数学理卷·2018届广东省华南师范大学附属中学高三综合测试（三）（2018 13页

华南师大附中2018届高三综合测试（三）‎ 数学（理）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.在复平面内，复数（为虚数单位），则为（ ）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎2.已知集合，，则集合（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4.已知，则的值是（ ）‎ A． B． C． -3 D．3‎ ‎5.如图，将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成直二面角，若、之间的空间距离为，则（ ）‎ A．-1 B．1 C． D．‎ ‎6.已知向量，，，若与的夹角为，且，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知，，满足约束条件，若的最小值为1，则（ ）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎8.（ ）‎ A．7 B． C. D．4‎ ‎9.已知双曲线：，点为的左焦点，点为上位于第一象限内的点，关于原点的对称点为，且满足，若，则的离心率为（ ）‎ A． B． C. 2 D．‎ ‎10.如图是函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.函数的图象大致为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：‎ ‎①当时，； ②函数有2个零点；‎ ‎③的解集为； ④，都有.‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.曲线在点处的切线方程是 ．‎ ‎14.在中，，，为，，的对边，，，成等比数列，，，则 ．‎ ‎15.已知函数，若，满足，则的取值范围为 ．‎ ‎16.设有两个命题：‎ ‎：关于的不等式（，且）的解集是；‎ ‎：函数的定义域为.‎ 如果为真命题，为假命题，则实数的取值范围是 ．‎ 三、解答题：本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程. ‎ ‎17.设数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎18.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，…‎ 后，画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）求第四小组的频率，补全频率分布直方图，并估计该校学生的数学成绩的中位数.‎ ‎（2）从被抽取的数学成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.‎ ‎（3）假设从全市参加高一年级期末考试的学生中，任意抽取个学生，设这四个学生中数学成绩为80分以上（包括分）的人数为（以该校学生的成绩的频率估计概率），求的分布列和数学期望.‎ ‎19.在五面体中，，，，，平面平面..‎ ‎（1）证明：直线平面；‎ ‎（2）已知为棱上的点，试确定点位置，使二面角的大小为.‎ ‎20.已知点是圆：上任意一点，点与圆心关于原点对称.线段的中垂线与交于点.‎ ‎（1）求动点的轨迹方程；‎ ‎（2）设点，若直线轴且与曲线交于另一点，直线与直线交于点，证明：点恒在曲线上，并求面积的最大值.‎ ‎21.函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若函数有两个极值点、，且，求证：.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为（为参数）.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）写出直线经过的定点的直角坐标，并求曲线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）若，求直线的极坐标方程，以及直线与曲线的交点的极坐标.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数，记的最小值为.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）是否存在正数，，同时满足：，？并说明理由.‎ 华南师大附中2018届高三综合测试（三）‎ 数学（理）参考答案 一、选择题 ‎1-5: DCBAD 6-10: AACBB 11、12： AC 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.（1）当时，；‎ 由得，当时，，两式相减得，‎ 所以数列是首项是2，公比为2的等比数列，则.‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 所以，则数列的前项和 ‎.‎ ‎18.（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：‎ ‎.‎ 直方图如图所示.‎ 中位数是，‎ 估计这次考试的中位数是分.‎ ‎（2），，的人数是，，，所以从成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率：‎ ‎.‎ ‎（3）因为，，，‎ 所以其分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎0.2401‎ ‎0.4116‎ ‎0.2646‎ ‎0.0756‎ ‎0.0081‎ 数学期望为.‎ ‎19.（1）证明：∵，∴，‎ ‎∴四边形为菱形，∴，‎ ‎∵平面平面，平面平面，‎ ‎∵，∴平面，‎ ‎∴，又∵，‎ ‎∴直线平面.‎ ‎（2）∵，∴为正三角形，‎ 取的中点，连接，则，∴，‎ ‎∵平面平面，平面，平面平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵，∴，，两两垂直，‎ 以为原点，，，为，轴，建立空间直角坐标系，如图，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，.‎ 由（1）知是平面的法向量，‎ ‎∵，，‎ 设，则.‎ 设平面的法向量为，‎ ‎∵，，∴，‎ 令，则，，∴，‎ ‎∵二面角为，‎ ‎∴‎ ‎，解得.‎ ‎∴点靠近点的的三等分点处.‎ ‎20.（1）由题意得，点坐标为，因为为中垂线上的点，所以，‎ 又，所以，‎ 由椭圆的定义知，，.‎ 所以动点的轨迹方程：.‎ ‎（2）证明：设点坐标为，则点的坐标为，且，‎ 所以直线：，即，‎ 直线：，即；‎ 联立方程组，解得，，则 ‎.‎ 所以点恒在椭圆上.‎ 设直线：，，，‎ 则由，消去整理得，‎ 所以，，‎ 所以 ‎，‎ 从而 ‎，‎ 令，则函数在上单调递增，‎ 故，所以，‎ 即当时，面积取得最大值，且最大值为.‎ ‎21.的定义域是，，‎ ‎（1）由题设知，，令，这是开口向上，以为对称轴的抛物线，，‎ ‎①当，即时，，即在上恒成立.‎ ‎②当，即时，由得，令，，则，.‎ ‎1）当即时，，故在上，，即，在上，，即.‎ ‎2）当时，即时，‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 递增 递减 递增 综上：‎ 时，在上单调递减，在上单调递增；‎ 时，在上单调递减，在和上单调递增；‎ 时，在上单调递增.‎ ‎（2）若函数有两个极值点、，且，‎ 则必是，，则，‎ 且在上单减，在和上单增，则，‎ ‎∵、是的二根，‎ ‎∴，即，，‎ ‎∴若证成立，只需证 ‎.‎ 即证 对恒成立，‎ 设 ‎，‎ ‎，‎ 当时，，，，‎ 故，故在上单增，‎ 故 ‎，‎ ‎∴‎ 对恒成立，‎ ‎∴.‎ ‎22.（1）直线经过定点，‎ 由得，‎ 得曲线的普通方程为，化简得；‎ ‎（2）若，得的普通方程为，‎ 则直线的极坐标方程为，‎ 联立曲线：.‎ ‎∵得，取，得，‎ 所以直线与曲线的交点为.‎ ‎23.解：（1）不等式化为，‎ 设函数，‎ 则，令，解得.‎ ‎∴原不等式的解集是.‎ ‎（2）‎ ‎，‎ 当且仅当，即时取等号，故.‎ 假设存在符合条件的正数，，则，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 当且仅当，，即，时取等号，‎ ‎∴的最小值为8，即，‎ ‎∴不存在正数，，使得，同时成立.‎