数学理卷·2018届福建省福州市第八中学高二上学期期末考试（2017-01） 10页

福州八中2016—2017学年第一学期期末考试 高二数学（理）‎ 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 ‎ 2016.1.18‎ 第Ⅰ卷 （100分）‎ ‎ 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）‎ ‎ 1.命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是 ‎ A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数 ‎ ‎ B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数 ‎ C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数 ‎ ‎ D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数 ‎ 2．“点到两条坐标轴距离相等”是“点的轨迹方程为”的 ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎ C．充要条件 D．不充分不必要条件 ‎ 3.平面内，到两定点、的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹 ‎ A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．两条射线 ‎ 4.顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为 ‎ A．x2＝±3y　 B．x2＝±12y C．y2＝±6x D．y2＝±6y ‎ 5.已知正方体ABCD－A′B′C′D′ ，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则等于 ‎ A. ＋＋ B. ＋＋ ‎ C. ＋＋ D. ＋＋ ‎6. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是 ‎ A. B. ‎ ‎ C. 　 D. ‎ ‎ 7.如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是 ‎ A． B． ‎ ‎ C． D． ‎ ‎ 8. 己知直线l的斜率为k，它与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，F为抛物线的焦点， 若＝2，则|k|＝‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎ 9. 命题的否定是 。‎ ‎ 10.与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的方程为 。‎ ‎ 11. 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则 。‎ ‎ 12. 给出下列命题：‎ ‎ ①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直；‎ ‎ ②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；‎ ‎ ③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β；‎ ‎ ④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1.‎ 其中真命题的是 ．（把你认为正确命题的序号都填上） ‎ ‎ 三、解答题（本大题共有3个小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）‎ ‎ 13．(本小题满分13分) ‎ ‎ 命题p：方程没有实数根（），命题q：定义域为R，若命题p为真命题，p 为假命题,求k的取值范围 ‎ 14．(本小题满分13分)‎ ‎ 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱⊥底面，，是的中点，作交于点．建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量方法解答以下问题：‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎ （2）求二面角的正弦值． ‎ ‎ 15. （本题满分14分）‎ ‎ 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F并且经过点A（1，﹣2）．‎ ‎ （1）求抛物线C的方程；‎ ‎ （2）过F作倾斜角为45°的直线l，交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN的面积。‎ 第Ⅱ卷（50分）‎ ‎ 一、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）‎ ‎ 16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的 ‎ A.必要条件 B.充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 ‎ 17. 若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为 ‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎ 18. 已知命题，，命题，，若命题“”是真命题，则实数的取值范围是 ‎ A.或 B.或 ‎ ‎ C. D.‎ ‎ 19. 在空间直角坐标系中，已知，，，，若，，分别表示三棱锥在，，坐标平面上的正投影图形的面积，则 ‎ A． B．且 ‎ C．且 D．且 ‎ 二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）‎ ‎ 20．已知椭圆的左焦点为，点是椭圆上异于顶点的任意一点，为坐标原点，若点是线段的中点，则的周长为 ． ‎ ‎21. 如图，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是,在第一象限的公共点．若，则的离心率是 。‎ ‎ 三、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）‎ ‎ 22．（本小题满分14分）‎ 如图,在四棱锥中, ‎ 平面平面,‎ ‎,,,,‎ ‎,.‎ ‎ （1）求证: 平面；‎ ‎ （2）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎ （3）在棱上是否存在点,使得平面？若存在, 求的值；若不存在, 说明理由.【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎ 23.（本小题12分）已知椭圆（）的离心率，过点和的直线与原点的距离为．【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎ 求椭圆的方程；‎ 设、为椭圆的左、右焦点，过作直线交椭圆于、两点，求的内切圆半径的最大值．‎ 福州八中2016—2017学年第一学期期末考试 高二数学（理） 试卷参考答案及评分标准 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）‎ ‎1-8. CBDB ADAD【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎9. 10. 11. 4 12. ①④‎ 三、解答题（本大题共有3个小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）‎ ‎13.【解析】命题q:方程没有实数根（），‎ ‎=＜0, ＜k＜3-----------3分 命题q:g(x)=恒成立， ‎ 当k=0时；1＞0恒成立，符合条件 当k时；‎ 综上.…………….7分 命题p为真命题，p 为假命题，则p，q一真一假………………………………8分 如果p真且q假，则………………………..10分 如果p假且q真，则…………………………….12分 综上，k的取值范围为(-3，0)∪[3，4)．…………………………………….13分 ‎14.【解析】如图建立空间直角坐标系，点为坐标原点，设. ……..…1分 ‎（1）证明：连结交于点，连结.依题意得.‎ 高二数学理期末试卷答案 第1页 共4页 高二数学理期末试卷答案 第2页 共4页 因为底面是正方形，所以点是此正方形的中心，‎ 故点的坐标为，且. ‎ 所以,即,而平面,且平面,‎ 因此平面． ……6分 ‎（2）,又,故,所以.‎ 由已知，且,所以平面. ………7分 所以平面的一个法向量为.,‎ 不妨设平面的法向量为 则 ‎ 不妨取则，即 …10分 设求二面角的平面角为 ‎ 因为，所以．‎ 二面角的正弦值大小为． ………13分 ‎15.【解析】‎ ‎（1）把点A（1，﹣2）代入抛物线C：y2=2px（p＞0），可得（﹣2）2=2p×1，解得p=2．‎ ‎∴抛物线C的方程为：y2=4x． ------------5分 ‎（2）F（1，0）．设M（x1，y1），N（x2，y2）．‎ 直线l的方程为：y=x﹣1．联立，化为x2﹣6x+1=0，-------------7分 ‎∴x1+x2=6，x1x2=1．----9分 ‎∴|MN|===8．--------------11分 原点O到直线MN的距离d=．----------13分 ‎∴△OMN的面积S===．---------14分 第Ⅱ卷 一、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）‎ ‎ ACAD 二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）‎ ‎ 20． 21. ‎ 三、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）‎ ‎22. （本小题满分13分）‎ ‎【解析】（1）证明: 因为平面平面,平面,又因为平面. -----------------4分 ‎（2）如图, 取的中点,连接又因为平面,平面平面,平面,平面,.如图建立空间直角坐标系,由题意.‎ 设平面的法向量为,则,即,令,则 ‎,‎ 又,‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.--------9分 ‎（3）设是棱上一点，则存在使得，因此点平面平面，当且仅当，‎ 即，解得，所以在棱上存在点使得平面，‎ 此时. -----------14分 ‎23. （本小题12分）‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎