．．．．．．．．8分
∴，．．．．．．．．．．．．．．．．11分
又∵原点到直线的距离，
∴，．．．．．．．13
分
又∵为圆上任意一点，∴，
∴，令，则在上单调递减，
∴.．．．．．．．．．．．．．．15分
18.【2017年浙江省源清中学高三9月月考】已知抛物线顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点的距离为3，线段的两端点， 在抛物线上.
（1）求抛物线的方程；
（2）若轴上存在一点，使线段经过点时，以为直径的圆经过原点，求的值；
（3）在抛物线上存在点，满足，若是以角为直角的等腰直角三角形，求面积的最小值.
【答案】（1）；（2）；（3）最小值为16.
（3）设， ， ，根据抛物线关于轴对称，取，记， ，则有， ，所以， ， ，由，即，进而化简求出，得： ， ，即可求得△ABD面积的最小值．
试题解析：
（1）设抛物线的方程为，抛物线的焦点为，则，所以，
则抛物线的方程为.
（2）设直线的方程为，要使以为直径的圆经过原点，则只需即可，
联立方程 ，则， ，
，
解得： .
（3）如图所示，
设， ， ，根据抛物线关于轴对称，取，记， ，
则有， ，所以， ， ，
又因为是以为顶点的等腰直角三角形，所以，
即，将代入得：
进而化简求出，得： ，
则，可以先求的最小值即可，
，令，
则
，
所以可以得出当即时， 最小值为，此时，
即当， ， 时， 为等腰直角三角形，且此时面积最小，最小值为16.
19．【2017届浙江省ZDB联盟高三一模】设椭圆： 的离心率，原点到点、所在直线的距离为.
（1）求此椭圆的方程；
（2）如图，设直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为，直线与轴是否交于一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
【答案】（1）（2）
，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简可得
试题解析：（1）由于， ， ，
直线的方程为，
原点到直线的距离为，
解得： ， ，椭圆方程为.
（2）联立，则.
设， ，
， .
直线的方程为，
令，则
即直线与轴交于定点.
20.【2018届广雅中学、东华中学、河南名校高三上学期第一次联考】已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，是椭圆的左顶点，是椭圆的右焦点，点都在椭圆上.
（1）若点在椭圆上，求的最大值；
（2）若为坐标原点），求直线的斜率.
【答案】（1）5；（2）.
解得，故，
设，则，
故当时，有最大值为5.
（2）由（1）知， ，所以椭圆的方程为，即，
设直线的方程为，
由，得，
因为，所以，
因为，所以直线的方程为，
由，得，
所以或，得，
因为，所以，于是，
即，所以，
所以直线的斜率为.
21.【2018届广西柳州市高三上学期摸底】已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且.
（1）求该抛物线的方程；
（2）已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.
【答案】（1）（2）
联立方程组，消元得: ，
∴.
∴
解得.
∴抛物线的方程为： .
（2）由（1）可得点，可得直线的斜率不为0，
设直线的方程为： ，
联立，得，
则①.
设，则.
∵
即，得： ，
∴，即或，
代人①式检验均满足，
∴直线的方程为： 或.
∴直线过定点（定点不满足题意，故舍去）.
22. 59．【2017 届浙江省杭州高级中学高三2月模拟】如图,焦点在 轴的椭圆，离心率，且过点 ，由椭圆上异于点的点发出的光线射到点处被直线反射后交椭圆于点(点与点不重合).
（1）求椭圆标准方程；
（2）求证：直线的斜率为定值；
（3）求的面积的最大值.
【答案】（1）（2）详见解析（3）
值
试题解析：（1）设椭圆方程为，
，椭圆经过点
椭圆方程为
（2）设直线方程为，则直线的方程为
由可得
，设， 由可得
，
同理可得
（3）由（2），设的方程为．由联立得： 令，得，
设，则
，
设原点到直线的距离为，则，
当时， 面积的最大值为