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- 2024-02-03 发布
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21.2.2 公式法
※教学目标※
【知识与技能】
1.理解并掌握求根公式的推导过程．
2.能利用公式法求一元二次方程的解．
【过程与方法】
经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力．
【情感态度】
用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严禁认真的科学态度．
【教学重点】
求根公式的推导和公式法的应用．
【教学难点】
一元二次方程求根公式的推导．
※教学过程※
一、复习导入
1.前面我们学习过直接开平方法解一元二次方程，比如，方程，：
提问1 这种解法的（理论）依据是什么？
提问2 这种解法的局限性是什么？（只对那种“平方式等于非负数”的特殊的一元二次方程有效，不能实施于一般形式的一元二次方程）
2. 面对这种局限性，我们该怎么办？（使用配方法，把一般形式的一元二次方程化为能够直接开平方的形式）
（学生活动） 用配方法解方程：．
总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）
（1） 先将已知方程化为一般形式；
（2） 二次项系数化为1；
（3） 常数项移到右边；
（4） 方程两边都加上一次项系数的一般的平方，使左边配成一个完全平方式；
（5） 变形为的形式，如果，就可以直接开平方求出方程的解，如果
，则一元二次方程无解．
二、 探索新知
能否用上面配方法的步骤求出一元二次方程的两根？
移项，得．
二次项系数化为1，得．
配方，得，即．
此时，教师应作适当停顿，提出如下问题，引导学生分析、探究：
4
（1） 两边能直接开平方吗？为什么？
（2） 你认为下一步该怎么办？
师生共同完善认知：
（1）当b2-4ac＞0时，两边可直接开平方，得，∴，；
（2）当b2-4ac=0时，有.∴（注意：防止出现的错误认知；
（3）当b2-4ac<0时，由可知，此方程无解.
归纳总结
一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=.
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；
当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ<0时，方程无实数根.
当Δ≥0时，方程的实数根可以写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式.
三、 掌握新知
例1 不解方程判断下列各方程的根的情况：（1）；（2）；（3）.
分析：找出方程中二次项系数、一次项系数和常数项，利用与0的大小关系可得出结论.注意：在确定你给方程中a，b，c的值时，一定得先把方程化为一般形式后才能确定，否则会出现失误.
解：（1）∵，，，∴，∴原方程有两个不相等的实数根；
（2）∵，，，∴，∴
4
原方程有两个相等的实数根；
（3）∵，，，∴，∴原方程无实数根.
例2 用公式法解下列方程：（1）；（2）；（3）；
（4）.
分析：将方程化为一般形式后，找出a，b，c的值并计算后，可利用公式求出方程的解.
解：（1），，..方程有两个不相等的实数根,即，.
（2），，..方程有两个相等的实数根.
（3）方程化为.，，.
.
方程有两个不相等的实数根，即，.
（4）方程化为.，，.
.方程无实数根.
教师接着引导学生阅读教材第12页有关引言中问题的解答，向学生提问：（1）什么情况下根的取值为正数？（2）列方程解决实际问题在取值时应注意什么？
雕像下部高度x（m）满足方程.用公式法解这个方程，得，即，.如果结果保留小数点后两位，那么，.但是只有符合问题的实际意义，因此雕像下部高度应设计约为1.24m.
三、 巩固练习
1. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是 .
2.方程的根是 .
3.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B.且 C. D.且
4.关于x的一元二次方程有一个根为0，试求m的值．
4
5.解下列方程：（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）.
6.求第21.1节中问题1的答案.
答案：1. 2. 3.B
4.把代入方程，得，解得，.又∵，即，故m的值为-3.
5.（1）， （2）， （3），
（4）， （5）， （6），
6.铁皮各角应切去25cm2大的正方形.
五、归纳小结
通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？
※布置作业※
从教材习题21.2中选取．
※教学反思※
1.本课容量较大，难度较大，计算的要求较高，因此在教学设计各环节均围绕着利用公式法解一元二次方程这一重点内容展开，问题设计，课堂学习有利于学生强化运算能力，掌握基本技能，也有利于教师发现教学中存在的问题.
2.在教学设计中，引导学生自主探索一元二次方程的求根公式，在师生讨论中发现求根公式，并如何利用公式解一元二次方程.
3.整个课堂都以学生动手训练为主，让学生积极介入探索活动，体验到成功的喜悦.
4.公式法是在配方法的基础上推出的一种解一元二次方程的基本方法，它使解一元二次
方程更加简便，在公式的运用中，涉及到根的判别式，使公式法解一元二次方程得到延续和深化.
4
