2017-2018学年宁夏银川一中高二上学期期末数学试题（文科）（解析版） 23页

‎2017-2018学年宁夏银川一中高二（上）期末数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）在复平面内，复数z1对应的点为（2，3），复数z2=﹣1+2i，若复数z=z1﹣z2，则复数对应的点在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．（5分）有一段演绎推理是这样的：“指数函数都是增函数；已知y=（）x是指数函数；则y=（）x是增函数”的结论显然是错误的，这是因为（　　）‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误 ‎3．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的普通方程为（　　）‎ A．x﹣y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y=0 D．x+y﹣2=0‎ ‎4．（5分）观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）椭圆 （φ是参数）的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（　　）‎ A．a，b，c中至少有两个偶数 B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 C．a，b，c都是奇数 D．a，b，c都是偶数 ‎7．（5分）在极坐标系中，点F（1，0）到直线θ=（ρ∈R）的距离是（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎8．（5分）如图，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（　　）‎ A．12 B．48 C．60 D．144‎ ‎9．（5分）极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0（ρ≥0）表示的图形是（　　）‎ A．两个圆 B．两条直线 C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线 ‎10．（5分）有下列说法：‎ ‎①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；‎ ‎②用相关指数R2来刻画回归的效果，R2值越大，说明模型的拟合效果越好；‎ ‎③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．‎ ‎④在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得相关指数R2≈0.85，则表明气温解释了15%的热茶销售杯数变化．‎ 其中正确命题的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎11．（5分）分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a+b+c=0”，求证＜a”索的因应是（　　）‎ A．a﹣b＞0 B．a﹣c＞0 C．（a﹣b）（a﹣c）＞0 D．（a﹣b）（a﹣c）＜0‎ ‎12．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（　　）‎ A．（2，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣1）‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．（5分）函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为 　 　．‎ ‎14．（5分）曲线C的方程为x2+=1，其上一点P（x，y），则3x+y的最大值为　 　．‎ ‎15．（5分）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，其面积为S，则△ABC的内切圆的半径．这是一道平面几何题，请用类比推理方法，猜测对空间四面体ABCD存在什么类似结论？　 　．‎ ‎16．（5分）设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）已知复数z=3+bi（b∈R），且（1+3i）•z为纯虚数．‎ ‎（1）求复数z及；‎ ‎（2）若ω=，求复数ω的模|ω|．‎ ‎18．（12分）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为 ‎（1）求圆C的直角坐标方程：‎ ‎（2）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|．‎ ‎19．（12分）已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．‎ ‎（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；‎ ‎（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．‎ ‎20．（12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：‎ 日期 ‎1月10日 ‎2月10日 ‎3月10日 ‎4月10日 ‎5月10日 ‎6月10日 昼夜温差x（0C）‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎6‎ 就诊人数y（个）‎ ‎22‎ ‎25‎ ‎29‎ ‎26‎ ‎16‎ ‎12‎ 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．若选取的是用1月与6月的两组数据检验．‎ ‎（1）请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；‎ ‎（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认线性回归方程是理想的，请判断（1）所求出的线性回归方程是否理想的？‎ ‎（参考公式：线性回归方程=x+其中==）‎ ‎21．（12分）电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“体育迷”与性别有关？‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 ‎　 　‎ ‎　 　 ‎ ‎　 　 ‎ 女 ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 合计 ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 附：K2=，其中n=a+b+c+d．‎ P（K2≥k）‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎22．（12分）已知函数f（x）=x﹣﹣ln（1+x），其中a∈R．‎ ‎（1）若x=2是f（x）的极值点，求a的值；‎ ‎（2）求f（x）的单调区间；‎ ‎（3）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年宁夏银川一中高二（上）期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）在复平面内，复数z1对应的点为（2，3），复数z2=﹣1+2i，若复数z=z1﹣z2，则复数对应的点在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【分析】根据复数的基本运算以及复数的几何意义进行求解即可．‎ ‎【解答】解：复数z1对应的点为（2，3），‎ 则z1=2+3i，‎ 则z=z1﹣z2=2+3i﹣（﹣1+2i）=3+i，‎ 对应点的坐标为（3，1），‎ 位于第一象限，‎ 故选：A ‎【点评】本题主要考查复数的几何意义，结合复数的基本运算进行计算是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）有一段演绎推理是这样的：“指数函数都是增函数；已知y=（）x是指数函数；则y=（）x是增函数”的结论显然是错误的，这是因为（　　）‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误 ‎【分析】根据题意，由指数函数的性质分析可得该演绎推理的大前提指数函数都是增函数是错误的，分析选项即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，指数函数y=ax（a＞0且a≠1）是R上的增函数，‎ 这个说法是错误的，要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同的单调性，‎ 大前提是错误的，‎ ‎∴得到的结论是错误的，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查演绎推理的基本方法，解题的关键是理解演绎推理的三段论原理，在大前提和小前提中，若有一个说法是错误的，则得到的结论就是错误的．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的普通方程为（　　）‎ A．x﹣y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y=0 D．x+y﹣2=0‎ ‎【分析】将参数方程化为普通方程，就是将其中的参数消掉，利用代入法，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：将直线l的参数方程为（t为参数），利用代入法，化成普通方程为x﹣y﹣2=0．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了化参数方程为普通方程，解答此类问题的关键是如何把题目中的参数消掉，常用的方法有代入法，加减消元法等，同时注意消参后变量的范围限制，是基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】‎ 通过二维条形图可以粗略的判断两个分类变量是否有关系，在二维条形图中，对角线上的两个条形高度的乘积与副对角线上的两个条形高度的乘积相差越大，两者有关系的可能性就越大．观察图形，得到结果．‎ ‎【解答】解：在二维条形图中，主对角线上的两个条形高度的乘积与副对角线上的两个条形高度的乘积相差越大，‎ 两者有关系的可能性就越大，‎ 由图中所给的四个量x1，x2，y1，y2高度的大小来判断，D选项的两个分类变量关系最强，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查独立性检验内容，使用二维条形图，可以粗略的判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确的给出所的结论的可靠程度 ‎　‎ ‎5．（5分）椭圆 （φ是参数）的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】把椭圆的参数化为普通方程为 +=1，求出 a、b、c 的值，再根据离心率等于e=求得结果．‎ ‎【解答】解：椭圆 （φ是参数）消去参数化为普通方程为 +=1，∴a=5，b=3，∴c=4，‎ ‎∴e==，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，本题主要考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（　　）‎ A．a，b，c中至少有两个偶数 B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 C．a，b，c都是奇数 D．a，b，c都是偶数 ‎【分析】找出题中的题设，然后根据反证法的定义对其进行否定．‎ ‎【解答】解：∵结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”‎ 可得题设为：a，b，c中恰有一个偶数 ‎∴反设的内容是 假设a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．‎ 故选B．‎ ‎【点评】此题考查了反证法的定义，反证法在数学中经常运用，当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓“正难则反“．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）在极坐标系中，点F（1，0）到直线θ=（ρ∈R）的距离是（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，里哦也难怪点到直线的距离公式求得点F到直线的距离．‎ ‎【解答】解：直线θ=（ρ∈R）的直角坐标方程为y=x，‎ 故点F（1，0）到直线的距离为 =，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）如图，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（　　）‎ A．12 B．48 C．60 D．144‎ ‎【分析】根据题意，由题目中的数表分析可得第n行有n个数，且当n≥3时，每一行的第一个数与最后一个数都等于n，中间每个数等于其肩上两个数的积，据此分析可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，分析图中的数表，‎ 第n行有n个数，‎ 且当n≥3时，每一行的第一个数与最后一个数都等于n，中间每个数等于其肩上两个数的积，‎ 则a所表示的数是12×12=144，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查归纳推理的应用，关键是分析数表中数的规律．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0（ρ≥0）表示的图形是（　　）‎ A．两个圆 B．两条直线 C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线 ‎【分析】由题中条件：“（ρ﹣1）（θ﹣π）=0”得到两个因式分别等于零，结合极坐标的意义即可得到．‎ ‎【解答】解：方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0⇒ρ=1或θ=π，‎ ρ=1是半径为1的圆，‎ θ=π是一条射线．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）有下列说法：‎ ‎①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；‎ ‎②用相关指数R2来刻画回归的效果，R2值越大，说明模型的拟合效果越好；‎ ‎③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．‎ ‎④在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得相关指数R2≈‎ ‎0.85，则表明气温解释了15%的热茶销售杯数变化．‎ 其中正确命题的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】利用“残差”的意义、相关指数的意义即可判断出 ‎【解答】解：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，正确．‎ ‎②相关指数R2来刻画回归的效果，R2值越大，说明模型的拟合效果越好，因此②正确．‎ ‎③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，正确．‎ ‎④在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得相关指数R2≈0.85，则表明气温解释了85%的热茶销售杯数变化．故错．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了“残差”的意义、相关指数的意义，考查了理解能力和推理能力，属于中档题 ‎　‎ ‎11．（5分）分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a+b+c=0”，求证＜a”索的因应是（　　）‎ A．a﹣b＞0 B．a﹣c＞0 C．（a﹣b）（a﹣c）＞0 D．（a﹣b）（a﹣c）＜0‎ ‎【分析】由题意可得，要证＜a，经过分析，只要证（a﹣c）（a﹣b）＞0，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：由a＞b＞c，且a+b+c=0可得 b=﹣a﹣c，a＞0，c＜0．‎ 要证＜a，只要证 （﹣a﹣c）2﹣ac＜3a2，‎ 即证 a2﹣ac+a2﹣c2＞0，即证a（a﹣c）+（a+c）（a﹣c）＞0，‎ 即证 a（a﹣c）﹣b（a﹣c）＞0，即证（a﹣c）（a﹣b）＞0．‎ 故求证“＜a”索的因应是 （a﹣c）（a﹣b）＞0，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查用分析法证明不等式，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（　　）‎ A．（2，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣1）‎ ‎【分析】（i）当a=0时，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，两个解，舍去．‎ ‎（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），令f′（x）=0，解得x=0或 ．对a分类讨论：①当a＜0时，由题意可得；②当a＞0时，推出极值点不满足题意，推出结果即可．‎ ‎【解答】解：（i）当a=0时，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，函数f（x）有两个零点，舍去．‎ ‎（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），令f′（x）=0，解得x=0或．‎ ‎①当a＜0时，＜0，当x＜或x＞0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当＜x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．‎ ‎∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点．‎ ‎∵函数f（x）=ax3﹣3x2+1存在唯一的零点x0，且x0＞0，则：；②，即：，可得a＜﹣2．‎ ‎②当a＞0时，＞0，当x＞或x＜0时，f′（x）＞‎ ‎0，此时函数f（x）单调递增；当0＜x＜时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．‎ ‎∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点．不满足函数f（x）=ax3﹣3x2+1存在唯一的零点x0，且x0＞0，‎ 综上可得：实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的零点，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．（5分）函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为 　　．‎ ‎【分析】欲求在点x=1处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率得到直线方程，最后令即可求得在x轴上的截距．从而问题解决．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x3+4x+5，‎ ‎∴f'（x）=3x2+4，当x=1时，y'=7得切线的斜率为7，所以k=7；‎ 所以曲线在点（1，10）处的切线方程为：‎ y﹣10=7×（x﹣1），令y=0得x=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本小题主要考查直线的斜率、直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）曲线C的方程为x2+=1，其上一点P（x，y），则3x+y的最大值为　2　．‎ ‎【分析】利用椭圆方程设出参数方程，代入目标函数，利用三角函数的有界性求解表达式的最大值即可．‎ ‎【解答】解：曲线C的方程为x2+=1，‎ 可设：x=cosα，y=sinα，α∈R，‎ 则3x+y=3cosα+sinα=2（）=2sin（），‎ ‎∵α∈R，∴2sin（），‎ ‎3x+y的最大值为：2．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的性质，参数方程，同角三角函数基本关系式以及三角函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，其面积为S，则△ABC的内切圆的半径．这是一道平面几何题，请用类比推理方法，猜测对空间四面体ABCD存在什么类似结论？　　．‎ ‎【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．‎ ‎【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，‎ 则球心O到四个面的距离都是R，‎ 所以四面体的体积等于以O为顶点，‎ 分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．‎ 则四面体的体积为 ‎ 猜想：四面体ABCD的各表面面积分别为S1，S2，S3，S4，其体积为V，‎ 则四面体ABCD的内切球半径 故答案为：‎ ‎【点评】本题主要考查类比推理．类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是　（﹣∞，﹣3）∪（0，3）　．‎ ‎【分析】构造函数h（x）=f（x）g（x），利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集．‎ ‎【解答】解：令h（x）=f（x）g（x），则h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）g（x）=﹣h（x），因此函数h（x）在R上是奇函数．‎ ‎①∵当x＜0时，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，∴h（x）在x＜0时单调递增，‎ 故函数h（x）在R上单调递增．‎ ‎∵h（﹣3）=f（﹣3）g（﹣3）=0，∴h（x）=f（x）g（x）＜0=h（﹣3），∴x＜﹣3．‎ ‎②当x＞0时，函数h（x）在R上是奇函数，可知：h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h（3）=﹣h（﹣3）=0，‎ ‎∴h（x）＜0，的解集为（0，3）．‎ ‎∴不等式f（x）g（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．‎ 故答案为（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．‎ ‎【点评】恰当构造函数，熟练掌握函数的奇偶性单调性是解题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）已知复数z=3+bi（b∈R），且（1+3i）•z为纯虚数．‎ ‎（1）求复数z及；‎ ‎（2）若ω=，求复数ω的模|ω|．‎ ‎【分析】（1）把z=3+bi（b∈R）代入（1+3i）•z，利用复数代数形式的乘除运算化简结合已知条件即可求出复数z及；‎ ‎（2）利用复数代数形式的乘除运算化简ω=，再由复数求模公式计算得答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵z=3+bi（b∈R），‎ ‎∴（1+3i）•z=（1+3i）•（3+bi）=（3﹣3b）+（9+b）i 又∵（1+3i）•z是纯虚数，‎ ‎∴3﹣3b=0，且9+b≠0，‎ ‎∴b=1，∴z=3+i，；‎ ‎（2）ω==‎ ‎==﹣i ‎∴|ω|==．‎ ‎【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念以及复数模的求法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为 ‎（1）求圆C的直角坐标方程：‎ ‎（2）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|．‎ ‎【分析】（1）直接把圆的极坐标方程转化为直角坐标方程．‎ ‎（2）利用直线和圆的位置关系，进一步建立方程组，利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．‎ ‎【解答】解：（1）圆的极坐标方程：，‎ 转化为：．‎ 即：．‎ ‎（2）将直线的参数方程（t为参数）代入圆的直角坐标方程得：‎ ‎，‎ 所以：，（t1和t2为A、B的参数）．‎ 故：．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程和直角坐标方程的转化，直线和圆的位置关系的应用．一元二次方程根与系数的关系的应用．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．‎ ‎（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；‎ ‎（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．‎ ‎【分析】（I）将直线l中的x与y代入到直线C1中，即可得到交点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出|AB|．‎ ‎（II）将直线的参数方程化为普通方程，曲线C2任意点P的坐标，利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值即可．‎ ‎【解答】解：（I）l的普通方程为y=（x﹣1），C1的普通方程为x2+y2=1，‎ 联立方程组，解得交点坐标为A（1，0），B（，﹣）‎ 所以|AB|==1；‎ ‎（II）曲线C2：（θ为参数）．‎ 设所求的点为P（cosθ，sinθ），‎ 则P到直线l的距离d==[sin（）+2]‎ 当sin（）=﹣1时，d取得最小值．‎ ‎【点评】‎ 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有直线与圆的参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，根据曲线C2的参数方程设出所求P的坐标，根据点到直线的距离公式表示出d，进而利用三角函数来解决问题是解本题的思路．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：‎ 日期 ‎1月10日 ‎2月10日 ‎3月10日 ‎4月10日 ‎5月10日 ‎6月10日 昼夜温差x（0C）‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎6‎ 就诊人数y（个）‎ ‎22‎ ‎25‎ ‎29‎ ‎26‎ ‎16‎ ‎12‎ 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．若选取的是用1月与6月的两组数据检验．‎ ‎（1）请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；‎ ‎（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认线性回归方程是理想的，请判断（1）所求出的线性回归方程是否理想的？‎ ‎（参考公式：线性回归方程=x+其中==）‎ ‎【分析】（1）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，求出a的值，即可得线性回归方程．‎ ‎（2）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为10和6时的y的值，把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程理想．‎ ‎【解答】解：（1）由数据求得 由公式求得再由求得 所以y关于x的线性回归方程为 ‎（2）当=10，得y=，|﹣22|=＜2‎ 令x=6，得y=，|﹣12|=＜2，‎ 所以，该小组所得线性回归方程是理想的．‎ ‎【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查了线性分析的应用，考查解决实际问题的能力，是一个综合题目．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“体育迷”与性别有关？‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 ‎　30　‎ ‎　15　 ‎ ‎　45　 ‎ 女 ‎　45　‎ ‎　10　‎ ‎　55　‎ 合计 ‎　75　‎ ‎　25　‎ ‎　100　‎ 附：K2=，其中n=a+b+c+d．‎ P（K2≥k）‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎【分析】首先由题意结合结合频率分布直方图即可绘制出列联表，然后结合独立性检验的思想整理计算即可求得最终结果．‎ ‎【解答】解：由频率分布直方图可知，在抽取的100名观众中，“体育迷”共25名，从而完成2×2列联表如下：‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 女 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得 K2==≈3.030．‎ 因为3.030＜3.841，所以我们没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关．‎ ‎【点评】本题考查了独立性检验的思想，频率分布直方图的应用，列联表的绘制方法等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知函数f（x）=x﹣﹣ln（1+x），其中a∈R．‎ ‎（1）若x=2是f（x）的极值点，求a的值；‎ ‎（2）求f（x）的单调区间；‎ ‎（3）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．‎ ‎【分析】（2）令f'（2）=0，解得a，再验证是否符合函数取得极值的充分条件即可；‎ ‎（2）对a分类讨论，利用导数与函数单调性的关系即可得出；‎ ‎（3）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合题意求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）f′（x）=，x∈（﹣1，+∞）‎ 依题意，令f'（2）=0，解得a=，‎ 经检验，当a=时，x=2是f（x）的极值点．‎ ‎∴a=‎ ‎（2）①当a=0时，f′（x）=，故f（x）的单调增区间是（0，+∞‎ ‎）；单调减区间是（﹣1，0）．‎ ‎②当a＞0时，令f'（x）=0，得x1=0，或x2=‎ 当0＜a＜1时，f（x）与f'（x）的情况如下：‎ x ‎（﹣1，x1）‎ x1‎ ‎（x1，x2）‎ x2‎ ‎（x2，+∞）‎ f'（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ f（x）‎ ‎↘‎ f（x1）‎ ‎↗‎ f（x2）‎ ‎↘‎ ‎∴f（x）的单调增区间是（0，）；单调减区间是（﹣1，0）和（，+∞）．‎ 当a=1时，f（x）的单调减区间是（﹣1，+∞）‎ 当a＞1时，﹣1＜x2＜0，f（x）与f'（x）的情况如下：‎ x ‎（﹣1，x2）‎ x2‎ ‎（x2，x1）‎ x1‎ ‎（x1+∞）‎ f'（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ f（x）‎ ‎↘‎ f（x2）‎ ‎↗‎ f（x1）‎ ‎↘‎ ‎∴f（x）的单调增区间是（，0）；单调减区间是（﹣1，）和（0，+∞）．‎ ‎③当a＜0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞）；单调减区间是（﹣1，0）．‎ 综上，当a≤0时，f（x）的增区间是（0，+∞），减区间是（﹣1，0）；‎ 当0＜a＜1时，f（x）的增区间是（0，），减区间是（﹣1，0）和（，+∞）；‎ 当a=1时，f（x）的减区间是（﹣1，+∞）；‎ 当a＞1时，f（x）的增区间是（，0）；减区间是（﹣1，）和（0，+∞）‎ ‎（3）由（2）知a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（0）=0，知不合题意．‎ 当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是f（﹣1），‎ 由f（﹣1）＞f（0）=0，知不合题意，‎ 当a≥1时，f（x）在（0，+∞）单调递减，‎ 可得f（x）在[0，+∞）上的最大值是f（0）=0，符合题意，‎ ‎∴f（x）在[0，+∞）上的最大值是0时，a的取值范围是[1，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值、分类讨论的思想方法等是解题的关键．属于难题．‎ ‎　‎