专题6-3 等比数列及其前n项和（测）-2018年高考数学一轮复习讲练测（浙江版） 12页

‎ ‎ ‎2018年高考数学讲练测【新课标版理】【测】第六章 数列 第03节 等比数列及其前n项和 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）‎ ‎1.【2018届安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会高三上第一次联考】已知等比数列满足，则的值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎2.已知等比数列的前项和为.若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知可得，解之得,应选D。‎ ‎3. 【2017届山东省济宁市高三3月模拟考试】设，“， ， 为等比数列”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】由题意得， ， ， 为等比数列，因此 ， ， 为等比数列，所以“， ， 为等比数列”是“”的必要不充分条件，故选B.‎ ‎4. 【原创题】设等比数列的前项和为，满足，且，，则（ ）‎ A．　　　　　　B．　　　　C．　　　　D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知得，，又，则，故，，，所以.‎ ‎5. 【改编题】函数图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是（ ）‎ A． B． C．1 D． ‎ ‎【答案】A ‎6.【2018届广西钦州市高三上第一次检测】我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为（ ）（结果保留一位小数．参考数据：，）（ ）‎ A. 1.3日 B. 1.5日 C. 2.6日 D. 2.8日 ‎【答案】C ‎【解析】设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{an}，其a1=3，公比为，其前n项和为An．莞（植物名）的长度组成等比数列{bn}，其b1=1，公比为2，‎ 其前n项和为Bn．则A，Bn=，‎ 由题意可得：，化为：2n+=7，‎ 解得2n=6，2n=1（舍去）．‎ ‎∴n==1+=≈2.6．‎ ‎∴估计2.6日蒲、莞长度相等，‎ 故答案为：2.6．‎ ‎7. 【2017届浙江台州中学高三10月月考】等比数列中，已知对任意正整数，，则等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C.‎ ‎8.【2018届河北省衡水中学高三上学期二调】设正项等比数列的前项和为，且，若， ，则（ ）‎ A. 63或120 B. 256 C. 120 D. 63‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，解得或.又 所以数列为递减数列，故.设等比数列的公比为，则，因为数列为正项数列，故，从而，所以.选C.‎ ‎9.设等比数列的前项和为，若,,，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知得，，，故公比，又，故，又，代入可求得．‎ ‎10.【2017届湖北武汉市蔡甸区汉阳一中高三第三次模拟】已知成等差数列， 成等比数列，则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎11．【2018届河南省洛阳市高三上尖子生第一次联考】在等比数列中， ， 是方程的根，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】由， 是方程的根，可得： ，显然两根同为负值，可知各项均为负值； .‎ 故选：B. ‎ ‎12．【2017年福建省三明市5月质量检查】已知数列的前项和为，且，，则（　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）‎ ‎13.【2017届浙江省丽水市高三下联考】已知数列是公比为的单调递增的等比数列，且， ， __________； _________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】，且，‎ 解得a1=1，q=2.‎ ‎14.【2017届浙江省ZDB联盟高三一模】已知是等比数列，且， ，则__________， 的最大值为__________．‎ ‎【答案】 5 ‎ ‎【解析】 ‎ ‎ ，即的最大值为．‎ ‎15.【2017届浙江省台州市高三上期末】已知公差不为‎0‎的等差数列‎{an}‎，若a‎2‎‎+a‎4‎=10‎ 且a‎1‎‎,a‎2‎,‎a‎5‎成等比数列，则a‎1‎‎=‎__________．an‎=‎_________．‎ ‎【答案】 1, ‎2n-1‎.‎ ‎16．已知满足，类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得___________．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】因为，‎ 所以，‎ 两式相加可得，‎ 又因为，‎ 所以．‎ 二、 解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17．【2017届浙江省丽水市高三下测试】已知数列的相邻两项是关于的方程的两实根，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式.‎ ‎【答案】（1）， ， （2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题中所给的递推关系可得， ， .‎ ‎(2)由题意可得数列是首项为，公比为-1的等比数列.则.‎ ‎（2）∵，‎ 故数列是首项为，公比为-1的等比数列.‎ 所以，即.‎ ‎18.【改编题】已知等比数列{}的公比为，且满足，++=，=.‎ ‎（1）求数列{}的通项公式；‎ ‎（2）记数列{}的前项和为 ，求 ‎【答案】（1）=（）;（2）= .‎ ‎【解析】（1）由=，及等比数列性质得=，即=， ‎ 由++=得+=‎ 由得所以，即 解得=，或= ‎ 由知，{}是递减数列，故=舍去，=，又由=，得=，‎ 故数列{}的通项公式为=（） ………………6分 ‎（2）由（1）知=，所以=+ ①‎ ‎=+++…++ ② ‎ ‎①－② 得：=++－‎ ‎=（++）－‎ ‎=－=－,所以= .‎ ‎19．【2017全国卷2】已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，，，.‎ ‎（1）若，求的通项公式；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎【答案】(1).(2)或. ‎ ‎(2)由(1)及已知得，解得或.‎ 所以或. ‎ ‎20．已知数列的前项和为，，，．‎ ‎（Ⅰ) 求证：数列是等比数列；‎ ‎（Ⅱ) 设数列的前项和为，，点在直线上，若不等式 对于恒成立，求实数的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ)详见解析; （Ⅱ) .‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ)由（Ⅰ)得，因为点在直线上，所以，‎ 故是以为首项，为公差的等差数列， ‎ 则，所以，‎ 当时，，‎ 因为满足该式，所以 ‎ 所以不等式，‎ 即为，‎ 令，则，‎ 两式相减得，‎ 所以 由恒成立，即恒成立，‎ 又，‎ 故当时，单调递减；当时，；‎ 当时，单调递增；当时，；‎ 则的最小值为，所以实数的最大值是 ‎ ‎21.【2017届安徽省亳州市二中高三下检测】已知各项均不相等的等差数列满足，且成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）当为偶数时， .当为奇数时， .‎ ‎（Ⅱ）由，可得 ‎，‎ 当为偶数时，‎ ‎.‎ 当为奇数时， 为偶数，于是 ‎22.设数列的前项和为，若存在非零常数，使对任意都有成立，则称数列为“和比数列”．‎ ‎（1）若数列是首项为，公比为的等比数列，判断数列是否为“和比数列”；‎ ‎（2）设数列是首项为，且各项互不相等的等差数列，若数列是“和比数列”，求数列的 通项公式．‎ ‎【答案】（1）是，证明见解析；（2）‎ 试题解析：（1）由已知，，则．‎ 设数列的前项和为，则，．‎ 所以，故数列是“和比数列”．‎ ‎（2）设数列的公差为（），前项和为，则，‎ ‎，所以 因为是“和比数列”，则存在非零常数，使恒成立．‎ 即，即恒成立．‎ 所以因为，则，‎ 所以数列的通项公式是 ‎ ‎