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- 2024-01-30 发布
安徽省蚌埠市2017-2018学年高二上学期期末考试
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．若直线：与直线：平行，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．将半径相同，圆心角之比为1：2的两个扇形作为两个圆锥的侧面，这两个圆锥底面面积依次为，那么（ ）
A． B． C． D．
4．准线为的抛物线标准方程是（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题中正确的是（ ）
A．如果平面平面，则内任意一条直线必垂直于
B．若直线不平行于平面，则内不存在直线平行于直线
C．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
D．若直线不垂直于平面，则内不存在直线垂直于直线
6．已知双曲线的一个焦点为，且离心率，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．“直线不相交”是“直线为异面直线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
8．易知点是直线上的动点，点为圆上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. 1 C. D.
9．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．双曲线右焦点为，点在双曲线的右支上，以为直径的圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．外切 C．相离 D．内切
11．《九章算术》提到了一种名为“刍甍”的五面体如图：面为矩形，棱.若此几何体中，和都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12．设抛物线的焦点为，两垂直直线过，与抛物线相交所得的弦分别为，则的最小值为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．命题“任意四面体均有内切球”的否定形式是 .
14．直线垂直于，且平分圆：，则直线的方程为 .
15．将边长为1的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，，，其中与在平面的同侧，则异面直线与所成角的大小是 .
16．已知点和点都在椭圆上，其中为椭圆的离心率，则 .
三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知：，：.若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18．已知圆的圆心在直线上，且圆经过点.
（1）求圆的标准方程；
（2）直线过点且与圆相交，所得弦长为4，求直线的方程.
19．在三棱锥中，平面平面，，分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.
20．已知抛物线：的焦点为，直线与轴交于点，抛物线交于点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）过原点作斜率为和的直线分别交抛物线于两点，直线过定点，是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，则说明理由.
21．如图，中，，分别是的中点，将沿折起成，使面面，分别是和的中点，平面与，分别交于点.
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值.
22．经过椭圆中心的弦称为椭圆的直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹所在直线交椭圆所得的弦，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为.
（1）若一条直径的斜率为，求该直径的共轭直径所在的直线方程；
（2）如图，若椭圆的两条共轭直径为和，它们的斜率分别为，证明：四边形
的面积为定值.
试卷答案
一、选择题
1-5：BDCAC 6-10：DBABB 11-12：BA
二、填空题
13．存在四面体没有内切球 14． 15． 16．
三、解答题
17．解：：
：
∵是的充分不必要条件，∴，
即
∴且两个等号不同时成立，解得
故实数的取值范围是.
18．（1）解 ：（Ⅰ）设圆心为，则应在的中垂线上，其方程为，
由，即圆心坐标为
又半径，故圆的方程为.
（Ⅱ）点在圆内，且弦长为，故应有两条直线.
圆心到直线距离.
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时圆心到直线距离为1，符合题意.
②当直线的斜率存在时，设为，直线方程为
整理为，则圆心到直线距离为
解得，直线方程为
综上①②，所求直线方程为或.
19．（1）因为分别为的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）证明：因为，为的中点，所以.
又因为平面平面，平面平面，且平面，
所以平面，又平面，所以平面平面.
20. 解：（1），由以及抛物线定义可知，
∵，∴，抛物线的方程为.
（2）不妨设，直线：，
由，得，，
故.
21.(1)证明：∵分别是的中点，∴，而平面，平面，
∴平面
又平面平面，故.
（2）如图，建立空间直角坐标系，由题意得：
，，，，，
∴，，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，解得，
∴
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
设二面角的平面角为，
则，∴.
∴二面角的正弦值为.
22. 解：（1）设与斜率为的直径平行的弦的端点坐标为，
该弦中点为，则有，
相减得
由于，，且，所以得
故该直径的共轭直径所在的直线方程为.
（2）证明：椭圆的两条共轭直径为和，它们的斜率分别为，四边形显然为平行四边形.
设与平行的弦的端点坐标分别为，
则，而，
故
由得的坐标分别为，，
故
同理的坐标分别为，
设点到直线的距离为，四边形的面积为，
则，
为定值.