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- 2024-02-02 发布
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一 数学归纳法
课后篇巩固探究
1.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)·(2n+1)时,在验证n=1成立时,左边所得的代数式为 ( )
A.1 B.1+3
C.1+2+3 D.1+2+3+4
解析当n=1时,左边有2n+1=2×1+1=3,所以左边所得的代数式为1+2+3.
答案C
2.已知n是正奇数,用数学归纳法证明时,若已假设当n=k(k≥1,且为奇数)时命题为真,则还需证明( )
A.当n=k+1时命题成立
B.当n=k+2时命题成立
C.当n=2k+2时命题成立
D.当n=2(k+2)时命题成立
解析因为n是正奇数,所以只需证明等式对所有奇数都成立即可.又k的下一个奇数是k+2,故选B.
答案B
3.用数学归纳法证明12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=时,由n=k(k≥1)的假设到证明n=k+1时,等式左边应添加的式子是( )
A.(k+1)2+2k2 B.(k+1)2+k2
C.(k+1)2 D.(k+1)[2(k+1)2+1]
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解析当n=k(k≥1)时,左边为12+22+…+(k-1)2+k2+(k-1)2+…+22+12,当n=k+1时,左边为12+22+…+k2+(k+1)2+k2+…+22+12,分析等式变化规律可知左边实际增加的是(k+1)2+k2.
答案B
4.导学号26394063下列代数式(其中k∈N+)能被9整除的是( )
A.6+6·7k B.2+7k-1
C.2(2+7k+1) D.3(2+7k)
解析(1)当k=1时,显然只有3(2+7k)能被9整除.
(2)假设当k=n(n∈N+,n≥1)时命题成立,
即3(2+7k)能被9整除.
当k=n+1时,3(2+7k+1)=21(2+7k)-36也能被9整除.这就是说,当k=n+1时命题也成立.
由(1)(2)可知,3(2+7k)能被9整除对任何k∈N+都成立.
答案D
5.用数学归纳法证明1-+…++…+,第一步应验证的等式是 .
解析当n=1时,等式的左边为1-,右边=,所以左边=右边.
答案1-
6.若凸n(n≥4)边形有f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线条数f(n+1)为 .
解析由题意知f(n+1)-f(n)=n-1,
则f(n+1)=f(n)+n-1.
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答案f(n)+n-1
7.若s(n)=1++…+(n∈N+),则s(5)-s(4)= .
解析依题意,s(5)=1++…+,
s(4)=1++…+,
于是s(5)-s(4)=.
答案
8.已知f(n)=(2n+7)×3n+9(n∈N+),用数学归纳法证明f(n)能被36整除.
证明(1)当n=1时,f(1)=(2+7)×3+9=36,能被36整除,命题成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时命题成立,即f(k)=(2k+7)×3k+9能被36整除.
当n=k+1时,f(k+1)=[2(k+1)+7]×3k+1+9=(2k+7)×3k+1+2×3k+1+9
=(2k+7)×3k×3+2×3k+1+9=3[(2k+7)×3k+9]-27+2×3k+1+9
=3[(2k+7)×3k+9]+18(3k-1-1).
由于3k-1-1是2的倍数,则18(3k-1-1)能被36整除,
即当n=k+1时命题也成立.
由(1)(2)可知,对一切正整数n,都有f(n)=(2n+7)×3n+9能被36整除.
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9.导学号26394064用数学归纳法证明:12-22+32-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1·(n∈N+).
证明(1)当n=1时,左边=12=1,右边=(-1)0×=1,左边=右边,命题成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时命题成立,即12-22+32-42+…+(-1)k-1k2=(-1)k-1·.
当n=k+1时,
12-22+32-42+…+(-1)k-1k2+(-1)k(k+1)2
=(-1)k-1·+(-1)k(k+1)2
=(-1)k(k+1)·
=(-1)k·.
因此,当n=k+1时命题也成立,
根据(1)(2)可知,命题对于任何n∈N+等式成立.
10.导学号26394065已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且+2an=4Sn.
(1)计算a1,a2,a3,a4的值,并猜想数列{an}的通项公式;
(2)用数学归纳法证明(1)中猜想的结论.
解(1)当n=1时,+2a1=4S1,即+2a1=4a1,
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整理,得-2a1=0,
解得a1=2(a1=0舍去).
当n=2时,+2a2=4S2,即+2a2=4(2+a2),
整理,得-2a2-8=0,
解得a2=4(a2=-2舍去).
当n=3时,+2a3=4S3,即+2a3=4(2+4+a3),
整理,得-2a3-24=0,
解得a3=6(a3=-4舍去).
当n=4时,+2a4=4S4,即+2a4=4(2+4+6+a4),
整理,得-2a4-48=0,
解得a4=8(a4=-6舍去).
由以上结果猜想数列{an}的通项公式为an=2n.
(2)下面用数学归纳法证明{an}的通项公式为an=2n.
①当n=1时,a1=2,由(1)知,猜想成立.
②假设当n=k(k≥1)时猜想成立,即ak=2k,
这时有+2ak=4Sk,即Sk=k2+k.
当n=k+1时,+2ak+1=4Sk+1,
即+2ak+1=4(Sk+ak+1),
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所以-2ak+1=4k2+4k,
解得ak+1=2k+2(ak+1=-2k舍去).
故当n=k+1时,猜想也成立.
由①②可知,猜想对任意n∈N+都成立.
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