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- 2024-01-31 发布
天津市部分区2019～2020学年度第一学期期末考试高一数学
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
第I卷（选择题 共40分）
1.已知全集，集合，集合，则集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
,所以，故选A.
考点：集合的运算.
【此处有视频，请去附件查看】
2.下列函数中既是奇函数，又在R上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
依次分析函数的奇偶性和单调性即可得解.
【详解】对于A，为奇函数，但是定义域为，在和上单调递减，不满足题意；
对于B，不满足在R上单调递增；
对于C，为奇函数且在R上单调递增；
对于D，定义域为非奇非偶函数.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了基本初等函数的奇偶性和单调性，属于基础题.
3.函数的零点所在的一个区间为 （ ）
A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) D. (4,5)
【答案】B
【解析】
【分析】
利用零点存在性定理结合可得解.
【详解】函数为增函数，且，
由零点存在性定理可知函数的零点所在的一个区间为(2,3).
故选：B.
【点睛】本题主要考查了零点存在性定理的应用，属于基础题.
4.在平面直角坐标系中，若角以x轴的非负半轴为始边，且终边过点，则的值为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用任意角的三角函数定义即可得解.
【详解】由任意角三角函数定义得：.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了任意角三角函数的定义，属于基础题.
5.已知， ， ，则三者的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
， ， ；所以 ，故选A.
6.为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位
【答案】A
【解析】
因为函数，
所以只需将函数的图象向右平移长度单位即可.
故选A.
点睛：本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数性质，属于基础题；图象的伸缩变换的规律：（1）把函数的图像向左平移个单位长度，则所得图像对应的解析式为，遵循“左加右减”；（2）把函数图像上点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍（），那么所得图像对应的解析式为.
7.已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用奇偶性可得，结合单调性可得，从而得解.
【详解】由函数是定义在R上的偶函数，可得：.
且在区间上单调递增，
所以，解得：.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的综合应用，解题的关键是得到，属于基础题.
8.若都是锐角，且，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由已知得,
,故选A.
考点：两角和的正弦公式
9.下列命题正确的是（ ）
A. 命题“,使得”的否定是“，使得”
B. 若，则
C. 若函数在[1,4]上具有单调性，则
D. “”是“”的充分不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定可判断A，举反例可知B不正确，由轴和区间的位置关系可求
得范围，从而可判断C正误，解二次不等式即可判断D，
【详解】对于A，命题“,使得”的否定是“，使得”，故不正确；
对于B，若，则，不成立；
对于C，若函数在[1,4]上具有单调性，
则或，解得或，不正确；
对于D，由可得或.所以“”是“”的充分不必要条件，正确.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了特称命题的否定、不等式的性质、二次函数的单调性及充分不必要条件的判断，属于综合题，但是难度不大.
10.已知函数在区间上单调递增，且存在唯一使得，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由单调得，解得，由存在唯一使得，得，解得，从而得解.
【详解】函数在区间上单调递增，
所以，
得：，即
经检验仅有时有：.
时，，
由题意得：，解得：.
综上：.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了正弦型三角函数的单调性及最值，涉及整体代换的思想，属于难题.
第II卷（共80分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
11.幂函数的图像经过，则= ________．
【答案】
【解析】
试题分析：设，则有，所以，=9
考点：幂函数
点评：简单题，待定系数法确定幂函数，进一步求函数值．
12.函数定义域为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
保证函数有意义即，从而得解.
【详解】函数,有：，解得：.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题.
13.已知，则的最小值是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由对数式得，再由基本不等式可得解.
【详解】由可得：，即.
所以.
当且仅当时，取到最小值.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了对数的运算及基本不等式求最值，属于基础题.
14.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100ml 血液中酒精含量达到20〜79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 0.6mg/ml，如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少要经过t小时后才可以驾驶机动车.则整数t的值为_________(参考数据：)
【答案】5
【解析】
【分析】
根据题意列式，结合题中参考数据求解即可.
【详解】经过t小时后，体内的酒精含量为： mg/ml，
只需即可驾驶机动车.
.
取整数为时，满足题意.
故答案为：5.
【点睛】本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算，属于基础题.
三、解答题：本大题共5小题，共60分.
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.设集合.
(1)求；
(2)已知集合，若，求实数取值范围.
【答案】(1) ,;(2) 或.
【解析】
【分析】
(1)直接利用集合的交集和并集的定义即可得解;
(2)讨论和两种情况,列不等式求解即可.
【详解】,
(1)
(2)①当时，即：，解得：，满足
②当时，若满足，则
解得：
由①②可知，满足的实数的取值范围是或.
【点睛】本题主要考查集合的交并运算，考查了集合的包含关系，属于基础题.
16.已知函数.
(1)在给出的直角坐标系中，画出的大致图象；
(2)根据图象写出的单调区间;
(3)根据图象写出不等式的解集.
【答案】(1)见解析;(2) 递增区间为,递减区间为;(3) .
【解析】
【分析】
(1)直接由分段函数的解析式作图即可；、
(2)直接由图象可得单调区间;
(3)找到图像中函数值大于0的部分即可得解.
【详解】(1)
(2)根据图象可知，的单调递增区间为
单调递减区间为
(3)根据图象可得，的解集为.
【点睛】
本题主要考查了分段函数的图象的作图及利用图像求单调区间解不等式，属于基础题.
17.已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
【分析】
(1)利用进行求解即可;
(2)先求,再求,再由展开即可得解.
【详解】(1)，,∴
又,∴
∴.
(2)由(1)可知,
∴
∴.
【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的求值类问题，考查了运算能力，属于基础题.
18.已知函数.
(1)判断的单调性，并用函数单调性的定义证明；
(2)判断的奇偶性，并说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
分析】
(1)直接利用单调性的定义，且，与0比较大小及即可;
(2)通过证明可得函数为偶函数.
【详解】(1)在上单调递增.
，且，则
由，得，
所以，
又由，得，
所以，
于是,即
所以在上单调递增.
(2)函数的定义域为，
因为都有且
所以为奇函数.
【点睛】本题主要考查了利用定义证明函数的单调性及判断函数的奇偶性，属于基础题.
19.已知函数.
(1)求最小正周期；
(2)求在区间上的最大值和最小值；
(3)若关于x的不等式在R上恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1) ;(2) 最大值为，最小值为;(3) .
【解析】
【分析】
(1)化简函数为,利用周期公式求解即可;
(2)先求得,再利用正弦函数的性质可得最值;
(3) 不等式恒成立等价于，在恒成立,从而利用反比例函数的性质求最值即可.
【详解】
(1)，所以的最小正周期为.
(2)当时, ,
当时,即时函数求得最小值;
当时,即时函数求得最大值;
所以在区间上的最大值为，最小值为
(3)对，，
所以不等式恒成立等价于，
对，恒成立，即，
设，则，
令，且在上为增函数，
所以，，
所以，.
【点睛】本题主要考查了正弦型三角函数的性质，考查了恒等变换化简三角函数，考查了函数与不等式的求参问题，属于中档题.