数学文卷·2018届广东省广雅学校高三上学期第一次月考（2017 9页

阳东广雅中学2018届高三第一次月考 数学（文科）试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。‎ 第一部分 选择题（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎ 1．若集合则集合（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．复数等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.函数的最小正周期为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎4. 命题“若，则”的否命题是（ ） ‎ ‎ A．若，则 B．若， 则 ‎ ‎ C．若，则 D．若，则 ‎ ‎5. 如图，在程序框图中，若输入，则输出的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.已知，则=（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.已知角的终边上一点，则（ ）‎ ‎ A.1 B. C. D.‎ ‎9. 已知的取值如下表：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.8‎ ‎6.7‎ 从散点图可以看出与线性相关，且回归方程为，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.若< 0，则 ①； ②； ③； ④其中正确是(　　)‎ ‎ A．③     B．①②     C．②③     D．①④‎ ‎11.已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意两个实数，不等式 恒成立，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 已知函数, 则 的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第二部分 非选择题（90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13. ．‎ ‎14. 函数的对称轴方程为 ．‎ ‎15.若变量，满足约束条件，则的最小值为 ．‎ ‎16.已知定义在区间上的函数，则的单调递减区间是 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，前5题每题12分，选考题10分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17. （本题满分12分）已知，计算下列各式的值：‎ ‎（1） （2）‎ ‎18．（本题满分12分）已知函数 ‎ （1）求函数的最小正周期及单调递减区间；‎ ‎（2）求在区间上的最大值和最小值 ‎19.（本题满分12分）已知函数 的部分图象如图所示.‎ ‎ (1)求函数的解析式； ‎ ‎（2）的图象经过怎样的伸缩平移变换可以得到的图象？‎ ‎ ‎ ‎20.（本题满分12分）近年来某城市空气污染较为严重，现随机抽取一年（365天）内100天的空气中PM2.5指数的检测数据，统计结果如下：‎ PM2.5指数 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染 天数 ‎4‎ ‎13‎ ‎18‎ ‎30‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎15‎ 记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S（单位：元），PM2.5指数为.当在区间内时对企业没有造成经济损失；当在区间内时对企业造成的经济损失成直线模型（当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元；当PM2.5指数为200时造成的经济损失为700元）；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2000元.‎ （1） 试写出的表达式；‎ （2） 试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率；‎ （3） 若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有95％的把握认为该城市本年度空气重度污染与供暖有关？‎ 附：‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎，其中 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 ‎100‎ ‎21.已知函数 ‎（1）若，当时，求的单调递减区间；‎ ‎（2）若函数有唯一的零点，求实数的取值范围.‎ ‎22. 在极坐标系中，圆C的方程为 ‎，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为为参数）‎ ‎（1）求圆C的标准方程和直线的普通方程；‎ ‎ （2）若直线与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围。‎ 阳东广雅中学2018届高三第一次月考 数学（文科）试题答案 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 选项 A C B C C A D B B D C D 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13、 14、 15、 16、‎ 三、解答题 ‎17. 解：（1）原式=…………………6分 ‎（2）原式=……………………………….12分 ‎18. 解：（1）因为，所以…………………………2分 由得…………………………………………4分 所以函数在区间单调递减…………………………6分 ‎（2）因为，所以 …………………………8分 所以，所以…………………11分 即在区间上的最大值为2，最小值为…………………………12分 ‎19. 解：(1)（数形结合求解析式）‎ 由题设图象知，周期，所以……………………1分 因为点在函数图象上，所以…2分 又……………………4分 又点（0，1）在函数图象上，所以，解得…………………………5分 故函数的解析式为………………………………………6分 ‎ (2)解法一：将的图象向左平移个单位，可以得到的图象………………………………………8分 再将图象上每个点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可以得到的图象………………………………………10分 再将图象上每个点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，可以得到的图象………………………………………12分 解法二：将的图象上的每个点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可以得到的图象………………………………………8分 再将图象上的点向左平移个单位，可以得到……………………10分 再将图象上每个点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，可以得到的图象………………………………………12分 ‎20. 0，‎ ‎20、解：依题意可得 …………………..3分 ‎ 2000，‎ ‎（2）设“在本年内随机抽取一天，该天的经济损失S大于500元不超过900元”为事件A，‎ 由得，频数为39，则……………..7分 ‎ ‎（3）根据题中数据得到如下列联表：‎ 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 非供暖季 ‎63‎ ‎7‎ ‎70‎ 合计 ‎85‎ ‎15‎ ‎100‎ ‎………..9分 ‎…………………..11分 所以有95％的把握认为该城市本年度空气重度污染与供暖有关…………..12分 ‎21. 解：（1）的定义域为…………………………………………………..1分 当时 ‎…………………………..2分 由得或……………………………………………..3分 所以的单调递减区间为……………………………………………4分 ‎（2）问题等价于有唯一的实根，显然，则关于的方程有唯一的实根……………………………………………………………………………………5分 构造函数，则…………………………………………6分 令，得 当时，单调递减 当时，单调递增 的极小值为………………………………………………9分 则要使方程有唯一的实根，只需直线与曲线有唯一的交点，‎ 则或 解得或 故实数的取值范围是………………………………………………12分 ‎22. 解：（Ⅰ）由得，，则，‎ ‎∴直线l的普通方程为：4x﹣3y+5=0，……………………………………………2分 由ρ=2acosθ得，ρ2=2aρcosθ 又∵ρ2=x2+y2，ρcosθ=x ‎∴圆C的标准方程为（x﹣a）2+y2=a2，……………………………………………5分 ‎（Ⅱ）∵直线l与圆C恒有公共点，∴，…………7分 两边平方得9a2﹣40a﹣25≥0，∴（9a+5）（a﹣5）≥0‎ ‎∴a的取值范围是．………………………………………………10分