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- 2024-02-03 发布
应 县 一 中 高 二 年 级 月 考 一
数 学 试 题（理） 2018.9
时间：120分钟 满分：150分 命题人：于文君
一．选择题（共12题，每题5分）
1．若直线与直线所成的角相等,则的位置关系为( )
A.相交 B.平行 C.异面 D.以上答案都有可能
2．下列说法中正确的是( )
A.棱柱的侧面可以是三角形
B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱
C.所有的几何体的表面都能展成平面图形
D.棱柱的各条棱都相等
3．给定下列命题，其中正确命题为（ ）
A．若一直线与一个平面不平行，则此直线与平面内所有直线不平行，
B．若一直线平行于一个平面，则此直线平行于平面内所有直线；
C．若一直线与一个平面不垂直，则此直线与平面内所有直线不垂直；
D．若一直线垂直于一个平面，则此直线垂直于平面内所有直线；
4．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AC⊥AB，BC⊥BD，平面ABC⊥平面BCD．
①AC⊥CD②AD⊥BC③平面ABC⊥平面ABD④平面ACD⊥平面ABD．
以上结论正确的个数有（ ）
A．1 B．2
C．4 D．5
5.,为异面直线, 平面,平面,直线满足,,,,则( )
A. 且 B. 且
C. 与相交,且交线垂直于 D. 与相交,且交线平行于
6．已知A（5，2），B（﹣1，4），则AB的垂直平分线方程为（ ）
A．x﹣3y+7=0 B．3x﹣y﹣3=0 C．3x+y﹣7=0 D．3x﹣y﹣7=0
7．下列说法中正确的是( )
A．平行的两条直线的斜率相等
B．只有斜率相等的两条直线才平行
C．平行的两条直线的倾斜角一定相等
D．垂直的两直线的斜率之积为－1
8．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．过点（2，3），且到原点的距离最大的直线方程是（ ）
A．3x+2y﹣12=0 B．2x+3y﹣13=0 C．x=2 D．x+y﹣5=0
10．一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么它的三个侧面( )
A.至多有一个是直角三角形 B.至多有两个是直角三角形
C.可能都是直角三角形 D.必然都是非直角三角形
11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，当点Q在（ ）位置时，平面D1BQ∥平面PAO．
A．Q与C重合 B．Q与C1重合
C．Q为CC1的三等分点 D．Q为CC1的中点
12．棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q是上两动点，且PQ=1，则三棱锥P—AQD的体积为（ ）
A. 8 B. C. 3 D.
二．填空题（共4题，每题5分）
13．两个不重合的平面可以把空间分成__________部分.
14．已知直线m，n与平面α，β，若m∥α，n∥β且α∥β，则直线m，n的位置关系为 ．
15．已知M（﹣2，1），N（3，2），直线y=kx+1与线段MN有交点，则k的范围是 ．
16．将正方形沿对角线折成直二面角,有如下四个结论:
①;②是等边三角形;③与平面成的角;④与所成的角为。其中正确的编号是 ．
三．解答题（共6题，第17题为10分，其余各题每题为12分）
17．在空间四边形中，、、、分别是边、、、的中点，对角线且它们所成的角为。
( 1 )求证：，( 2 )求四边形的面积。
18．过点引三条长度相等不共面的线段、、,且,
,求证:平面平面。
19. 已知一个几何体的三视图如图所示．
（Ⅰ）求此几何体的表面积；
（Ⅱ）正视图中，如果点A为所在线段中点，
点B为顶点，求在几何体侧面上从点A到
点B的最短路径的长．
20. 在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中
点，E，F分别边AB，BC上的点，且==．求证：
①点E，F，G，H四点共面；
②直线EH，BD，FG相交于一点．
21.已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，点E为AB中点，点F为PD中点．
( 1 )证明：平面PED⊥平面PAB；
( 2 )求二面角P－AB－F的平面角的余弦值．
22.如图，四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝，M为BC上一点，且BM＝.
(1)证明：BC⊥平面POM；
(2)若MP⊥AP，求四棱锥PABMO的体积．
高二月考一理数答案2018.9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
B
D
B
D
B
C
C
B
C
D
D
13. 三或四 14. 平行或相交或异面 15. k≤0或 16. ①②④
17．解：⑴在中，、分别是边、的中点，
∴∥，
在中，、分别是边、的中点，
∴∥，
∴∥且，
同理：∥且，
∵，∴，
∴四边形为菱形，∴。
⑵∵∥，∥，
∴（或的补角）即为异面直线与所成的角，
由已知得：四边形的面积为：。
18.证明：作平面,为垂足,
∵,,
∴,同理,
∴,
∴为△的外心,
又,
故为中点,
即在平面内,
所以平面平面。
19.解：（Ⅰ）由三视图知：该几何体是一个圆锥与圆柱的组合体，
其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和；
则S圆锥侧=×（2π×2）•（2）=4π，
S圆柱侧=（2π×2）×4=16π，
S圆柱底=π•22=4π，
所以S表面积=4π+16π+4π=4π+20π；…（6分）
（Ⅱ）沿A点与B点所在母线剪开圆柱侧面，如图所示：
则AB===2，
所以从A点到B点在侧面上的最短路径的长为2．（12分）
20. 证明：①如图所示，
空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，∴HG∥AC；
又==，∴EF∥AC，∴EF∥HG，E、F、G、H四点共面；
②设EH与FG交于点P，
∵EH⊂平面ABD
∴P在平面ABD内，
同理P在平面BCD内，
且平面ABD∩平面BCD=BD，
∴点P在直线BD上，
∴直线EH，BD，FG相交于一点．
21（1）证明：连BD．∵AB＝AD，∠DAB＝60°，
∴△ADB为等边三角形，∴E是AB中点．∴AB⊥DE，∵PD⊥面ABCD，
AB面ABCD，∴AB⊥PD．
∵DE面PED，PD面PED，DE∩PD＝D，
∴AB⊥面PED，∵AB面PAB．∴面PED⊥面PAB．
（2）解：∵AB⊥平面PED， PE面PED，∴AB⊥PE．连结EF，∵ EF面PED，∴AB⊥EF．∴ ∠PEF为二面角P－AB－F的平面角．
设AD＝2，那么PF＝FD＝1，DE＝．
在△PEF中，PE＝，EF＝2，PF＝1
∴cos∠PEF＝
即二面角P－AB－F的平面角的余弦值为．
22.. 解：(1)证明：如图，因为四边形ABCD为菱形，O为菱形中心，连接OB，AM，则AO⊥OB.因为∠BAD＝，
故OB＝AB·sin∠OAB＝2sin＝1，
又因为BM＝，且∠OBM＝，在△OBM中，
OM2＝OB2＋BM2－2OB·BM·cos∠OBM
＝12＋2－2×1××cos＝.
所以OB2＝OM2＋BM2，故OM⊥BM.
又PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM，OP都垂直，
所以BC⊥平面POM.
(2)由(1)可得，OA＝AB·cos∠OAB＝2×cos＝.
设PO＝a，由PO⊥底面ABCD知，△POA为直角三角形，故PA2＝PO2＋OA2＝a2＋3.
由△POM也是直角三角形，
故PM2＝PO2＋OM 2＝a2＋.
在△ABM中，
AM2＝AB2＋BM2－2 AB·BM·cos∠ABM
＝22＋2－2×2××cos＝.
由已知MP⊥AP，故△APM为直角三角形，则
PA2＋PM2＝AM 2，即a2＋3＋a2＋＝，得a＝，a＝－(舍去)，
即PO＝.
此时S四边形ABMO＝S△AOB＋S△OMB＝·AO·OB＋·BM·OM＝××1＋××＝.
所以四棱锥PABMO的体积
VPABMO＝·S四边形ABMO·PO＝××＝.