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- 2024-02-05 发布
如东高级中学 2018-2019 学年第一学期高二年级阶段测试（二）
数学试卷（普通班）
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.请把答案填写在答题卡相．．．．
应的位置上．．．．．.1．命题“ (0, ),sin 12x x ”的否定是 ▲ 命题（填“真”或“假”）．
2．已知一组数据 3，6，9，8，4，则该组数据的方差是 ▲ ．
3．一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了 1000 人，并根据所得数据绘制了样本
频率分布直方图（如图所示），则月收入在[2000，3500）范围内的人数为 ▲ ．
4 ． 若 1, x m 是 不 等 式 22 3 0 x x 成 立 的 充 分 不 必 要 条 件 , 则 实 数 m 的 范 围 是
▲ .
5．运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ ．
6．已知双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的离心率为 5
2
，则 C 的渐近线方程为 ▲ ．
7．为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为
500 的样本．其中大一年级抽取 200 人，大二年级抽取 100 人．若其他年级共有学生 3000 人，
则该校学生总人数是 ▲ ．
8．已知正六棱锥 P－ABCDEF 的底面边长为 2，侧棱长为 4，则此六棱锥的体积为 ▲ ．
9．若椭圆 198
22
y
k
x 的离心率
3
1e ，则 k 的值为 ▲ ．
10．已知 ,m n 是直线， , , 是平面，给出下列命题：①若 , ，则 ；②若
,n n ，则 ；③若 内不共线的三点到 的距离都相等，则 ；④若
,n m ，且 ,n m ，则 ；⑤若 ,m n 为异面直线， , , ,n n m m ，则
。则其中正确的命题是 ▲ ．（把你认为正确的命题序号都填上）
11．抛物线 2 2 ( 0)y px p 上的点 ( 4, )M m 到焦点的距离为 5，则 m 的值为 ▲ ．
12．如图,用一边长为 2 的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形,做成
S←0
For I From 1 To 9
S←S + I
End For
Print S
（第 5 题）
（第 12 题）
(第 3 题)
一个蛋巢，将体积为 4
3
的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋
中心(球心)与蛋巢底面的距离为 ▲ ．
13．在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， E 为线段 1BC 的中点，
F 是棱 1 1C D 上的动点，若点 P 为线段 1BD 上的动点，则 PE PF 的
最小值为 ▲ ．
14．设椭圆 C ：
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的左、右焦点分别为 1 2,F F ，其焦距
为 2c ，点 ( , )2
aQ c 在椭圆的内部，点 P 是椭圆C 上的动点，且 1 1 25PF PQ F F 恒成立，
则椭圆离心率的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时
应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分 14 分)
设命题 p :实数 x 满足 ( )( 3 ) 0x a x a ，其中 0a ，命题 :q 实数 x 满足
(2 8)(2 4) 0x x ．
（1）若 1a ，且 p q 为真，求实数 x 的取值范围；
（2）若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．
16．(本小题满分 14 分)
如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， ,M N 分别为棱 1 1,AC A B 的
中点，且 AB BC
（1）求证：平面 BMN 平面 1 1ACC A ；
（2）求证： MN ∥平面 1 1BCC B .
（第 13 题）
17. (本小题满分 15 分)
已知菱形 ABCD 的边长为 2， 120ABC ， 四边
形 BDEF 是矩形，且 BF 平面 ABCD ， 3BF ．
（1）求证：CF 平面 ADE ；
（2）设 EF 中点为G ，求证 AG 平面CEF ．
18. (本小题满分 15 分)
椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
与直线 1 yx 交于 P 、Q 两点，且 OQOP ，其中 O 为坐标
原点.
（1）求 22
11
ba
的值；
（2）若椭圆的离心率 e 满足 3 2
3 2e ，求椭圆长轴的取值范围.
19.(本小题满分 16 分)
某学校决定在主干道旁边挖一个半椭圆形状的小湖，如图所示，AB=4，O 为 AB 的中点，
椭圆的焦点 P 在对称轴 OD 上，M、N 在椭圆上，MN 平行 AB 交 OD 与 G，且 G 在 P 的右侧，
△MNP 为灯光区，用于美化环境.
(1)若学校的另一条道路 EF 满足 OE=3，tan∠OEF=2，为确保道路安全，要求椭圆上任意
一 点 到 道 路 EF 的 距 离 都 不 小 于
5
5 ， 求 半 椭 圆 形 的 小 湖 的 最 大 面 积 ： ( 椭 圆
12
2
2
2
b
y
a
x ( 0 ba )的面积为 ab )
(2)若椭圆的离心率为
5
5 ，要求灯光区的周长不小于 53 ，求 PG 的取值范围
20. (本小题满分 16 分)
已知椭圆 C： 12
2
2
2
b
y
a
x ( 0 ba )，圆 Q： 2 2( 2) ( 2) 2x y 的圆心 Q 在椭圆 C 上，
点 (0, 2)P 到椭圆 C 的右焦点的距离为 6 ．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过点 P 作互相垂直的两条直线 l1 、l2 ，且 l1 交椭圆 C 于 A，B 两点，直线 l2 交圆 Q 于 C，
D 两点，且 M 为 CD 的中点，求△MAB 的面积的取值范围．
如东高级中学 2018-2019 学年第一学期高二年级阶段测试（二）
数学附加题试卷（普通班）
21-A. 设 是矩阵 的一个特征向量.
（1）求实数 的值；
（2）求矩阵 的特征值.
21-B. 在直角坐标系 中，圆 的参数方程 （ 为参数）．以
为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆 的极坐标方程；
（2）直线 的极坐标方程是 ，射线 与圆 的交点为 、 ，
与直线 的交点为 ，求线段 的长．
22. （本小题满分 10 分）
如图，四棱锥 P－ABCD 中，PA^平面 ABCD，AD∥BC，AB^AD，BC＝3
3，AB＝1，BD
＝PA＝2．
（1）求异面直线 BD 与 PC 所成角的余弦值；
（2）求二面角 A－PD－C 的余弦值．
23.已知点 A(－1，0)，F(1，0)，动点 P 满足 .
(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；
(2)在直线 l：y=2x＋2 上取一点 Q，过点 Q 作轨迹 C 的两条切线，切点分别为 M，N.问：是
否存在点 Q，使得直线 MN∥l？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
如东高级中学 2018-2019 学年第一学期高二年级阶段测试（二）
数学参考答案（普通班）
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.请把答案填写在答题卡相．．．．
应的位置上．．．．．.1．假 2．
5
26 3．700 4．
31, 2
5． 45
6． 1
2y x 7． 7500
8． 12 9． 170 8
或 10． ②⑤ 11． 4 12． 3 1
2 2
13． 5 2
6
14． 1 2,4 2
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时
应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（1）命题 ：实数 满足 ，其中 ，解得 。
因为 ，所以 ： 。
命题 中：实数 满足 2,3 。
因为 且 为真，
所以 为真，且 为真，
所以 1 3
2 3
x
x
，解得 2 3x . ……………………7 分
（2）若 是 的充分不必要条件，则 是 的充分不必要条件，所以 3 3
2
a
a
，解得
1 2a . …………………14 分
16．
17.（1） 平面 //平面 //平面 ………………………7 分
（2）因为 中点为 ，则由 ，
且计算可得： ，
………………………7 分
………………………14 分
又 ，所以， ,
又 ，所以 平面 ． ………………………14 分
18. 设 ),(),,( 2211 yxPyxP ，由 OP ⊥ OQ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0
� 01)(2,1,1 21212211 xxxxxyxy 代入上式得： 又将 代入xy 1
12
2
2
2
b
y
a
x 0)1(2)( 222222 baxaxba ， ,2,0 22
2
21 ba
axx
22
22
21
)1(
ba
baxx
代入①化简得 211
22
ba
.………………………8 分
(2) ,3
2
2
1
2
113
11 2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
a
b
a
b
a
ce 又由（1）知
12 2
2
2
a
ab
2
6
2
5
2
3
4
5
3
2
12
1
2
1 2
2
aa
a
，
∴长轴 2a ∈ [ 6,5 ].………………………16 分
19.
………………………8 分
20. （1）因为椭圆 的右焦点 ， ，所以 ， ......2 分
因为 在椭圆 上，所以 ，由 得 ， ，所以椭圆 的方程
为 ； ......6 分
（2）由题意可得 的斜率不为零，当 垂直于 轴时， 的面积为 ， ......
8 分
当直线 不垂直于 轴时，设直线 的方程为： ，则直线 的方程为： ，
设 ， ，联立 消去 得， ，所以
， ，
则 ， ......10 分
………………………10 分
………………………16 分
………………………13 分
又圆心 到直线 的距离 ，得 ， ......12 分
又 ， ，所以 点到直线 的距离等于 点到 的距离，设为 ，即
，
所以 的面积 ， ......14 分
令 ，则 ，
综上， 面积的取值范围为 。 ......16 分
如东高级中学 2018-2019 学年第一学期高二年级阶段测试（二）
数学附加题参考答案（普通班）
21-A. (1)设 是矩阵 M 属于特征值 的一个特征向量,
则 =λ ,故 ,
计算得出 ,
故实数 5 分
(2) ,
计算得出矩阵 M 的特征值 , 10 分
21-B. （1）圆 的普通方程是 ，又因为 ， ，所以圆
的极坐标方程是 ，化简得： 。 ......5 分
（2）设 为点 的极坐标，则有 ，解得 ，
设 为点 的极坐标，则有 ，解得 ，由于
，所以 ，所以线段 的长为 。 ......10 分
22. （1）因为 PA^平面 ABCD，ABÌ平面 ABCD，ADÌ平面 ABCD，[来源:Z_xx_k.Com]
所以 PA^AB，PA^AD．
又 AD^AB，
故分别以 AB，AD，AP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．
根据条件得 AD＝．
所以 B(1，0，0)，D(0，，0)，C(1，3
3，0)，P(0，0，2)．
从而®＝(－1，，0)，®＝(1，3
3，－2)．
………………………… 3 分
设异面直线 BD，PC 所成角为 q ，
则 cosq ＝|cos＜→
BD，→
PC＞|＝|®×®®×®|
＝|
3
3
19
3
19
3
19
3 |＝57
38．
即异面直线 BD 与 PC 所成角的余弦值为57
38． ………………………… 5 分
（2）因为 AB^平面 PAD，所以平面 PAD 的一个法向量为 ®＝(1，0，0)．
设平面 PCD 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，
由 n^®，n^ ®，®＝(1，3
3，－2)，®＝(0，，－2)，
得3
3
y－2z＝0，
3
y－2z＝0，
y－2z＝0， 解得 2
3
z，
3 33
不妨取 z＝3，则得 n＝(2，2，3)． ………………………… 8 分
设二面角 A－PD－C 的大小为 j，
则 cosj＝cos＜®，n＞＝®®＝3，3
1×5 ＝2
5．
即二面角 A－PD－C 的余弦值为2
5． ………………………… 10 分
23.(1)设 ，
点 ， ，动点 P 满足 ，
,
,
; ………………………… 4 分
(2)直线 l 方程为 ,设 , , .
过点 M 的切线方程设为 ,代入 ,
得 ,
由 , 得
, ………………………… 6 分
所以过点 M 的切线方程为 ,
同理过点 N 的切线方程为 .
所以直线 MN 的方程为 ,
又 ,所以 ,得 ,
而 , 故 点 Q 的 坐 标 为
. ………………………… 10 分