广东省13市2017届高三上学期期末考试数学文试题分类汇编：圆锥曲线 Word版 21页

广东省13市2017届高三上学期期末考试数学文试题分类汇编 圆锥曲线 一、选择、填空题 ‎1、（潮州市2017届高三上学期期末）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线l与抛物线分别交于A、B两点，则|AB|=（　　）‎ A．3 B．6 C．8 D．1‎ ‎2、（东莞市2017届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为F ，上顶点为B ， M 为线段BF 的中点，若∠MOF ＝30°，则该椭圆的离心率为（ ）‎ ‎　　A、　　　　B、　　　C、　　　D、‎ ‎3、（佛山市2017届高三教学质量检测（一））抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4、（广州市2017届高三12月模拟）已知双曲线（）的渐近线方程为, 则双曲线的离心率为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎5、（惠州市2017届高三第三次调研）双曲线的离心率，则它的渐近线方程为( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎6、（江门市2017届高三12月调研）已知双曲线两渐近线的夹角满足，焦点到渐近线的距离，则该双曲线的焦距为 A． B．或 C．或 D．以上都不是 ‎7、（揭阳市2017届高三上学期期末）对于任意的非零实数，直线与双曲线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为 ‎（A） （B） （C） 2 （D）‎ ‎8、（茂名市2017届高三第一次综合测试）已知F1，F2分别是双曲线的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ A．(1, 2) B．(2, +∞) C． D．‎ ‎9、（清远市清城区2017届高三上学期期末）双曲线的离心率为,则它的渐近线方程是 A． B． C． D．‎ ‎10、（韶关市2017届高三1月调研）设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点， 以椭圆的焦点为顶点，则双曲线的渐近线的斜率为 ‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎11、（韶关市2017届高三1月调研）已知两定点，若圆心在直线上且半径为的动圆上存在一点满足，则点横坐标的取值范围为 .‎ ‎12、（珠海市2017届高三上学期期末）已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为 ‎，则双曲线的离心率为 A.　　B. 　　C. 　　D. 2‎ 二、解答题 ‎1、（潮州市2017届高三上学期期末）已知点A、B分别是左焦点为（﹣4，0）的椭圆 C：的左、右顶点，且椭圆C过点P（，）．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知F是椭圆C的右焦点，以AF为直径的圆记为圆M，过P点能否引圆M的切线？若能，求出这条切线与x轴及圆M的弦PF所对的劣弧围成的图形面积；若不能，说明理由．‎ ‎2、（东莞市2017届高三上学期期末）已知圆C1：，抛物线C2：y2 ＝x，过点M(m,0)的直线l与圆C1交于 A, B两点，与C2相交于C,D两点.‎ ‎（1）若m ＝0，当直线l 绕点M 旋转变化时，求线段 AB 中点R的轨迹方程；‎ ‎（2）当m ＝2且时，求直线l 的方程.‎ ‎3、（佛山市2017届高三教学质量检测（一））已知椭圆过点，且离心率为 ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若过原点的直线与椭圆交于两点，且在直线上存在点，使得为等边三角形，求直线的方程 ‎4、（广州市2017届高三12月模拟）已知点是抛物线上相异两点，且满足．‎ ‎（Ⅰ）若直线经过点，求的值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在直线，使得线段的中垂线交轴于点, 且? 若存 在，求直线的方程；若不存在，说明理由.‎ ‎5、（惠州市2017届高三第三次调研）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎6、（江门市2017届高三12月调研）如图，在平面直角坐标系中，椭圆：()的离心率为, 椭圆的顶点四边形的面积为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过椭圆内一点的直线与椭圆 交于两点，若，求直线的方程．‎ ‎7、（揭阳市2017届高三上学期期末）已知圆Ｃ过点，且与直线相切，‎ ‎（I）求圆心C的轨迹方程；‎ ‎（II） O为原点，圆心C的轨迹上两点M、N（不同于点O）满足，已知，‎ ‎，证明直线PQ过定点，并求出该定点坐标和△APQ面积的最小值．‎ ‎8、（茂名市2017届高三第一次综合测试）已知定点Q（，0），P为圆N：上任意一点，线段QP的垂直平分线交NP于点M .‎ ‎（Ⅰ）当P点在圆周上运动时，求点M (x，y) 的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A、B两点，且，求证：直线l与某个定圆E相切，并求出定圆E的方程.‎ ‎9、（清远市清城区2017届高三上学期期末）已知椭圆过定点，以其四个顶点为顶点的四边形的面 积等于以其两个短轴端点和两个焦点为顶点的四边形面积的2倍.‎ ‎ ⑴求此椭圆的方程；‎ ‎⑵若直线与椭圆交于，两点，轴上一点，使得 为锐角，求实数的取值范围.‎ ‎10、（韶关市2017届高三1月调研）已知点与关于原点对称,直线，相交于点，且它们的斜率之积是.‎ ‎（Ⅰ）求点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）过作直线交轨迹于另一点,求的面积的取值范围．‎ ‎11、（珠海市2017届高三上学期期末）已知抛物线C 的顶点在原点，F（，0）为抛物线的焦点.‎ ‎(1)求抛物线C 的方程；‎ ‎(2)过点F 的直线l与动抛物线C 交于 A、B 两点，与圆M： 交 于D、E两点，且D、E位于线段 AB上，若| AD |＝| BE |，求直线l的方程.‎ 参考答案 一、选择、填空题 ‎1、【解答】解：直线的方程为y=x﹣1，代入y2=4x，整理得x2﹣6x+1=0，故x1+x2=6，‎ 所以，|AB|=x1+x2+p=6+2=8．‎ 故选：C．‎ ‎2、A　　3、D　　‎ ‎4、解析：，即，，选B。‎ ‎5、【解析】双曲线的离心率，可得，可得，双曲线的渐近线方程为：．‎ ‎6、C ‎7、A　　‎ ‎8、 【解析】如图1，不妨设，则过F1与渐近线平行的直线为，‎ 联立解得即 因M在以线段为直径的圆内，‎ 故，化简得, ‎ 即，解得，又双曲线离心率 ‎，所以双曲线离心率的取值范围是(1，2). 选择A.‎ ‎9、A　　‎ ‎10、【解析】椭圆中半焦距为，从而双曲线的半实轴长为，半焦距为，所以，所以双曲线方程为，从而其渐近线方程为，所以双曲线的渐近线的斜率为，故选D.‎ ‎11、【解析】设点的坐标为 则，即，所以点的轨迹为圆，而在直线上，所以，即，所以圆的方程为，而在圆上，也在圆上，所以两圆有公共点，所以，从而解得或 ，故的范围为：‎ ‎12、B 二、解答题 ‎1、【解答】解：（1）由题意a2=b2+16，‎ ‎+=1，‎ 解得b2=20或b2=﹣15（舍），‎ 由此得a2=36，‎ 所以，所求椭圆C的标准方程为=1．‎ ‎（2）由（1）知A（﹣6，0），F（4，0），‎ 又（，），则得=（，），=（﹣，）．‎ 所以=0，即∠APF=90°，△APF是Rt△，‎ 所以，以AF为直径的圆M必过点P，因此，过P点能引出该圆M的切线，‎ 设切线为PQ，交x轴于Q点，又AF的中点为M（﹣1，0），则显然PQ⊥PM，‎ 而kPM=，所以PQ的斜率为﹣，‎ 因此，过P点引圆M的切线方程为：y﹣=﹣（x﹣），即x+y﹣9=0．‎ 令y=0，则x=9，∴Q（9，0），又M（﹣1，0），‎ 所以S扇形MPF==，‎ 因此，所求的图形面积是S=S△PQM﹣S扇形MPF=．‎ ‎2、【解法一】‎ ‎（1）设，圆，圆心， ……………1分 ‎, ……………2分 由圆的性质可知， ……………3分 得,‎ 即 ……………4分 联立解得 ‎ 当直线经过圆的圆心时，点得坐标为 ……………5分 所求轨迹方程为，其中，轨迹为两段圆弧. ……………6分 ‎ 【解法二】‎ ‎（1）设直线，，，‎ 联立，整理得， ……………1分 所以，解得， ……………2分 ‎ ……………3分 所以，消去得： ……………4分 当直线与圆相切时，，此时，解得 ‎ 当直线经过圆的圆心时，点得坐标为 ‎ ‎【利用和，也可求出】 ……………5分 ‎ 所求轨迹方程为，其中轨迹为一段圆弧. ……………6分 ‎（2）设 ‎ 因为 ‎ 从而，即， ……………7分 因为，当直线的斜率不存在时，显然符合题意，的方程为 ……………8分 当直线的斜率存在时，设斜率为，则的方程为，， ‎ 由得，恒成立 由是这个方程的两根， ……………9分 由得，‎ 而是这个方程的两根，， ……………10分 因为，得，解得,即 ……………11分 所以的方程为或 或 ……………12分 ‎3、‎ ‎4、（I）法1：①若直线的斜率不存在，则直线方程为． ‎ ‎ 联立方程组 解得 或 ‎ ‎ 即，． ………………………………………………………………1分 ‎ 所以． ………………………………………………………………2分 ‎ ②若直线的斜率存在，设直线的方程为，‎ 联立方程组 消去得，‎ 故，方程无解． …………………………………………3分 所以． ‎ 法2：因为直线过抛物线的焦点，根据抛物线的定义得，‎ ‎ ，， …………………………………………………………2分 ‎ 所以. …………………………………………3分 ‎（II）假设存在直线符合题意，设直线的方程为，‎ 联立方程组 消去得，(*) ‎ 故，……………………………………………………………4分 所以．‎ 所以． …………………………………………………………5分 所以．‎ ‎ …………………………………………………………6分 因为．‎ 所以的中点为． ‎ 所以的中垂线方程为=，即． …………………7分 令, 得.‎ ‎ 所以点的坐标为. ……………………………………………………………8分 ‎ 所以点到直线的距离.‎ ‎ 因为，………………………………………………………9分 ‎ 所以 . ‎ 解得． ………………………………………………………………10分 当时，；当时，．‎ 把和分别代入(*)式检验, 得,不符合题意. …………………11分 所以直线不存在. ……………………………………………………………12分 ‎5、解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为，则，‎ 因为在椭圆上，所以， ．．．．．．．．．2分 因此，故椭圆的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎（Ⅱ）椭圆上不存在这样的点，证明如下：设直线的方程为，‎ 设，，的中点为，‎ 由消去，得， ……………6分 所以，且，故且．．．．．8分 由得 ．．．．．．．．．9分 所以有，．．．．．．．．．．．．10分 ‎(也可由知四边形为平行四边形 而为线段的中点，因此，也为线段的中点，‎ 所以，可得)，‎ 又，所以，与椭圆上点的纵坐标的取值范围矛盾。．．．．．．11分 因此点不在椭圆上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎6、解：⑴‎ ‎……2分 ‎……3分 即椭圆E的标准方程是 ……4分 ‎⑵设由可知P为MN的中点……5分 当直线l的斜率不存在时，由椭圆的对称性可知交线段的中点在x轴上，与P（1，1）矛盾……6分; 故直线l的斜率存在设为k。‎ 方法一：（点差法）把代入椭圆的标准方程是 得：‎ ‎，，……7分 两式相减得，……8分 ‎ ，……9分 代入得，……10分……11分 即直线l的方程为即3x+4y-7=0.‎ 经检验l代入C消元后的方程的，符合题意，故直线的方程为3x+4y-7=0.‎ ‎……12分 方法二：设直线l的方程为联立方程得 ‎……7分 消去y得 ……8分 ‎ ……9分 ‎ 在椭圆内部，故 ，由韦达定理可得：‎ ‎……10分 解得……11分 即直线l的方程为即3x+4y-7=0.……12分 ‎7、解：（Ⅰ）法一：由已知得圆心C的轨迹是以A为焦点，l为准线的抛物线， ‎ 由得，得圆心C的轨迹方程为；-------------------------3分 ‎【法二：设圆半径为R，圆心C(x, y)，则|AC|=R=，‎ 即=，化简得 即圆心C的轨迹方程为------------------------------------------------------------------3分】‎ ‎（Ⅱ）证明：依题意知OM的斜率k存在，且，设OM的方程为， ------------4分 ‎∵OM⊥ON，则ON的方程为，‎ 由得，得，------------------------------------------------------6分 同理得，‎ 由已知得，，∴，，----------------------------8分 ‎∴，直线PQ的方程为，‎ 即，∴直线PQ过定点（1，0），---------------------------------10分 设B（1，0），则，‎ ‎∴△APQ面积的最小值为．---------------------------------------------------------------------12分 ‎【证法二：设，的方程为 由 得，---------------------------------------------------------------------4分 则，且---------------------------------------------------5分 ‎∵，∴-----------------------------------------------------------------------6分 即，解得，所以，解得--------------------------- 7分 ‎∴的方程为，则直线过定点---------------------------------------------8分 设与轴相交于点 ‎，‎ ‎，可得，则，‎ 故过定点-------------------------------------------------------------------------------------10分 ‎∴△APQ面积的最小值为.-------------------------------------12分】‎ ‎8、解：(Ⅰ)依题意可得：圆N的圆心坐标为N(, 0),半径为,|MP|=|MQ|, ………1分 则|MN|+|MQ|=|MN|+|MP|=|NP|=＞|NQ| ……………………………………………2分 根据椭圆的定义，点M的轨迹是以N、Q为焦点，长轴长为的椭圆，‎ 即2a=, 2c=，∴b=. …………………………………………3分 所以点M的轨迹C的方程为：. ……………………………………………4分 ‎(Ⅱ)当直线的斜率存在时，设直线l为y=kx+m, A(x1,y1), B(x2,y2)，联立直线与椭圆的方程，‎ 得消去y并整理得. ……………………6分 因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以 ‎△=，化简得： ① …………………7分 由韦达定理得：. ………………………………8分 ‎∴ .‎ ‎∵，∴ x1x2+y1y2=0，即 ， ………………………9分 整理得满足①式，∴，即原点到直线l为的距离是，‎ ‎∴直线l与圆相切. ……………………………………………………10分 当直线的斜率不存在时, 直线为x=m, 与椭圆C交点为A(m,),B(m,) ∵, ∴.‎ 此时直线为x=，显然也与圆相切. …………………………………11分 综上，直线l与定圆E：相切. …………………………………………12分 ‎9、解：⑴以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积，‎ 以两个短轴端点和两个焦点为顶点的四边形面积.‎ ‎，即. 可设椭圆方程为，‎ 代入点可得. 所求椭圆方程为 . ‎ ‎⑵由为锐角，得，设，，则 ‎，，‎ ‎，‎ 联立椭圆方程与直线方程消去并整理得.‎ 所以，，进而求得，‎ 所以，‎ 即，解之得的取值范围.‎ ‎10、解：（1）设点的坐标为，……………………………… ………………1分 因为点与关于原点对称,所以，‎ 因此，直线，的斜率为，‎ 由已知有，………………………………………………3分 化简，得，‎ 所以点的轨迹的方程为．…………………………………4分 ‎（2）当直线的斜率不存在时,则直线的方程为,则点的坐标为，‎ ‎．……………………………………………5分 当直线的斜率存在时，设斜率为 ,则直线的方程为,‎ 设， ‎ 由,消去得,‎ ‎ ………………6分 由已知，‎ 所以，由题意,,‎ 则,‎ ‎ ………………7分 而原点到直线的距离为， ………………8分 所以 ‎ ………………9分 因为，所以，且，且，‎ 所以，从而 ………………11分 综上可知，的面积.‎ ‎ ………………12分 ‎11、‎