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- 2024-02-07 发布
课时作业(二十三)
[第三章 4 第2课时 圆周角定理的推论]
一、选择题
1.如图K-23-1所示,AB是⊙O的直径,弦DC与AB相交于点E,若∠ACD=50°,则∠DAB的度数是( )
图K-23-1
A.30° B.40°
C.50° D.60°
2.2017·广东如图K-23-2,四边形ABCD内接于⊙O,DA=DC,∠CBE=50°,则∠DAC的度数为( )
图K-23-2
A.130° B.100° C.65° D.50°
3.下列命题中,正确的有( )
①90°的圆周角所对的弦是直径;
②若圆周角相等,则它们所对的弧也相等;
9
③同圆中,相等的圆周角所对的弦也相等.
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
4.如图K-23-3,▱ABCD的顶点A,B,D在⊙O上,顶点C在⊙O的直径BE上,连接AE,∠E=36°,则∠ADC的度数是( )
图K-23-3
A.44° B.54°
C.72° D.53°
5.如图K-23-4,点D(0,3),O(0,0),C(4,0)在⊙A上,BD是⊙A的一条弦,则cos∠OBD=( )
图K-23-4
A. B. C. D.
6.2018·咸宁如图K-23-5,已知⊙O的半径为5,弦AB,CD所对的圆心角分别是∠AOB,∠COD,若∠AOB与∠COD互补,弦CD=6,则弦AB的长为( )
图K-23-5
A.6 B.8 C.5 D.5
二、填空题
7.2017·南浔区期末如图K-23-6,已知⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E,F,若∠E+∠F=70°,则∠A的度数是________.
图K-23-6
9
8.如图K-23-7,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与BC交于点D,与AC交于点E,连接OD交BE于点M,若BE=8且MD=2,则直径AB为________.
图K-23-7
9.如图K-23-8,⊙O的半径为1,等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上,点D,E也在⊙O上,四边形BCDE为矩形,这个矩形的面积是________.
图K-23-8
三、解答题
10.如图K-23-9,已知在半圆AOB中,AD=DC,∠CAB=30°,AC=2 ,求AD的长.
图K-23-9
11.已知在⊙O的内接四边形ABCD中,AD=BC,AD∥BC.试判断四边形ABCD的形状,并加以证明.
12.如图K-23-10,在⊙O中,直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=40°,∠APD=66°.
(1)求∠B的度数;
9
(2)已知圆心O到BD的距离为4,求AD的长.
图K-23-10
13.已知:如图K-23-11所示,AB为⊙O的直径,AB=AC,BC交⊙O于点D,AC交⊙O于点E,∠BAC=45°.
(1)求∠EBC的度数;
(2)求证:BD=CD.
图K-23-11
14.如图K-23-12,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,AC为⊙O的直径,DB=DC,延长BA,CD相交于点E.
(1)求证:∠EAD=∠CAD;
(2)若AC=10,sin∠BAC=,求AD的长.
9
图K-23-12
图形变换题已知:如图K-23-13,AB是⊙O的一条弦,C为的中点,CD是⊙O的直径,过点C的直线l交AB所在直线于点E,交⊙O于点F.
(1)猜想图①中∠CEB与∠FDC的数量关系,并证明你的结论;
(2)将直线l绕点C旋转(与CD不重合),在旋转过程中,点E,F的位置也随之变化,请在下面的两个备用图中分别画出直线l在不同位置时,使(1)中的结论仍然成立的图形,标上相应字母,并选其中一个图形给予证明.
图K-23-13
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详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1.[解析] B ∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.又∵∠B=∠C=50°,
∴∠DAB=180°-∠ADB-∠B=40°.故选B.
2.[解析] C ∵∠CBE=50°,
∴∠ABC=180°-∠CBE=180°-50°=130°.
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形,
∴∠D=180°-∠ABC=180°-130°=50°.
又∵DA=DC,
∴∠DAC==65°.故选C.
3.[答案] C
4.[解析] B ∵BE是⊙O的直径,∴∠BAE=90°.又∵∠E=36°,∴∠B=54°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ADC=∠B=54°.
5.[解析] C 连接CD,如图所示,∵D(0,3),C(4,0),∴OD=3,OC=4.
∵∠COD=90°,
∴CD==5.
∵∠OBD=∠OCD,
∴cos∠OBD=cos∠OCD==.故选C.
6.[解析] B 如图,延长AO交⊙O于点E,连接BE,
则∠AOB+∠BOE=180°.
又∵∠AOB+∠COD=180°,
∴∠BOE=∠COD,
∴BE=CD=6.
∵AE为⊙O的直径,∴∠ABE=90°,
∴AB===8.故选B.
7.[答案] 55°
[解析] ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形,∴∠A+∠BCD=∠BCF+∠BCD=180°,
∴∠A=∠BCF.
∵∠EBF=∠A+∠E,而∠EBF=180°-∠BCF-∠F,
9
∴∠A+∠E=180°-∠BCF-∠F,
∴∠A+∠E=180-∠A-∠F,
即2∠A=180°-(∠E+∠F)=110°,
∴∠A=55°.
8.[答案] 10
[解析] 连接AD,设AB=x.∵以AB为直径的⊙O与BC交于点D,与AC交于点E,∴∠AEB=∠ADB=90°,即AE⊥BE,AD⊥BC.∵AB=AC,∴BD=CD.∵OA=OB,∴OD∥AC,∴OD⊥BE,∴BM=EM,∴CE=2MD=4,∴AE=AC-CE=x-4.∵在Rt△ABE中,BE=8,∠AEB=90°,∴x2=(x-4)2+82,解得x=10,即直径AB为10.故答案为10.
9.[答案]
[解析] 连接BD,OC,如图.
∵四边形BCDE为矩形,∴∠BCD=90°,∴BD为⊙O的直径,∴BD=2.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=60°,
∴∠BOC=2∠A=120°.
又OB=OC,∴∠CBD=30°.
在Rt△BCD中,CD=BD=1,BC=CD=,
∴矩形BCDE的面积=BC·CD=.
10.解:∵AB是半圆的直径,
∴∠ACB=90°.
∵∠CAB=30°,∴∠ABC=60°.
∵AD=DC,且所对的圆心角为30°×2=60°,∴,,所对的圆心角均为60°,
∴BC=AD.
在Rt△ABC中,∵∠CAB=30°,AC=2 ,
∴BC=2 ×tan30°=2,∴AD=2.
11.[解析] 因为AD=BC,AD∥BC,所以四边形ABCD是平行四边形.再根据圆内接四边形的性质可得出∠B=∠D=90°,因此,四边形ABCD是矩形.
解:四边形ABCD为矩形.
证明:如图,
∵AD∥BC,AD=BC,
∴四边形ABCD为平行四边形,
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∴∠B=∠D.
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠B+∠D=180°,∴∠B=∠D=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
12.解:(1)∵∠CAB=∠CDB(同弧所对的圆周角相等),∠CAB=40°,∴∠CDB=40°.
又∵∠APD=66°,
∴∠B=∠APD-∠CDB=26°.
(2)过点O作OE⊥BD于点E,则OE=4,BE=DE.
又∵O是AB的中点,
∴OE是△ABD的中位线,
∴AD=2OE=8.
13.解:(1)∵AB是⊙O的直径,∴∠AEB=90°.
又∵∠BAC=45°,∴∠ABE=45°.
∵∠BAC=45°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=67.5°,
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=22.5°.
(2)证明:如图所示,连接AD.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC.
又∵AB=AC,∴BD=CD.
14.解:(1)证明:∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形,∴∠BCD+∠BAD=∠EAD+∠BAD=180°,∴∠EAD=∠BCD.
∵DB=DC,∴∠DBC=∠BCD,
∴∠EAD=∠DBC.
又∵∠DBC=∠CAD,∴∠EAD=∠CAD.
(2)∵AC是⊙O的直径,
∴∠ABC=∠ADC=90°.
∵AC=10,sin∠BAC=,∴=,
∴BC=6,∴AB=8.
∵∠EAD=∠CAD,∠ADC=∠ADE=90°,∴∠E=∠ACE,∴AE=AC=10,ED=CD.
∵∠ADE=∠EBC,∠E=∠E,
∴△EAD∽△ECB,
∴==,即==,
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得ED=3 ,∴AD=.
[素养提升]
[解析] (1)根据垂径定理的推论得到CD⊥AB,根据圆周角定理的推论得到∠CFD=90°,然后通过等量代换求证出∠CEB=∠FDC;(2)根据垂径定理得到CD⊥AB,∠CFD=90°,然后通过等量代换求证出∠CEB=∠FDC.
解:(1)∠CEB=∠FDC.
证明:∵CD是⊙O的直径,C为的中点,
∴CD⊥AB,∴∠CEB+∠ECD=90°.
∵CD是⊙O的直径,∴∠CFD=90°,
∴∠FDC+∠ECD=90°,
∴∠CEB=∠FDC.
(2)所画图形不唯一,如图①②.选图②进行证明:如图②,∵CD是⊙O的直径,C为的中点,
∴CD⊥AB,∴∠CEB+∠ECD=90°.
∵CD是⊙O的直径,∴∠CFD=90°,
∴∠FDC+∠ECD=90°,∴∠CEB=∠FDC.
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