高二数学高三新课：离散型随机变量的分布列（理）人教版知识精讲 11页

高二数学高三新课：离散型随机变量的分布列（理）人教版 ‎ ‎【本讲教育信息】‎ 一. 教学内容：‎ 高三新课：离散型随机变量的分布列 二. 教学重、难点：‎ ‎1. 随机变量：‎ ‎（1）定义 ‎（2）离散型随机变量 ‎2. 离散型随机变量的分布列 ‎（1）概率分布列及性质 ‎（2）二项分布 ‎（3）几何分布 ‎【典型例题】‎ ‎[例1] 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量的分布列。‎ 解：随机变量的可能取值为1，2，3‎ 当时，即取出的3只球中最小号码为1，则其他2只球只能在编号为2，3，4，5的4只球中任取2只，故有；当时，即取出的3只球中最小号码为2，则其他2只球只能在编号为3，4，5的3只球中任取2只，故有；当时，即取出的3只球中最小号码为3，则其他2‎ 只球只能在编号为4，5的2只球中任取2只，故有，因此，的分布列如表所示。‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎[例2] 从一批有13个正品和2个次品的产品中任意取3个，求抽得的次品数的分布列，并求。‎ 解：由题意可知只能取整数，从而 的一切可能取值为0，1，2‎ ‎，‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎[例3] 若离散型随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ P 试求出常数。‎ 解：由性质可知，均应不小于0不大于1，且它们的和为1。‎ 由离散型随机变量分布列的基本性质知 解得常数，即的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ P ‎[例4] 已知随机变量的分布列如下表所示：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 分别求出随机变量的分布列 解：由于对于不同的有不同的取值，所以。‎ 所以。以此类推可得的分布列如下表所示。‎ ‎0‎ ‎1‎ P 对于的不同取值，，所以 ‎，‎ ‎，，所以的分布列如下表所示。‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎9‎ P ‎[例5] 数字1，2，3，4任意排成一排，如果数字恰好出现在第个位置上，则称有一个巧合，求巧合数的分布列。‎ 解：时，没有巧合，若1—2—3—4为四个数都巧合，则没有一个巧合的情况有以下几种：‎ ‎ ‎ 所以；时，只有一个巧合，；时，只有2个巧合，；时，只有三个巧合，不存在，，时，四个数位置都巧合，，所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎0‎ ‎[例6] 某人骑车从家到公司的途中有5个路口，假设他在各个路口遇红灯的事件是相互独立的，且概率都是。‎ 求：（1）此人在途中遇到红灯的次数的分布列；‎ ‎（2）此人首次遇到红灯或到达目的地而停车时所经过了的路口数的分布列；‎ ‎（3）此人途中至少遇一次红灯的概率。‎ 解：（1）由已知，随机变量，所以，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 因此，遇到红灯的次数的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎（2）代表事件“前个路口为绿灯，第个路口为红灯”，代表事件“5个路口均为绿灯”，其中，，，，，‎ 因此，随机变量的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎（3）所求概率即 ‎[例7] 将3个小球任意地放入4个大的的玻璃杯中去，杯子中球的最多个数记为，求的分布列。‎ 解：依题意可知，杯子中球的最多个数的所有可能值为1，2，3，当时，对应于4个杯子中恰有三个杯子各放一球的情形；当时，对应于4‎ 个杯子中恰有一个杯子放两球的情形；当时，对应于4个杯子恰有一个杯子放三个球的情形。‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，‎ 依上可得的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎[例8] 在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖。某顾客从此10张券中任抽2张，求：‎ ‎（1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值（元）的概率分布列。‎ 解：（1），即该顾客中奖的概率为。‎ ‎（2）的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）‎ 且，，，‎ ‎，‎ 故有分布列：‎ ‎0‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎60‎ P ‎【模拟试题】‎ 一. 选择题 ‎1. 投掷一枚质地均匀的硬币若干次，随机变量为（ ）‎ A. 出现正面的次数 B. 出现正面或反面的次数 C. 掷硬币的次数 D. 出现正、反面次数之和 ‎2. 下面给出了三个随机变量：某传呼台1min内接到呼叫次数；某森林树木的高度在这一范围变化，测得某一树木的高度；某人射击一次击中的环数，其中，离散型随机变量有（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎ C. 2 D. 3‎ ‎3. 设随机变量的概率分布如表所示：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P a ‎ ，则当的范围是时，等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 已知随机变量的概率分布如下：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P 则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 设随机变量，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 随机变量的概率分布规律为，，其中C是常数，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 设随机变量等可能取值1，2，3，…，，如果，那么（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 若，，其中，则等于（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 二. 解答题：‎ ‎1. 已知的分布列如下表所示。求的分布列。‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎2. 某小组有10台各为7.5kW的机床，如果每台机床的使用情况是互相独立的，且每台机床平均每小时开动12分钟，问全部机床用电功率超过的可能性有多大？‎ ‎3. 从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽取到的可能性相同。在下列三种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数的分布列。‎ ‎（1）每次取出的产品都不放回此批产品中；‎ ‎（2）每次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品。‎ 试题答案 一.‎ ‎1. A 2. C 3. D 4. C 5. A 6. D 7. C 8. B 二.‎ ‎1. 解：当0，1，2，3，4时，的可能取值为1，3，5，7，9，而取这些不同值的概率分别为 ‎，‎ ‎，‎ ‎，写成分布列，即为下表所示：‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ P ‎2. 解：由于每台机床正在工作的概率为，而且每台机床有“工作”与“不工作”两种情况，故每一时刻正在工作的机床台数服从二项分布，即，‎ ‎（0，1，2，…，10）。据题意，可供6台机床同时工作，用电超过，即意味着，有7台或7台以上的机床在工作，这一事件的概率为 由上面可以看出，用电超过的可能性是很小的，据此，可以选择适当的供电设备，做到既保证供电而又合理节约用电。‎ ‎3. 解：‎ ‎（1）的取值为1，2，3，4，当=1时，只取一次就取到合格品，故P（=1）=；当=2时，即第一次取到次品，而第二次取到合格品，故P（=2）=。类似地，有P（=3），P（=4）=。所以的分布列如下表所示：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎（2）的取值为1，2，3，…，，…。当时，即第一次就取到合格品，故=；当=2时，即第一次取到次品，而第二次取到合格品，故 ‎；当=3时，即第一、二次均取到次品，而第三次取到合格品，故 ‎。类似地，当=时，即前次均取到次品，而第次取到合格品，故，1，2，3，…。因此的分布列如下表所示。‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ ‎…‎ P ‎…‎ ‎…‎