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- 2024-02-03 发布
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专题过关检测（九） 导数的单调性、极值、最值问题
1．(2019·洛阳尖子生第二次联考)已知函数f(x)＝－ln x，m∈R.
(1)若函数f(x)的图象在(2，f(2))处的切线与直线x－y＝0平行，求实数n的值；
(2)试讨论函数f(x)在区间[1，＋∞)上的最大值．
解：(1)由题意得f′(x)＝，∴f′(2)＝.
由于函数f(x)的图象在(2，f(2))处的切线与直线x－y＝0平行，
∴＝1，解得n＝6.
(2)f′(x)＝，令f′(x)<0，得x>n；令f′(x)>0，得x1时，函数f(x)在[1，n)上单调递增，在(n，＋∞)上单调递减，
∴f(x)max＝f(n)＝m－1－ln n.
2．已知x＝1是f(x)＝2x＋＋ln x的一个极值点．
(1)求函数f(x)的单调递减区间．
(2)设函数g(x)＝f(x)－，若函数g(x)在区间[1,2]内单调递增，求a的取值范围．
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2－＋，x∈(0，＋∞)．
因为x＝1是f(x)＝2x＋＋ln x的一个极值点，
所以f′(1)＝0，即2－b＋1＝0.
解得b＝3，经检验，适合题意，所以b＝3.
因为f′(x)＝2－＋＝，
解f′(x)<0，得00)，
g′(x)＝2＋＋(x>0)．
因为函数g(x)在[1,2]上单调递增，
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所以g′(x)≥0在[1,2]上恒成立，即2＋＋≥0在[1,2]上恒成立，所以a≥－2x2－x在[1,2]上恒成立，
所以a≥(－2x2－x)max，x∈[1,2]．
因为在[1,2]上，(－2x2－x)max＝－3，
所以a≥－3，即a的取值范围为[－3，＋∞)．
3．(2019·沈阳质量监测)已知函数f(x)＝(x－1)2＋mln x，m∈R.
(1)当m＝2时，求函数f(x)的图象在点(1,0)处的切线方程；
(2)试讨论函数f(x)的单调性．
解：(1)当m＝2时，f(x)＝(x－1)2＋2ln x，
其导数f′(x)＝2(x－1)＋，
所以f′(1)＝2，即切线斜率为2，
又切点为(1,0)，所以切线方程为2x－y－2＝0.
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2(x－1)＋＝，
令g(x)＝2x2－2x＋m，x>0，
其图象的对称轴为x＝，g＝m－，g(0)＝m.
①当g≥0，即m≥时，g(x)≥0，即f′(x)≥0，此时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
②当g<0且g(0)>0，即02时，a2>a＋2，
可得当x∈(－∞，a＋2)时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数；当x∈(a＋2，a2)时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数；当x∈(a2，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数．
∴当x＝a＋2时，函数f(x)有极大值f(a＋2)；当x＝a2时，函数f(x)有极小值f(a2)．
③当－10，函数f(x)为增函数；当x∈(a2，a＋2)时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数；当x∈(a＋2，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数．
∴当x＝a＋2时，函数f(x)有极小值f(a＋2)；当x＝a2时，函数f(x)有极大值f(a2)．
5．已知常数a≠0，f(x)＝aln x＋2x.
(1)当a＝－4时，求f(x)的极值；
(2)当f(x)的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围．
解：(1)由已知得f(x)的定义域为x∈(0，＋∞)，
f′(x)＝＋2＝.
当a＝－4时，f′(x)＝.
∴当02时，f′(x)>0，即f(x)单调递增．
∴f(x)只有极小值，且在x＝2时，f(x)取得极小值f(2)＝4－4ln 2.
(2)∵f′(x)＝，
∴当a>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，即f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值；
当a<0时，由f′(x)>0得，x>－，
∴f(x)在上单调递增；
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由f′(x)<0得，x<－，
∴f(x)在上单调递减．
∴当a<0时，f(x)的最小值为f＝aln＋2.
根据题意得f＝aln＋2≥－a，
即a[ln(－a)－ln 2]≥0.
∵a<0，∴ln(－a)－ln 2≤0，解得a≥－2，
∴实数a的取值范围是[－2,0)．
6．已知函数f(x)＝4x3－3x2cos θ＋cos θ，其中x∈R，θ为参数，且0≤θ<2π.
(1)当cos θ＝0时，判断函数f(x)是否有极值；
(2)要使函数f(x)的极小值大于零，求参数θ的取值范围．
解：(1)当cos θ＝0时，f(x)＝4x3，x∈R.
所以f′(x)＝12x2≥0，所以函数f(x)无极值．
(2)因为f′(x)＝12x2－6xcos θ，
设f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝，
由(1)可知，只需分下面两种情况讨论：
①当cos θ>0时，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以当x＝时，f(x)取得极小值，
极小值f＝－cos3θ＋cos θ，
要使f>0，则有－cos3θ＋cos θ>0，
所以00，f(x)单调递增；
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以当x＝0时，f(x)取得极小值．
极小值f(0)＝cos θ.
若f(0)>0，则cos θ>0，矛盾．
所以当cos θ <0时，f(x)的极小值不会大于零．
综上所述，要使函数f(x)在R内的极小值大于零，参数θ的取值范围是∪.
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