- 1000.00 KB
- 2024-02-01 发布
专题 10 三角化简的技巧
一．三角化简的技巧
1.角的范围问题
2. 角的一致性问题
3. 三角化简形式、名称、角的一致原则
4.角成倍角的余弦之积问题
5.“1”的妙用
6.辅助角的替换作用
7. 角的范围对函数性质的影响
8. 用已知角表示未知角问题
二．三角化简方法总结：
1.三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角.
2.三角函数式的证明应从消去等式两端的差异去思考，或“从左证到右”或“从右证到左”或“从两边到中间”去
具体操作.
3.证明三角函数式恒等式，首先观察条件与结论的差异，从解决差异入手，确定从结论开始，通过变换将已
知表达式代入得出结论，或变换已知条件得出结论，常用消去法等.
三典例分析
（一）“1”的妙用
例 1．已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用同角三角函数的基本关系把原式的分母“1”变为 sin2α+cos2α，然后给分子分母求除以 cos2α，把
原式化为关于 tanα 的关系式，把 tanα 的值代入即可求出值．
因为 tanα＝3，
所以 ．
故选：C．
练习 1．已知角 的终边在函数 的图象上, 则 的值为( )
A． B． C．－2 D．
【答案】A
【解析】依题意可知 ,故原式 ,故选 .
练习 2．已知 ，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．
【答案】C
【解析】由 平方得： ，得 .
.
故选 C.
练习 3．若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，则
故选 A
（二） 与 的关系
例 2．已知 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， 则 即
1±
10
3
5
3
2
3 2−
sin cosα α
故选 D.
练习 1．已知 θ 为△ABC 的一个内角，且 sinθ＋cosθ＝m，若 m∈(0，1)，则关于△ABC 的形状的判断，正
确的是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．三种形状都有可能
【答案】B
【点睛】本题主要考查了利用同角平方关系的应用，其关键是变形之后从 sinθcosθ 的符号中判断 θ 的取值范
围，属于三角函数基本技巧的运用．
练习 2. 【2019 高考热点题型】若 sinθ，cosθ 是方程 4x2+2mx+m=0 的两根，则 m 的值为（ ）
A．. B． C． D．
【答案】B
【解析】由 sinθ、cosθ 是关于 x 的方程 4x2+2mx+m=0 的两个实根，利用判别式求出满足条件的 m 取值范围；
再根据韦达定理和同角三角函数基本关系，求出对应 m 的值．
sinθ，cosθ 是方程 4x2+2mx+m=0 的两根，
∴ ，
∴（sinθ+cosθ）2﹣2sinθcosθ= ﹣2× =1，
解得 m=1± ；
又方程 4x2+2mx+m=0 有实根，
则△=（2m）2﹣16m≥0，
解得 m≤0，或 m≥4；
综上，m 的值为 1﹣ ．
故选：B．
（三）用已知角表示未知角
例 3．已知 ， ，且 ，则 （）
A．-2 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】观察角之间的关系，拆角， ，利用差角公式展开，可以求得 .
【解析】因为 sin ， ，所以 ；
又
所以 ，
， ，故选 A.
【点睛】本题主要考查三角恒等变换，一般求解思路是先观察已知角和所求角的关系，再利用三角恒等变
换公式求解.注意积累常见的拆角方法.
练习 1．已知在锐角△ABC 中，角 α＋ 的终边过点 P(sin B－cos A，cos B－sin A)，且 cos ，则
cos 2α 的值为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在锐角三角形中分析可得 sin B－cos A>0， cos B－sin A<0，得 α＋ 为第四象限角，由
的展开即可得 ，利用余弦的二倍角公式即可得解.
【解析】∵△ABC 是锐角三角形，∴ ，
即 sin B－cos A>0，同理，cos B－sin A<0，∴角 α＋ 为第四象限角，
∴sin ＝－ ，∴ ，
∴ ，
故选 D.
【点睛】给值求值问题一般是应用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角
的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．
（五）特殊角的替换作用
例 5. 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ，故选 C。
练习 1．
A. B. -1 C. D. 1
【答案】D
【解析】 ，
故选：D.
（六）.角的一致性
例 6. 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 故选 D.
【防陷阱措施】三角函数式的化简要遵循“三看”原则
（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公
式；
（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；
（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.
3
2
− 1
2
− 1
2
3
2
1
2
3
2 2 3
练习 1 =______________
【答案】-1
练习 2 __________.
【答案】
【解析】
故答案为
练习 3． __________．
【答案】
【解析】 由 ，及 ，
可得 ，所以 .
练习 4． __________．
【答案】
【解析】 ，
3−
3−
3
3
−
3
2
.
故答案为：
练习 5. 求值： ________．
【答案】4
【解析】
故答案为 4
练习 6 __________．
【答案】
【解析】
，
应填答案 。
点睛：解答本题的关键是借助题设中角度的特征，先将切化弦，再运用三角变换公式及二倍角的正弦余弦
公式进行运算，进而达到化简的目的。
练习 7．化简 的值为__________．
【答案】
【解析】原式
3
2
4 3−
4 3−
3
2
，故答案为 .
练习 8 求 的值.
【答案】2.
【解析】利用题意结合所给三角函数式的特征构造两角和差正余弦公式计算可得三角函数式的值为 2.
原式
7.辅助角公式的灵活应用
例 7. 已知 ，则 的最大值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】由 得 。由辅助角公式可得
， 所以最大值为 2.故选 C。
【防陷阱措施】求函数 的最值问题，利用辅助角公式将解析式化成一个角的三角函数形
3
2
2
2 14
a b+ =
2 3
3 2 3
2
2 14
a b+ =
式，即 ，利用三角函数的性质求最值。
练 习 1 ． 已 知 函 数 ， 在 上 单 调 ， 且
．若将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到的函数是偶函数，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据三角函数的二倍角公式与辅助角公式，化简得 ，再利用在 上单调，
且 ，即可确定 f（x）= ，再通过图象变换与偶函数得到 的最小值.
【详解】 =
+ = - = =2sin（ ），又 ，可
知 的一个对称中心为（ ），代入化简的式子得 = k （k ），得 =6k+2（k ），当 =2 时，
在 上单调，当 时，在 上有一个或多个周期，不满足题意，舍去，
所以 ，将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到的函数为
= 为偶函数，所以 = +k （k ）, +
（k ）,又 所以 的最小值为 ，
故选 B.
【点睛】本题考查了利用二倍角公式、三角恒等变换公式将函数 f（x）的表达式化简，借助于三角函数的
图象与性质等知识确定 和 ，属于中档题．
练习 2．将函数 的图象向右平移 个单位后，所得到的函数图象关
于 轴对称，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【 解 析 】 先 将 已 知 函 数 通 过 二 倍 角 的 正 弦 公 式 和 余 弦 公 式 ， 以 及 两 角 和 的 正 弦 公 式 ， 转 化 为
，再根据题意求得平移后的三角函数，进而利用三角函数的对称性求解.
【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，考查了三角函数图象的平移变换，考查了三角函数的图象性质；
平移原则：左加右减，上加下减.
练习 3．若函数 在 处取得最大值 4，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】对于函数 f(x)有 解得 a=2 ,b=2,所以 = ,
故选 B.
练习 4．设函数 ， ，若直线 ， 分别是曲线 与
的对称轴，则
A．2 B．0 C． D．
【答案】C
【解析】利用辅助角公式以及降幂公式，化简函数的解析式 ， ，再利用三
角函数的图象的对称轴求得 的值，从而可得 的值．
【详解】函数 ，
3x
π= a
b
=
3
3 a
b 3
，
若直线 ， 分别是曲线 与 的对称轴，
则 ， ， ．
即 ， ， ，
则
，故选 C．
【 点 睛 】 本 题 主 要 考 查 辅 助 角 公 式 与 降 幂 公 式 以 及 三 角 函 数 图 象 的 对 称 性 ， 属 于 中 档 题 ． 函 数
的称轴方程可由 求得；函数 的称轴方程可由
求得.
（八）.正切公式的灵活应用
例 7.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
所以
所以原式等于 ．
故选 D
【防陷阱措施】巧妙应用两角和差的正切公式，找到和与乘积的关系．
练习 1 在数 1 和 2 之间插入 个正数，使得这 个数构成递增等比数列，将这 个数的乘积记为
，令 ， ， ______．
【答案】
3
3
=
3
3
n 2n + 2n +
nA 2logn na A= *n N∈
【解析】设在数 和 之间插入 个正数，使得这 个数构成递增等比数列为 ，则
，即 为此等比数列的公比，
， ，由
，又 ，
，
，
，故答案为 .
练习 2 ________．
【答案】
【解析】 ,
，
，故答案为 .
练习 3． __________．
【答案】8
【解析】注意到 可化为 .项证明一
1 2 n 2n + { }nb
1 2,nq q+ =
1
1
般结论如下：
，由于 ，故原式 .
（九）.正切变两弦
例 9.8 的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
，故选 C.
【防陷阱措施】本题的解题关键是：1.切化弦；2.辅助角公式；3.利用二倍角公式和诱导公式求解.
练习 1． （ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
故选 D.
2 2 2 8= ⋅ ⋅ =
1
2
3
2
3 3
2
1
2