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- 2024-02-07 发布
2019-2020学年度第一学期期末质量检测
高一数学试题
考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将答案填写在答题纸相对应的位置．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.如图直线的倾斜角分别为则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直线的倾斜程度确定倾斜角的大小.
【详解】由图象可知的倾斜角依次增大，故.
故选B
【点睛】本题主要考查了直线倾斜角的概念，属于容易题.
2.直线在平面直角坐标系中的位置如图，已知轴，则直线的方程不可以用下面哪种形式写出（ ）．
A 点斜式 B. 斜截式 C. 截距式 D. 一般式
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行于轴的直线的特征判断．
【详解】轴，则的横截距不存在，因此不能用截距式表示直线方程．点斜式、斜截式，一般式都可以．
故选：C．
【点睛】本题考查直线方程几种形式，属于基础题．
3.在空间中，下列命题中正确的个数为（ ）．
①有两组对边相等的四边形是平行四边形；②四边相等的四边形是菱形；③平行于同一条直线的两条直线平行；④有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
前两个命题在平面上成立，在空间不一定成立，第三个命题根据平行公理可得，第四个是全等三角形判定定理，正确．
【详解】把一个菱形沿对角线翻折后成一空间四边形，其两组对边相等，四边也相等，但它是空间四边形，不是平行四边形，也不是菱形，①②错，由平行公理知③正确，三角形全等的判定定理在任何时候都成立，④是三角形的边角边判定定理，正确．因此有2个命题正确．
故选：B．
【点睛】本题考查以命题的真假为载体，考查了空间图形与平面图形的相关性质，难度不大，属于基础题．要注意平面几何中成立的结论在空间不一定成立．
4.若三点A(3，1)，B(－2，b)，C(8，11)在同一直线上，则实数b等于
A. 2 B. 3
C. 9 D. －9
【答案】D
【解析】
试题分析：由得，b的值为-9，故选D．
考点：本题主要考查直线方程，直线的斜率计算公式．
点评：简单题，可利用计算AB,AC的斜率相等，也可以先求直线AB的方程，再将点C坐标代入,求得b值．
5.已知点和点，且，则实数的值是（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
分析】
试题分析：由题意得，，解得或，故选D．
考点：向量的模的计算．
【点睛】
请此输入点睛！
【详解】
请在此输入详解！
6.已知直线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A. 0 B. 0或6 C. -4或2 D. -4
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意得，直线与直线垂直，则，
即，解得或，故选B．
考点：两直线位置关系的应用．
7.若坐标原点在圆的内部，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：∵在的内部，则有，解得，选C.
考点：1、点和圆的位置关系；2、二次不等式的解法.
8.垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. A、B、C均有可能
【答案】D
【解析】
【分析】
结合公理及正方体模型可以判断：，，均有可能，可以利用反证法证明结论，也可以从具体的实物模型中去寻找反例证明．
【详解】解：如图，在正方体中，
平面，，，
又，选项有可能；
平面，，，又，选项有可能；
平面，平面，平面，平面，，，
又与不在同一平面内，选项有可能．
故选：．
【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线之间位置关系，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．
9.已知直线的方程为，则圆上的点到直线的距离的最小值是（ ）．
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
求出圆心到直线的距离，减去圆半径即得．
【详解】已知圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，
∴圆的点到直线的距离的最小值为．
故选：B．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆上的点到直线的距离的最值问题，转化为圆心到直线的距离．由这个距离减去半径得最小值，加上半径得最大值．
10.若直线始终平分圆的周长，则、的关系是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
把圆心坐标代入直线方程即可．
【详解】标准方程为，圆心为，
∵直线始终平分圆的周长，
∴，即．
故选：A．
【点睛】本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系．直线平分圆的周长，，则直线过圆心．
11.已知圆的圆心在轴上，且经过，两点，则圆的方程是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设圆心坐标为，利用圆过两点的坐标求出及半径，从而得圆标准方程．
【详解】由题意，设圆心坐标为，∵圆过，两点，∴，解得，则圆半径为．
∴圆方程为．
故选：C．
【点睛】本题考查圆的标准方程，解题关键是求出圆心坐标和半径．
12.圆与圆的位置关系是（ ）．
A. 相交 B. 内切 C. 相离 D. 外切
【答案】B
【解析】
【分析】
求出两圆的圆心距，与两半径的和或差比较可得．
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，圆心距为，∴两圆内切．
故选：B．
【点睛】本题考查两圆位置关系，判断方法是几何法，即求出两圆圆心距，设两圆半径分别为，则外离，外切，相交，内切，内含．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.直线与直线的距离是________．
【答案】
【解析】
【分析】
把两直线方程中的系数分别化为相同，然后由距离公式计算．
【详解】方程化为，
两直线距离为．
故答案为：．
【点睛】本题考查两平行线间的距离，掌握两平行线间距离公式是解题关键，解题时要注意两直线方程中对应未知数的系数需相等．
14.在轴上与点和点等距离的点的坐标为 ．
【答案】（0，0，）
【解析】
【详解】解：由题意设C（0，0，z），
∵C与点A（-4，1，7）和点B（3，5，-2）等距离，
∴|AC|=|BC|，
∴点C的坐标为（0，0，）
15.一个长方体共一项点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是____________.
【答案】
【解析】
【分析】
由长方体对角线与棱长的关系计算．
【详解】设长方体的长、宽、高分别为，则，解得，
∴对角线长．
故答案为．
【点睛】本题考查求长方体的对角线长，设长方体棱长分别为，则对角线长．
16.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是________．
【答案】x2＋y2＝4(x≠±2)
【解析】
设点，由直角三角形斜边中线等于斜边一半知，
P的轨迹方程是以MN为直径的圆，除去M、N两点，圆心（0，0），半径.
所以点P的轨迹方程为x2+y2=4（x≠±2）.
点睛：求轨迹方程的常用方法：
（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0．
（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．
（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．
（4）代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.求经过的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式、截距式和一般式.
【答案】详见解析.
【解析】
试题分析：根据直线的两点式方程有，化简为一般方程为.由此可得直线斜率为，直线的点斜式方程为，化简得到斜截式方程为.令求得横截距和纵截距分别为，所以截距式方程为.
试题解析：（1）过两点的两点式方程是，
点斜式方程为：，斜截式方程为：，
截距式方程为：，一般式方程为：.
18.已知的顶点，求：（1）边上的中线所在的直线方程（2）边上的高所在的直线方程.
【答案】（1）； （2）.
【解析】
【分析】
(1)求得AB的中点M,可得直线CM的两点式方程,化为一般式即可;(2)由斜率公式可得直线AC的斜率,由垂直关系可得直线BH的斜率,可得直线的点斜式方程,化为一般式可得.
【详解】（1）,，
中点，又
直线的方程为，即
（2）直线的斜率为2，
直线的斜率为，
边上的高所在的直线方程为，即
【点睛】本题考查直线的两段式方程、点斜式方程与一般式方程，考查了直线垂直关系的应用,属基础题.
19.如图所示，两个全等的正方形和所在平面相交于，，，且，求证：平面．
【答案】证明见解析；
【解析】
【分析】
过点作交于点，连接．可证明，这样可证得都与平面平行，从而得面面平行后证得线面平行．
【详解】证明：如图，过点作交于点，连接．
则，
∵，，∴．
∴．∴，又．
∴．
∵面，面，∴面．
∵，面，面．∴面．
∵，∴面面．
∵面，∴平面．
【点睛】本题考查证明线面平行，考查面面平行的判定与性质，在立体几何平行证明中线线平行、线面平行、面面平行是相互转化的．
20.一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？
【答案】2
【解析】
试题分析; 建立适当的直角坐标系，得到相关各点的坐标，通过设圆的半径，可得圆的方程，然后将点的坐标代入确定圆的方程，设当水面下降1米后可设 的坐标为 根据点在圆上，可求得 的值，从而得到问题的结果．
试题解析;以圆拱顶点为原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，－2)，
设圆的半径长为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.将点A的坐标代入上述方程可得r＝10，所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.
当水面下降1米后，可设A′(x0，－3)(x0＞0)，代入x2＋(y＋10)2＝100，解得2x0＝2，即当水面下降1米后，水面宽2米．
21.如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别是，的中点，求证：
（1）平面；
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由平面，得，再由，可得线面垂直；
（2）与（1）同理可得平面，从而，再证得，即得结论．
【详解】证明：（1）∵四棱锥的底面是矩形，∴．
∵平面，平面，∴．
又∵，∴平面．
（2）∵平面，平面，∴．
又∵，，∴平面．
∵，分别是，的中点，∴，∴平面．
又∵平面，∴．
【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和性质定理，属于基础题．立体几何中空间垂直关系：线线垂直，线面垂直与面面垂直是相互转化的．
22.已知直线在轴上的截距为，且垂直于直线．
（1）求直线的方程；
（2）设直线与两坐标轴分别交于、两点，内接于圆，求圆的一般方程．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由垂直关系得直线斜率，从而可得直线的斜截式方程；
（2）设出圆的一般方程为．求出两点坐标，中点是圆心，是圆的直径由此可求得．
【详解】解：（1）设直线的方程为．
∵直线的斜率为，所以直线的斜率．
则直线的方程为．
（2）设圆的一般方程为．
由于是直角三角形，
所以圆的圆心是线段的中点，半径为；
由，得，；
故，解得，，．
则圆的一般方程为：．
【点睛】本题考查两直线位置关系，考查求圆的一般方程．求圆的方程可以先确定圆心坐标和半径，利用一般方程与圆心坐标、半径的关系确定方程中的系数．