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- 2024-02-07 发布
高三普通班开学考试数学试题（理）
第Ⅰ卷 选择题（满分60分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知为虚数单位，若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3.等差数列的前项和为，若为一个确定的常数，下列各式中也为确定常数的是（ ）
A． B． C． D．
4.已知点是圆的内部任意一点，则点满足的概率是（ ）
A． B． C． D．
5.执行如图所示的算法流程图，则输出的结果的值为（ ）
A． B． C． D．
6.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7.若实数，满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8.设，满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．在约束条件下，若目标函数的最大值不超过4，则实数的取值范围（ ）
A B C D
10.设，记 试比较a,b,c的大小关系为（ ）
A B C D
11.设数列的前n项和为，令，称为数列，，……，的“理想数”，已知数列，，……，的“理想数”为2004，那么数列2， ，，……，的“理想数”为 （ ）
A．2002 B．2004 C．2006 D．2008
12．过抛物线的焦点作一直线交抛物线于、两点,若线段、
的长分别为、,则等于( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.抛物线在处的切线与抛物线以及轴所围成的曲线图形的面积为 ．
14.设中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则 ．
15.在三棱锥中，底面为边长为2的正三角形，顶点在底面上的射影为的中心，若为的中点，且直线与底面所成角的正切值为，则三棱锥外接球的表面积为 ．
16.在面积为2的平行四边形中，点为直线上的动点，则的最小值是 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知数列的前项和为，若，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
18.如图，矩形中，，，点是上的动点.现将矩形沿着对角线折成二面角，使得.
（1）求证：当时，；
（2）试求的长，使得二面角的大小为.
19. “双十二”是继“双十一”之后的又一个网购狂欢节，为了刺激“双十二”的消费，某电子商务公司决定对“双十一”的网购者发放电子优惠券.为此，公司从“双十一”的网购消费者中用随机抽样的方法抽取了100人，将其购物金额（单位：万元）按照，分组，得到如下频率分布直方图：
根据调查，该电子商务公司制定了发放电子优惠券的办法如下：
（1）求购物者获得电子优惠券金额的平均数；
（2）从购物者中随机抽取10人，这10人中获得电子优惠券的人数为，求的数学期望.
20. 已知椭圆的焦距为2，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于两点，为椭圆上一点，为坐标原点，且满足，其中，求的取值范围.
21.已知函数，，．
（Ⅰ)若的图像在处的切线过点，求的值并讨论在上的单调增区间；
（Ⅱ）定义：若直线与曲线、都相切，则我们称直线为曲线、的公切线．若曲线与存在公切线，试求实数的取值范围．
选考题：共10分.请考生在22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），直线与曲线交于，两点.
（1）求的值；
（2）若为曲线的左焦点，求的值.
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知函数，，.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1-5: DCBDC 6-10: CBADC 11-12.DA
13. 14.2或4 15. 16.
17.解法一：（1） ，．
当时，，得．
当时，，
，
，即，
．
数列是等差数列，且首项为，公差为2，
．
（2）由（1）可知，，
，——①
，——②
①–②得
，
化简得．
解法二：（1）同解法一.
（2）由（1）可知，，
设，
解得
，
.
18.解: （1）连结，．
在矩形中，,
, ．
在中，∵,
，
∵，
，即．
又在中，
，
∴在中，,
,
又,
∴平面．
∴．
A
B
C
D
F
（2）解：在矩形中，过作于，并延长交于. 沿着对角线翻折后，
由（1）可知，两两垂直，
以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则
,
平面,
为平面的一个法向量．
设平面的法向量为
，,
由得
取则，．
即,
．
当时，二面角的大小是．
A
C
O
E
B
F
19.【答案】（1）64；（2）8.7
【解析】试题分析：⑴通过频率分布直方图可以算出购物者在每个购物金额区间的概率，进而得到购物者获得电子优惠券金额的平均数；
⑵计算出购物者中任取一人获得电子优惠券的概率，进而得到的数学期望
解析：（1）购物者获得50元优惠券的概率为：；
购物者获得100元优惠券的概率为：
购物者获得200元优惠券的概率为：
∴获得优惠券金额的平均数为：（元）
（2）从购物者中任取一人获得电子优惠券的概率为：
依题意：，所以
20.【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：⑴依题意，有，代入椭圆方程即可
⑵该直线存在斜率，设其方程为，联立直线与椭圆的方程，可得
，令，解得的范围，设，，，又根据，利用根与系数的关系可得点坐标，代入椭圆方程进而得出。
解析：（1）依题意，有，∴椭圆方程
（2）由题意可知该直线存在斜率，设其方程为，由得
，∴，得
设，，，则
由得，代入椭圆方程得
由得，
∴
令，则，∴
21.解：（Ⅰ）由，得．又，
故在的切线方程为．带入，得…………2分
．从而，，． …………3分
①当时，，．故的单调增区间为；
②当，即时，，．故的单调增区间为；
③当，即时，由得，故的单调增区间为．
综上，当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为． …………6分
（Ⅱ）设的切点横坐标为，，
切线方程为……①
设的切点横坐标为，，
切线方程为……② …………7分
联立①②，得，消去得．
考虑函数，． …………9分
令，得或．
当或时，，函数在区间，上单调递减，当且时，，函数在区间，上单调递增．
，．故当时，方程有解，
从而，函数与存在公切线． …………12分
22.解：（1）由（为参数），消去参数得：.
由消去参数得：.
将代入中得：.
设，，则.
.
值为.
（2）
.
23.解：（1）在时，.
.
①在时，恒成立..
②在时，，即，即或.
综合可知：.
③在时，，则或，综合可知：.
由①②③可知：.
（2）在时， ，取大值为.
要使，故只需.则..
在时，，最大值为.
要使，故只需..从而.
综合以上讨论可知：.