2019-2020学年浙江省绍兴市新昌县八年级下学期期末数学试卷 （解析版） 19页

‎2019-2020学年浙江省绍兴市新昌县八年级第二学期期末数学试卷 一、选择题 ‎1．化简的结果是（　　）‎ A．2 B．﹣‎2 ‎C．4 D．±2‎ ‎2．下列图形中，不是轴对称图形，而是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．在一次中学生田径运动会上，男子跳高项目的成绩统计如表：‎ 成绩（m）‎ ‎1.50‎ ‎1.55‎ ‎1.60‎ ‎1.65‎ ‎1.70‎ 人数 ‎2‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎1‎ 这些运动员跳高成绩的众数是（　　）‎ A．‎1.55m B．‎1.60m C．‎1.65m D．‎‎1.70m ‎4．要使二次根式有意义，自变量x的取值范围是（　　）‎ A．x＞4 B．x＜‎4 ‎C．x≥4 D．x≤4‎ ‎5．若点A（﹣2，4）在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（　　）‎ A．﹣8 B．﹣‎2 ‎C．2 D．8‎ ‎6．若关于x的一元二次方程x2+2x+c＝0有实数根，则c的取值可能为（　　）‎ A．4 B．‎3 ‎C．2 D．1‎ ‎7．已知平行四边形相邻两边的长度之比为3：2，周长为‎20cm，则平行四边形中较长一边的长为（　　）‎ A．‎12cm B．‎8cm C．‎6cm D．‎‎4cm ‎8．如图，在矩形ABCD中，把∠A沿DF折叠，点A恰好落在矩形的对称中心E处，则∠ADF的度数为（　　）‎ A．15° B．20° C．25° D．30°‎ ‎9．小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为（　　）‎ A．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 B．10（x+3）+x＝x2 ‎ C．10x+（x+3）＝（x+3）2 D．10（x+3）+x＝（x+3）2‎ ‎10．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD的顶点A（3，3），C（﹣1，﹣1），对角线BD交AC于点M，交x轴于点N，若BN＝2ND，则点B的坐标是（　　）‎ A．（﹣，） B．（﹣，2） C．（4，﹣2） D．（﹣2，4）‎ 二、填空愿（本大题有6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎11．一组数据：1，5，6，2，5的中位数是　 　．‎ ‎12．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx＝0的一个根为1，则m＝　 　．‎ ‎13．反比例函数y＝（x＜0）的图象如图所示，则m的取值范围为　 　．‎ ‎14．已知E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，则当AC　 　BD时，四边形EFGH是矩形．‎ ‎15．对于任意不相等的两个实数a，b．定义运算：a☆b＝，如3☆2＝＝，那么（5☆4）☆3的运算结果为　 　．‎ ‎16．在▱ABCD中，AD＝5，∠BAD的平分线交CD于点E，∠ABC的平分线交CD于点F，若线段EF＝2，则AB的长为　 　．‎ 三、解答题（本题共有8题，第17～18题每题5分，第19～22题每题6分，第23题8分，第24题10分，共52分解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）‎ ‎17．计算：‎ ‎（1）×；‎ ‎（2）+．‎ ‎18．解方程：‎ ‎（1）x2﹣4＝0；‎ ‎（2）（x+3）2＝（2x﹣1）（x+3）．‎ ‎19．疫情期间，各小区进出人员都严格管控，实行实名登记．某周甲、乙两个小区周一至周五来访人数统计如图：‎ ‎（1）请分别计算甲、乙两个小区每天来访人数的平均数．‎ ‎（2）通过计算说明哪个小区来访人数比较稳定．‎ ‎20．如图，在▱ABCD中，点E，F分别是BC，AD上的点，且BE＝DF，AE＝AF．求证：四边形AECF是菱形．‎ ‎21．记面积为‎12cm2的平行四边形的一条边长为x（cm），这条边上的高线长为y（cm）．‎ ‎（1）求y关于x的函数表达式，以及自变量x的取值范围．‎ ‎（2）求当边长满足1≤x≤4时，高线长的最大值．‎ ‎22．如图，用‎99米长的木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，墙长MN为‎20米，其中AD≤MN，BC边上留了一个宽‎1米的进出口，设AD边长为x米．‎ ‎（1）用含x的代数式表示AB的长．‎ ‎（2）若矩形菜园ABCD的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长．‎ ‎23．如图，在▱ABCD中，点E是CD边的中点，将△ADE沿AE翻折，点D落在点F处，连结AF并延长交BC于点M．‎ 求证：AM＝AD+MC．‎ 小明在解答该题时，由中点联想到添加辅助线：延长AE，BC相交于点N．‎ ‎（1）请按照小明的思路在图中画出辅助线，并证明；‎ ‎（2）请完成小明编制的计算题：若∠C＝60°，AD＝6，AM＝8，求AB的长．‎ ‎24．如图，在平面直角坐标系中，有大正方形AOBC与小正方形CDEF，其中点A落在y轴上，点B落在x轴上，若反比例函数y＝（x＞0，k＞0）的图象经过点E，则称满足条件的k值为两正方形的和谐值．已知反比例函数图象与AF交于点G，请解答下列各题．‎ ‎（1）概念理解 若图中大正方形的边长为2，小正方形的边长为1，求这两个正方形的和谐值．‎ ‎（2）性质探究 记图中两正方形面积分别为S1，S2，（S1＞S2），‎ 求证：两个正方形的和谐值k＝S1﹣S2．‎ ‎（3）性质应用 若图中大正方形的边长为6，点G恰好是AC的三等分点，求小正方形的边长．‎ 参考答案 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分，请选出每小题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）‎ ‎1．化简的结果是（　　）‎ A．2 B．﹣‎2 ‎C．4 D．±2‎ ‎【分析】根据二次根式的性质解答即可．‎ 解：．‎ 故选：A．‎ ‎2．下列图形中，不是轴对称图形，而是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．‎ 解：A．矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项不合题意；‎ B．平行四边形不是轴对称图形，而是中心对称图形，故本选项符合题意；‎ C．圆既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项不合题意；‎ D．等边三角形既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项不合题意；‎ 故选：B．‎ ‎3．在一次中学生田径运动会上，男子跳高项目的成绩统计如表：‎ 成绩（m）‎ ‎1.50‎ ‎1.55‎ ‎1.60‎ ‎1.65‎ ‎1.70‎ 人数 ‎2‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎1‎ 这些运动员跳高成绩的众数是（　　）‎ A．‎1.55m B．‎1.60m C．‎1.65m D．‎‎1.70m ‎【分析】学生跳高成绩出现次数最多的数，就是众数．‎ 解：学生跳高成绩出现次数最多的是‎1.55米，共出现8次，‎ 因此学生跳高成绩的众数是‎1.55米，‎ 故选：A．‎ ‎4．要使二次根式有意义，自变量x的取值范围是（　　）‎ A．x＞4 B．x＜‎4 ‎C．x≥4 D．x≤4‎ ‎【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．‎ 解：∵使二次根式有意义，‎ ‎∴4﹣x≥0，解得x≤4．‎ 故选：D．‎ ‎5．若点A（﹣2，4）在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（　　）‎ A．﹣8 B．﹣‎2 ‎C．2 D．8‎ ‎【分析】直接把点A（﹣2，4）代入反比例函数y＝，求出k的值即可．‎ 解：∵点A（﹣2，4）在反比例函数y＝的图象上，‎ ‎∴4＝，解得k＝﹣8．‎ 故选：A．‎ ‎6．若关于x的一元二次方程x2+2x+c＝0有实数根，则c的取值可能为（　　）‎ A．4 B．‎3 ‎C．2 D．1‎ ‎【分析】根据判别式的意义得到△＝22﹣‎4c≥0，再解不等式得到c的范围，然后对各选项进行判断．‎ 解：根据题意得△＝22﹣‎4c≥0，‎ 解得c≤1．‎ 故选：D．‎ ‎7．已知平行四边形相邻两边的长度之比为3：2，周长为‎20cm，则平行四边形中较长一边的长为（　　）‎ A．‎12cm B．‎8cm C．‎6cm D．‎‎4cm ‎【分析】设平行四边形的两邻边为分别为3x和2x，根据平行四边形的周长公式列出方程解答便可．‎ 解：∵平行四边形相邻两边的长度之比为3：2，‎ ‎∴设平行四边形的两邻边为分别为3x和2x，‎ ‎∵周长为‎20cm，‎ ‎∴2（3x+2x）＝20，‎ 解得，x＝2，‎ ‎∴3x＝6，‎ 故平行四边形较长边为‎6cm，‎ 故选：C．‎ ‎8．如图，在矩形ABCD中，把∠A沿DF折叠，点A恰好落在矩形的对称中心E处，则∠ADF的度数为（　　）‎ A．15° B．20° C．25° D．30°‎ ‎【分析】根据折叠的性质得到AD＝ED＝AE，∠ADF＝∠EDF＝∠ADE，推出△DAE的等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠ADE＝60°，求得∠ADF＝30°．‎ 解：如图，连接AE，‎ ‎∵把∠A沿DF折叠，点A恰好落在矩形的对称中心E处，‎ ‎∴AD＝ED＝AE，∠ADF＝∠EDF＝∠ADE，‎ ‎∴△DAE的等边三角形，‎ ‎∴∠ADE＝60°，‎ ‎∴∠ADF＝30°，‎ 故选：D．‎ ‎9．小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为（　　）‎ A．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 B．10（x+3）+x＝x2 ‎ C．10x+（x+3）＝（x+3）2 D．10（x+3）+x＝（x+3）2‎ ‎【分析】设周瑜去世时年龄的十位数字是x，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿同”知10×十位数字+个位数字＝个位数字的平方，据此列出方程可得答案．‎ 解：假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为10x+（x+3）＝（x+3）2，‎ 故选：C．‎ ‎10．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD的顶点A（3，3），C（﹣1，﹣1），对角线BD交AC于点M，交x轴于点N，若BN＝2ND，则点B的坐标是（　　）‎ A．（﹣，） B．（﹣，2） C．（4，﹣2） D．（﹣2，4）‎ ‎【分析】先求出BD的解析式，设点B（a，﹣a+2），则点D（2﹣a，a），由等腰直角三角形的性质和BN＝2ND，可得（﹣a+2）＝2××（﹣a），即可求解．‎ 解：∵点A（3，3），C（﹣1，﹣1），‎ ‎∴直线AC为y＝x，M（1，1），‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AC⊥BD，‎ ‎∴设直线BD为y＝﹣x+b，‎ ‎∵点M在直线BD上，‎ ‎∴1＝﹣1+b，‎ ‎∴b＝2，‎ ‎∴直线BD为y＝﹣x+2，‎ 设点B（a，﹣a+2），则点D（2﹣a，a），‎ ‎∵BN＝2ND，‎ ‎∴（﹣a+2）＝2××（﹣a），‎ ‎∴a＝﹣2，‎ ‎∴点B（﹣2，4），‎ 故选：D．‎ 二、填空愿（本大题有6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎11．一组数据：1，5，6，2，5的中位数是　5　．‎ ‎【分析】将数据从小到大排列后，处在中间位置的一个数或两个数的平均数是中位数．‎ 解：将数据：1，5，6，2，5从小到大排序得：1，2，5，5，6，处在中间为的数是5，因此中位数是5，‎ 故答案为：5．‎ ‎12．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx＝0的一个根为1，则m＝　1　．‎ ‎【分析】把x＝1代入方程x2﹣mx＝0得1﹣m＝0，然后解关于m的方程即可．‎ 解：把x＝1代入方程x2﹣mx＝0得1﹣m＝0，解得m＝1．‎ 故答案为1．‎ ‎13．反比例函数y＝（x＜0）的图象如图所示，则m的取值范围为　m＜﹣2　．‎ ‎【分析】结合函数的图象并利用反比例函数的性质得m+2＜0即可解答．‎ 解：∵反比例函数y＝（x＜0）的图象在第二象限，‎ ‎∴m+2＜0，‎ ‎∴m＜﹣2．‎ 故答案为：m＜﹣2．‎ ‎14．已知E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，则当AC　⊥　BD时，四边形EFGH是矩形．‎ ‎【分析】由三角形中位线定理证中点四边形EFGH是平行四边形，再证出∠HEF＝90°，即可得出结论．‎ 解：当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形；理由如下：‎ 连接AC、BD，如图：‎ ‎∵E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，‎ ‎∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，EH是△ABD的中位线，‎ ‎∴EF∥AC，EF＝AC，GH∥AC，GH＝AC，EH∥BD，‎ ‎∴EF∥GH，EF＝GH，‎ ‎∴四边形MNPQ是平行四边形，‎ ‎∵AC⊥BD，‎ ‎∴EF⊥EH，‎ ‎∴∠HEF＝90°，‎ ‎∴四边形MNPQ是矩形；‎ 故答案为：⊥．‎ ‎15．对于任意不相等的两个实数a，b．定义运算：a☆b＝，如3☆2＝＝，那么（5☆4）☆3的运算结果为　5　．‎ ‎【分析】直接利用已知运算公式进而化简得出答案．‎ 解：由题意可得：（5☆4）☆3＝☆3‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝5．‎ 故答案为：5．‎ ‎16．在▱ABCD中，AD＝5，∠BAD的平分线交CD于点E，∠ABC的平分线交CD于点F，若线段EF＝2，则AB的长为　8或12　．‎ ‎【分析】由于平行四边形的两组对边互相平行，又AE平分∠BAD，由此可以推出所以∠BAE＝∠DAE，则DE＝AD＝5；同理可得，CF＝CB＝5，再分两种为情况：F点在D、E之间；F点在C、E之间．求得各自的CD便可得AB．‎ 解：∵AE平分∠BAD，‎ ‎∴∠BAE＝∠DAE，‎ 又∵AD∥CB，‎ ‎∴∠EAB＝∠DEA，‎ ‎∴∠DAE＝∠AED，‎ 则AD＝DE＝5；‎ 同理可得，CF＝CB＝5，‎ 当点F在D、E之间时，如图1，‎ ‎∵EF＝2，‎ ‎∴AB＝CD＝DE+CE＝DE+（CF﹣EF）＝5+5﹣2＝8；‎ 当点F在C、E之间时，如图2，‎ ‎∵EF＝2，‎ ‎∴AB＝CD＝DE+EF+CF＝5+2+5＝12．‎ 故答案为：8或12．‎ 三、解答题（本题共有8题，第17～18题每题5分，第19～22题每题6分，第23题8分，第24题10分，共52分解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）‎ ‎17．计算：‎ ‎（1）×；‎ ‎（2）+．‎ ‎【分析】（1）利用二次根式的乘法法则运算；‎ ‎（2）先分母有理化，把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．‎ 解：（1）原式＝‎ ‎＝6；‎ ‎（2）原式＝+‎ ‎＝3．‎ ‎18．解方程：‎ ‎（1）x2﹣4＝0；‎ ‎（2）（x+3）2＝（2x﹣1）（x+3）．‎ ‎【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；‎ ‎（2）利用因式分解法求解可得．‎ 解：（1）∵x2﹣4＝0，‎ ‎∴x2＝4，‎ 则x1＝2，x2＝﹣2；‎ ‎（2）∵（x+3）2＝（2x﹣1）（x+3），‎ ‎∴（x+3）2﹣（2x﹣1）（x+3）＝0，‎ ‎∴（x+3）（﹣x+4）＝0，‎ 则x+3＝0或﹣x+4＝0，‎ 解得x1＝﹣3，x2＝4．‎ ‎19．疫情期间，各小区进出人员都严格管控，实行实名登记．某周甲、乙两个小区周一至周五来访人数统计如图：‎ ‎（1）请分别计算甲、乙两个小区每天来访人数的平均数．‎ ‎（2）通过计算说明哪个小区来访人数比较稳定．‎ ‎【分析】（1）利用算术平均数的定义列式计算可得；‎ ‎（2）计算出甲、乙小区来访人数的方差，根据方差的意义求解可得．‎ 解：（1）＝÷（12+8+2+7+1）＝6（人），＝×（11+0+5+8+6）＝6（人），‎ ‎∴甲、乙两个小区每天来访人数的平均数均为6人；‎ ‎（2）＝×[（12﹣6）2+（8﹣6）2+（2﹣6）2+（7﹣6）2+（1﹣6）2]＝（人2），‎ ‎＝×[（11﹣6）2+（0﹣6）2+（5﹣6）2+（8﹣6）2+（6﹣6）2]＝（人2），‎ ‎∵＞，‎ ‎∴乙小区来访人数比较稳定．‎ ‎20．如图，在▱ABCD中，点E，F分别是BC，AD上的点，且BE＝DF，AE＝AF．求证：四边形AECF是菱形．‎ ‎【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，证出AF＝CE，则四边形AECF是平行四边形，由AE＝AF，即可得出四边形AECF是菱形．‎ ‎【解答】证明：∵四边形ABD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，AD＝BC，‎ ‎∵BE＝DF，‎ ‎∴AF＝CE，‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形，‎ 又∵AE＝AF，‎ ‎∴四边形AECF是菱形．‎ ‎21．记面积为‎12cm2的平行四边形的一条边长为x（cm），这条边上的高线长为y（cm）．‎ ‎（1）求y关于x的函数表达式，以及自变量x的取值范围．‎ ‎（2）求当边长满足1≤x≤4时，高线长的最大值．‎ ‎【分析】（1）由三角形的面积公式列出x与y的方程，进而求得结果；‎ ‎（2）根据反比例函数的性质进行解答．‎ 解：（1）根据题意得，xy＝12，‎ ‎∴y＝（x＞0）；‎ ‎（2）∵k＝12＞0，x＞0，‎ ‎∴在第一象限内，y随x的增大而减小，‎ ‎∵1≤x≤4，‎ ‎∴当x＝1时，y有最大值是12，‎ ‎∴高线长有最大值为‎12cm．‎ ‎22．如图，用‎99米长的木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，墙长MN为‎20米，其中AD≤MN，BC边上留了一个宽‎1米的进出口，设AD边长为x米．‎ ‎（1）用含x的代数式表示AB的长．‎ ‎（2）若矩形菜园ABCD的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长．‎ ‎【分析】（1）AB＝[99﹣（BC﹣1）]÷2，依此计算即可求解；‎ ‎（2）根据矩形菜园ABCD的面积为450平方米，列出方程即可求解．‎ 解：（1）AB＝＝（米）；‎ ‎（2）依题意有 x•＝450，‎ 解得x1＝10，x2＝90．‎ ‎∵10＜20，90＞20，‎ ‎∴x＝10．‎ 故所利用旧墙AD的长为‎10米．‎ ‎23．如图，在▱ABCD中，点E是CD边的中点，将△ADE沿AE翻折，点D落在点F 处，连结AF并延长交BC于点M．‎ 求证：AM＝AD+MC．‎ 小明在解答该题时，由中点联想到添加辅助线：延长AE，BC相交于点N．‎ ‎（1）请按照小明的思路在图中画出辅助线，并证明；‎ ‎（2）请完成小明编制的计算题：若∠C＝60°，AD＝6，AM＝8，求AB的长．‎ ‎【分析】（1）依照图形，画出图形，由“AAS”可证△ADE≌△NCE，可得AD＝CN，由折叠的性质可得∠DAE＝∠MAE＝∠CNE，可得AM＝MN，可得结论；‎ ‎（2）过点A作AH⊥BC，交CB的延长线于H，由（1）的结论可求CM＝2，BM＝4，由勾股定理可求BH的长，即可求解．‎ 解：（1）如图所示：‎ ‎∵点E是CD的中点，‎ ‎∴CE＝DE，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥CB，‎ ‎∴∠DAE＝∠CNE，∠ADE＝∠NCE，‎ ‎∴△ADE≌△NCE（AAS），‎ ‎∴AD＝CN，‎ ‎∵将△ADE沿AE翻折，‎ ‎∴∠DAE＝∠MAE，‎ ‎∴∠MAE＝∠CNE，‎ ‎∴AM＝MN，‎ ‎∴AM＝CM+CN＝CM+AD；‎ ‎（2）过点A作AH⊥BC，交CB的延长线于H，‎ 由（1）可知：AM＝CM+AD，‎ ‎∵AD＝6，AM＝8，‎ ‎∴MC＝8﹣6＝2，‎ ‎∴BM＝BC﹣CM＝6﹣2＝4，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠C＝∠ABH＝60°，‎ ‎∵AH⊥BC，‎ ‎∴∠BAH＝30°，‎ ‎∴AB＝2BH，AH＝BH，‎ ‎∵AM2＝AH2+HM2，‎ ‎∴64＝3BH2+（4+BH）2，‎ ‎∴BH＝﹣1，（负值舍去）‎ ‎∴AB＝2BH＝2﹣2．‎ ‎24．如图，在平面直角坐标系中，有大正方形AOBC与小正方形CDEF，其中点A落在y轴上，点B落在x轴上，若反比例函数y＝（x＞0，k＞0）的图象经过点E，则称满足条件的k值为两正方形的和谐值．已知反比例函数图象与AF交于点G，请解答下列各题．‎ ‎（1）概念理解 若图中大正方形的边长为2，小正方形的边长为1，求这两个正方形的和谐值．‎ ‎（2）性质探究 记图中两正方形面积分别为S1，S2，（S1＞S2），‎ 求证：两个正方形的和谐值k＝S1﹣S2．‎ ‎（3）性质应用 若图中大正方形的边长为6，点G恰好是AC的三等分点，求小正方形的边长．‎ ‎【分析】（1）如图1，延长FE交x轴于点H，则PH⊥x轴，则四边形AOHF和四边形DBHE是矩形，求得AF＝OH，EH＝DB，得到E（3，1），于是得到结论；‎ ‎（2）设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则同（1）可得，E（a+b，a﹣b），根据题意即可得到结论；‎ ‎（3）①如图2，当AG＝AC时，此时，G（2，6），②如图3，当AG＝AC时，此时，G（4，6），k＝24，根据k＝S1﹣S2，代入数据即可得到结论．‎ 解：（1）如图1，延长FE交x轴于点H，则PH⊥x轴，‎ 则四边形AOHF和四边形DBHE是矩形，‎ ‎∴AF＝OH，EH＝DB，‎ 由题意得，AC＝BC＝2，CF＝CD＝1，‎ ‎∴AF＝AC+CF＝3，BD＝BC﹣CD＝1，‎ 即OH＝3，EH＝1，‎ ‎∴E（3，1），‎ ‎∴k＝3，‎ ‎∴两个正方形的和谐值为3；‎ ‎（2）证明：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，‎ 则同（1）可得，E（a+b，a﹣b），‎ ‎∴k＝（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，‎ ‎∵S1＝a2，S2＝b2，S1﹣S2＝a2﹣b2，‎ ‎∴k＝S1﹣S2；‎ ‎（3）①如图2，当AG＝AC时，此时，G（2，6），‎ ‎∴k＝12，‎ 由（2）知k＝S1﹣S2，‎ ‎∴小正方形的面积S2＝S1﹣12＝62﹣12＝24，‎ ‎∴小正方形的边长为2，‎ ‎②如图3，当AG＝AC时，此时，G（4，6），k＝24，‎ ‎∵k＝S1﹣S2，‎ ‎∴小正方形的面积S2＝S1﹣24＝62﹣24＝12，‎ ‎∴小正方形的边长＝2，‎ 综上所述，小正方形的边长为2或2．‎