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- 2024-01-30 发布
2016-2017 学年四川省内江市威远中学高二（上）期中数学试卷
（理科）
一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分）在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的
位置.
1．直线的方程为 ，则直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120°D．150°
2．长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，异面直线 AB，A1D1 所成的角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．下列说法中错误的是（ ）
A．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直
B．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
C．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直
D．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，那么这
两个平面相互平行
4．过点（﹣1，3）且垂直于直线 x﹣2y+3=0 的直线方程为（ ）
A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=0
5．对于平面 α 和共面的直线 m、n，下列命题中正确的是（ ）
A．若 m⊥α，m⊥n，则 n∥α
B．若 m∥α，n∥α，则 m∥n
C．若 m⊂α，n∥α，则 m∥n
D．若 m、n 与 α 所成的角相等，则 m∥n
6．如图所示，正方形 O′A′B′C′的边长为 1，它是水平放置的一个平面图形的直观
图，则原图形的周长是（ ）
A．6 B．8 C．2+3 D．2+2
7．已知过点 A（﹣2，m）和 B（m，4）的直线与直线 2x+y﹣1=0 平行，则 m 的
值为（ ）
A．0 B．﹣8 C．2 D．10
8．如图所示，是一个正方体的表面展开图，A、B、C 均为棱的中点，D 是顶点，
则在正方体中，异面直线 AB 和 CD 的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．三棱锥 SABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱 SB 的长为（ ）
A．4 B． C． D．
10．如图，边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 交于点 G，已知△
A′DE（A′∉平面 ABC）是△ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形，有下列说法，不正
确的是（ ）
A．平面 A′FG⊥平面 ABC
B．BC∥平面 A′DE
C．三棱锥 A′﹣DEF 的体积最大值为
D．直线 DF 与直线 A′E 有可能异面
11．已知点 A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2）直线 l 过点 P（1，1），且与线段 AB
相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是（ ）
A． B． C ．
D．
12．如图，在长方形 ABCD 中，AB=2，BC=1，E 为 DC 的中点，F 为线段 EC（端
点除外）上一动点，现将△AFD 沿 AF 折起，使平面 ABD⊥平面 ABCF．在平面 ABD
内过点 D 作 DK⊥AB，K 为垂足，设 AK=t，则 t 的取值范围是（ ）
A．（ ，2） B．（ ，1） C．（ ，2） D．（ ，1）
二、填空题：（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）各题答案必须填写
在答题卡相应的位置上.
13．若三点 A（3，3），B（a，0），C（0，b）（其中 a•b≠0）共线，则 +
= ．
14．已知正三棱锥 P﹣ABC，点 P，A，B，C 都在半径为 的球面上，若 PA，
PB，PC 两两相互垂直，则球心到截面 ABC 的距离为 ．
15．过点 P（2，1）作直线 l，与 x 轴，y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，则使
|PA|•|PB|取得最小值时的直线 l 的方程是 ．
16．正四面体 ABCD 的棱长为 1，棱 AB∥平面 α，则正四面体上的所有点在平面
α 内的射影构成的图形面积的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明
过程或演算步骤）
17．（10 分）已知直线 l：x+y﹣1=0，
（1）若直线 l1 过点（3，2）且 l1∥l，求直线 l1 的方程；
（2）若直线 l2 过 l 与直线 2x﹣y+7=0 的交点，且 l2⊥l，求直线 l2 的方程．
18．（12 分）如图（1）所示，在直角梯形 ABCP 中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥
AP，AD=DC=PD=2，E、F、G 分别为线段 PC、PD、BC 的中点，现将△PDC 折起，
使平面 PDC⊥平面 ABCD（图（2））．
（1）求证：AP∥平面 EFG；
（2）若点 Q 是线段 PB 的中点，求证：PC⊥平面 ADQ．
19．（12 分）一个四棱椎的三视图如图所示：
（I）求证：PA⊥BD；
（II）在线段 PD 上是否存在一点 Q，使二面角 Q﹣AC﹣D 的平面角为 30°？若存
在，求 的值；若不存在，说明理由．
20．（12 分）已知△ABC 的顶点 A（3，2），∠C 的平分线 CD 所在直线方程为
y﹣1=0，AC 边上的高 BH 所在直线方程为 4x+2y﹣9=0．
（1）求顶点 C 的坐标；
（2）求△ABC 的面积．
21．（12 分）如图所示，在四棱锥 P﹣ABCD 中，AB⊥平面 PAD，AB∥CD，
PD=AD，E 是 PB 的中点，F 是 CD 上的点且 ，PH 为△PAD 中 AD 边上的
高．
（1）证明：PH⊥平面 ABCD；
（2）若 PH=1， ，FC=1，求三棱锥 E﹣BCF 的体积；
（3）证明：EF⊥平面 PAB．
22．（12 分）在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC， ，∠ABC=90°（如
图 1）．把△ABD 沿 BD 翻折，使得二面角 A﹣BD﹣C 的平面角为 θ（如图 2）
（1）若 ，求证：CD⊥AB；
（2）是否存在适当 θ 的值，使得 AC⊥BD，若存在，求出 θ 的值，若不存在说明
理由；
（3）若 ，取 BD 中点 M，BC 中点 N，P、Q 分别为线段 AB 与 DN 上一点，
使得 ．令 PQ 与 BD 和 AN 所成的角分别为 θ1 和 θ2 ．求
sinθ1+sinθ2 的最大值．
2016-2017 学年四川省内江市威远中学高二（上）期中数
学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分）在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的
位置.
1．直线的方程为 ，则直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120°D．150°
【考点】确定直线位置的几何要素．
【分析】设直线 的倾斜角为α，则 tanα= ，
α∈[0°，180°），即可得出．
【解答】解：设直线 的倾斜角为 α，
则 tanα= ，α∈[0°，180°），
∴α=30°．
故选 A．
【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，
属于基础题．
2．长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，异面直线 AB，A1D1 所成的角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】由长方体的特点可得AB 与 AD 所成的角即为异面直线 AB，A1D1 所成的
角，由矩形的性质可求．
【解答】解：∵长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，DA∥A1D1，
∴AB 与 AD 所成的角即为异面直线 AB，A1D1 所成的角，
在矩形 ABCD 中易得 AB 与 AD 所成的角为 90°，
故异面直线 AB，A1D1 所成的角等于 90°
故选：D
【点评】本题考查异面直线所成的角，属基础题．
3．下列说法中错误的是（ ）
A．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直
B．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
C．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直
D．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，那么这
两个平面相互平行
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】在 A 中，垂直于同一条直线的两条直线相交、平行或异面；在 B 中，
由平行公理得这条直线与这两个平面的交线平行；在 C 中，由面面垂直的判定定
理得这两个平面相互垂直；在 D 中，由面面平行的判定定理得这两个平面相互
平行．
【解答】解：在 A 中，垂直于同一条直线的两条直线相交、平行或异面，故 A
错误；
在 B 中，一条直线平行于两个相交平面，则由平行公理得这条直线与这两个平面
的交线平行，故 B 正确；
在 C 中，若一个平面经过另一个平面的垂线，那么由面面垂直的判定定理得这两
个平面相互垂直，故 C 正确；
在 D 中，若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，
那么由面面平行的判定定理得这两个平面相互平行，故 D 正确．
故选：A．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中
线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．
4．过点（﹣1，3）且垂直于直线 x﹣2y+3=0 的直线方程为（ ）
A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=0
【考点】直线的点斜式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．
【分析】根据题意，易得直线x﹣2y+3=0 的斜率为 ，由直线垂直的斜率关系，
可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程．
【解答】解：根据题意，易得直线 x﹣2y+3=0 的斜率为 ，
由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，
又知其过点（﹣1，3），
由点斜式得所求直线方程为 2x+y﹣1=0．
【点评】本题考查直线垂直与斜率的相互关系，注意斜率不存在的特殊情况．
5．对于平面 α 和共面的直线 m、n，下列命题中正确的是（ ）
A．若 m⊥α，m⊥n，则 n∥α
B．若 m∥α，n∥α，则 m∥n
C．若 m⊂α，n∥α，则 m∥n
D．若 m、n 与 α 所成的角相等，则 m∥n
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】由线面的位置关系，即可判断A；由线面平行的定义和性质，即可判断
B；
由线面平行的定义和性质，再由 m，n 共面，即可判断 C；由线面角的定义和线
线的位置关系，即可判断 D．
【解答】解：由于直线 m、n 共面，
对于 A．若 m⊥α，m⊥n，则 n⊂α 或 n∥α，故 A 错；
对于 B．若 m∥α，n∥α，则 m，n 相交或平行，故 B 错；
对于 C．若 m⊂α，n∥α，由于 m、n 共面，则 m∥n，故 C 对；
对于 D．若 m、n 与 α 所成的角相等，则 m，n 相交或平行，故 D 错．
故选 C．
【点评】本题考查空间直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，考查空
间想象能力，属于基础题和易错题．
6．如图所示，正方形 O′A′B′C′的边长为 1，它是水平放置的一个平面图形的直观
图，则原图形的周长是（ ）
A．6 B．8 C．2+3 D．2+2
【考点】平面图形的直观图．
【分析】根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相
应的边长，则问题可求．
【解答】解：作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段 C′B′∥x′轴，所以在
原图形中对应的线段平行于 x 轴且长度不变，点 C′
和 B′在原图形中对应的点 C 和 B 的纵坐标是 O′B′的 2 倍，则
OB=2 ，所以 OC=3，则四边形 OABC 的长度为 8．
故选 B．
【点评】本题考查了平面图形的直观图，考查了数形结合思想，解答此题的关键
是掌握平面图形的直观图的画法，能正确的画出直观图的原图形．
7．已知过点 A（﹣2，m）和 B（m，4）的直线与直线 2x+y﹣1=0 平行，则 m 的
值为（ ）
A．0 B．﹣8 C．2 D．10
【考点】斜率的计算公式．
【分析】因为过点 A（﹣2，m）和 B（m，4）的直线与直线 2x+y﹣1=0 平行，
所以，两直线的斜率相等．
【解答】解：∵直线 2x+y﹣1=0 的斜率等于﹣2，
∴过点 A（﹣2，m）和 B（m，4）的直线的斜率 K 也是﹣2，
∴ =﹣2，解得 ，
故选 B．
【点评】本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应
用．
8．如图所示，是一个正方体的表面展开图，A、B、C 均为棱的中点，D 是顶点，
则在正方体中，异面直线 AB 和 CD 的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】正方体的表面展开图还原成正方体，能求出异面直线 AB 和 CD 的夹角
的余弦值．
【解答】解：正方体的表面展开图还原成正方体，如图，
则异面直线 AB 和 CD 所成角为∠EFG，
设正方体棱长为 2，
在△EFG 中，EF=DC= ，EG= ，FG=2 ，
∴cos∠EFG= = = ．
∴异面直线 AB 和 CD 的夹角的余弦值为 ．
故选：C．
【点评】本题考查异面直线的夹角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审
题，注意正方体的结构特征的合理运用．
9．三棱锥 SABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱 SB 的长为（ ）
A．4 B． C． D．
【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】由已知中的三视图可得 SC⊥平面 ABC，底面△ABC 为等腰三角形，
SC=4，△ABC 中 AC=4，AC 边上的高为 2 ，进而根据勾股定理得到答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得 SC⊥平面 ABC，
且底面△ABC 为等腰三角形，
在△ABC 中 AC=4，AC 边上的高为 2 ，
故 BC=4，
在 Rt△SBC 中，由 SC=4，
可得 SB=4 ，
故选 A．
【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分
析出几何体的形状及棱长是解答的关键．
10．如图，边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 交于点 G，已知△
A′DE（A′∉平面 ABC）是△ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形，有下列说法，不正
确的是（ ）
A．平面 A′FG⊥平面 ABC
B．BC∥平面 A′DE
C．三棱锥 A′﹣DEF 的体积最大值为
D．直线 DF 与直线 A′E 有可能异面
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】在 A 中，推导出 DE⊥GA′，DE⊥GF，从而面 A′FG⊥面 ABC；在 B 中，
由 BC∥DE，得 BC∥平面 A′DE；在 C 中，当面 A′DE⊥面 ABC 时，三棱锥 A′﹣DEF
的体积取最大值 a3；在 D 中，在旋转过程中 DF 与直线 A′E 始终异面．
【解答】解：在 A 中，由已知可得四边形 ABCD 是菱形，
则 DE⊥GA′，DE⊥GF，
∴DE⊥平面 A′FG，∴面 A′FG⊥面 ABC，在 A 正确；
在 B 中，∵BC∥DE，∴BC∥平面 A′DE，故 B 正确；
在 C 中，当面 A′DE⊥面 ABC 时，三棱锥 A′﹣DEF 的体积达到最大，
最大值为 × × a2× a= a3，故 C 正确；
在 D 中，在旋转过程中 DF 与直线 A′E 始终异面，故 D 不正确．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思
维能力的培养．
11．已知点 A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2）直线 l 过点 P（1，1），且与线段 AB
相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是（ ）
A ．
B． C ．
D．
【考点】直线的斜率．
【分析】画出图形，由题意得所求直线 l 的斜率 k 满足 k≥kPB 或 k≤kPA，用直
线的斜率公式求出 kPB 和 kPA 的值，求出直线 l 的斜率 k 的取值范围．
【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线 l 的斜率 k 满足 k≥kPB 或 k≤kPA，
即 k≥ = ，或 k≤ =﹣4，∴k≥ ，或 k≤﹣4，
即直线的斜率的取值范围是 k≥ 或 k≤﹣4．
故选：A．
【点评】本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想，解题的
关键是利用了数形结合的思想，解题过程较为直观，本题类似的题目比较多．可
以移动一个点的坐标，变式出其他的题目．
12．如图，在长方形 ABCD 中，AB=2，BC=1，E 为 DC 的中点，F 为线段 EC（端
点除外）上一动点，现将△AFD 沿 AF 折起，使平面 ABD⊥平面 ABCF．在平面 ABD
内过点 D 作 DK⊥AB，K 为垂足，设 AK=t，则 t 的取值范围是（ ）
A．（ ，2） B．（ ，1） C．（ ，2） D．（ ，1）
【考点】平面与平面垂直的性质．
【分析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于 F 位于 DC 的中点时，可得
t=1，随着 F 点到 C 点时，当 C 与 F 无限接近，不妨令二者重合，此时有 CD=2，
由此能求出 t 的取值的范围．
【解答】解：此题的破解可采用二个极端位置法，即对于 F 位于 DC 的中点时，
可得 t=1，
随着 F 点到 C 点时，当 C 与 F 无限接近，不妨令二者重合，此时有 CD=2
∵CB⊥AB，CB⊥DK，
∴CB⊥平面 ADB，即有 CB⊥BD，
对于 CD=2，BC=1，在直角三角形 CBD 中，得 BD= ，
又 AD=1，AB=2，再由勾股定理可得∠BDA 是直角，∴AD⊥BD
再由 DK⊥AB，可得三角形 ADB 和三角形 AKD 相似，可得 t= ，
∴t 的取值的范围是（ ，1）
故选：B．
【点评】本题考查线段长的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注
意特殊值法的合理运用．
二、填空题：（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）各题答案必须填写
在答题卡相应的位置上.
13．若三点 A（3，3），B（a，0），C（0，b）（其中 a•b≠0）共线，则 +
= ．
【考点】三点共线．
【分析】利用向量的坐标公式：终点坐标减去始点坐标，求出向量的坐标；据三
点共线则它们确定的向量共线，利用向量共线的充要条件列出方程得到 a，b 的
关系．
【解答】解：∵点 A（3，3）、B（a，0）、C（0，b）（ab≠0）
∴ =（a﹣3，﹣3）， =（﹣3，b﹣3），
∵点 A（3，3）、B（a，0）、C（0，b）（ab≠0）共线
∴
∴（a﹣3）×（b﹣3）=﹣3×（﹣3）
所以 ab﹣3a﹣3b=0，
∴ + = ，
故答案为： ．
【点评】本题考查利用点的坐标求向量的坐标、向量共线的充要条件、向量共线
与三点共线的关系．
14．已知正三棱锥 P﹣ABC，点 P，A，B，C 都在半径为 的球面上，若 PA，
PB，PC 两两相互垂直，则球心到截面 ABC 的距离为 ．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体
问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法
可实现此计算．
【解答】解：∵正三棱锥 P﹣ABC，PA，PB，PC 两两垂直，
∴此正三棱锥的外接球即以 PA，PB，PC 为三边的正方体的外接球 O，
∵球 O 的半径为 ，
∴正方体的边长为 ，即 PA=PB=PC= ，
球心到截面 ABC 的距离即正方体中心到截面 ABC 的距离，
设 P 到截面 ABC 的距离为 h，则正三棱锥 P﹣ABC 的体积 V= S△ABC×h=
，
△ABC 为边长为 的正三角形，S △ ABC= ×（ ） 2=
，
∴h= ，
∴球心（即正方体中心）O 到截面 ABC 的距离为 ．
故答案为 ．
【点评】本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱
的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中
档题．
15．过点 P（2，1）作直线 l，与 x 轴，y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，则使
|PA|•|PB|取得最小值时的直线 l 的方程是 x+y﹣3=0 ．
【考点】直线的一般式方程．
【分析】设直线l 的点斜式方程，求出 A，B 两点的坐标，代入|PA|•|PB|的解析
式，使用基本不等式，求出最小值，注意检验等号成立条件．
【解答】解：设直线 l：y﹣1=k（x﹣2），分别令 y=0，x=0，
得 A（2﹣ ，0），B（0，1﹣2k）．
则 |PA|•|PB|= =
，
当且仅当 k2=1，即 k=±1 时，|PA|•|PB|取最小值，
又∵k＜0，
∴k=﹣1，
这时 l 的方程为 x+y﹣3=0．
故答案为：x+y﹣3=0．
【点评】本题考查了直线的点斜式方程，以及基本不等式的应用．
16．正四面体 ABCD 的棱长为 1，棱 AB∥平面 α，则正四面体上的所有点在平面
α 内的射影构成的图形面积的取值范围是 ．
【考点】平行投影及平行投影作图法．
【分析】首先想象一下，当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时，不管怎么
转动，投影的三角形的一个边始终是 AB 的投影，长度是 1，而发生变化的是投
影的高，体会高的变化，得到结果．
【解答】解：因为正四面体的对角线互相垂直，且棱 AB∥平面 α，
当 CD∥平面 α，这时的投影面是对角线为 1 的正方形，
此时面积最大，是 2× ×1× =
当 CD⊥平面 α 时，射影面的面积最小，
此时构成的三角形底边是 1，高是直线 CD 到 AB 的距离，为 ，射影面的面
积是 ，
故答案为：[ ]
【点评】本题考查平行投影及平行投影作图法，本题是一个计算投影面积的题目，
注意解题过程中的投影图的变化情况，本题是一个中档题．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明
过程或演算步骤）
17．（10 分）（2015 秋•郴州校级期末）已知直线 l：x+y﹣1=0，
（1）若直线 l1 过点（3，2）且 l1∥l，求直线 l1 的方程；
（2）若直线 l2 过 l 与直线 2x﹣y+7=0 的交点，且 l2⊥l，求直线 l2 的方程．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行
关系．
【分析】（1）由题意和平行关系设直线 l1 的方程为 x+y+m=0，代点可得 m 的方
程，解得 m 值可得直线 l1 的方程；
（2）解方程组 可得交点坐标，由垂直关系可得直线斜率，
可得直线方程．
【解答】解：（1）由题意和平行关系设直线 l1 的方程为 x+y+m=0，
∵直线 l1 过点（3，2），∴3+2+m=0，
解得 m=﹣5，直线 l1 的方程为 x+y﹣5=0；
（2）解方程组 可得 ，
∴直线 l 与直线 2x﹣y+7=0 的交点为（﹣2，3）
∵l2⊥l，∴直线 l2 的斜率 k=1，
∴直线方程为 x﹣y+5=0
【点评】本题考查直线的一般式方程和平行垂直关系，属基础题．
18．（12 分）（2016 秋•威远县校级期中）如图（1）所示，在直角梯形 ABCP
中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E、F、G 分别为线段 PC、PD、BC
的中点，现将△PDC 折起，使平面 PDC⊥平面 ABCD（图（2））．
（1）求证：AP∥平面 EFG；
（2）若点 Q 是线段 PB 的中点，求证：PC⊥平面 ADQ．
【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）由条件可得 EF∥CD∥AB，利用直线和平面平行的判定定理证得 EF∥
平面 PAB．同理可证，EG∥平面 PAB，可得平面 EFG∥平面 PAB．再利用两个平
面平行的性质可得 AP∥平面 EFG．
（2）由条件可得 DA、DP、DC 互相垂直，故 AD⊥平面 PCD，AD⊥PC．再由 EQ
平行且等于 BC 可得 EQ 平行且等于 AD，故 ADEQ 为梯形．再根据 DE 为等
腰直角三角形 PCD 斜边上的中线，可得 DE⊥PC．再利用直线和平面垂直的判定
定理证得 PC⊥平面 ADQ．
【解答】解：（1）证明：E、F、G 分别为线段 PC、PD、BC 的中点，
可得 EF∥CD∥AB．
由于 AB⊂平面 PAB，EF 不在平面 PAB 内，故有 EF∥平面 PAB．
同理可证，EG∥平面 PAB．
由于 EF、EG 是平面 EFG 内的两条相交直线，
故有平面 EFG∥平面 PAB．
而 PA⊂平面 PAB，∴AP∥平面 EFG．
（2）由条件可得，CD⊥AD，CD⊥PD，
而 PD、AD 是两条相交直线，故 CD⊥平面 PAD，
∴∠PDA 为二面角 PCD﹣CD﹣ABCD 的平面角．
再由平面 PCD⊥平面 ABCD，可得 PD⊥AD，故 DA、DP、DC 互相垂直，故 AD⊥
平面 PCD，
而 PC⊂平面 PCD，故有 AD⊥PC．
∵点 Q 是线段 PB 的中点，∴EQ 平行且等于 BC，∴EQ 平行且等于 AD，故
四边形 ADEQ 为梯形．
再由 AD=DC=PD=2，可得 DE 为等腰直角三角形 PCD 斜边上的中线，∴DE⊥
PC．
这样，PC 垂直于平面 ADQ 中的两条相交直线 AD、DE，∴PC⊥平面 ADQ．
【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定定理
的应用，属于中档题．
19．（12 分）（2012•湖北模拟）一个四棱椎的三视图如图所示：
（I）求证：PA⊥BD；
（II）在线段 PD 上是否存在一点 Q，使二面角 Q﹣AC﹣D 的平面角为 30°？若存
在，求 的值；若不存在，说明理由．
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合
题．
【分析】（I）由三视图，可知四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角
形，所以该四棱锥是一个正四棱锥．作出它的直观图，根据线面垂直的判定与性
质，可证出 PA⊥BD；
（2）假设存在点 Q，使二面角 Q﹣AC﹣D 的平面角为 30°，由 AC⊥平面 PBD 可
得∠DOQ 为二面角 Q﹣AC﹣D 的平面角，可证出在 Rt△PDO 中，OQ⊥PD，且∠
PDO=60°，结合三角函数的计算可得 = ．
【解答】解：（I）由三视图，可知四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰
三角形
∴ 四 棱 锥 P﹣ABCD 为 正 四 棱 锥 ， 底 面 ABCD 为 边 长 为 2 的 正 方 形 ， 且
PA=PB=PC=PD，
连接 AC、BD 交于点 O，连接 PO． …
∵PO⊥平面 ABCD，BD⊆平面 ABCD，∴BD⊥PO，
又∵BD⊥AC，PO、AC 是平面 PAC 内的相交直线
∴BD⊥平面 PAC，
结合 PA⊆平面 PAC，得 BD⊥PA．…
（II）假设存在点 Q，使二面角 Q﹣AC﹣D 的平面角为 30°
∵AC⊥BD，AC⊥PO，BD、PO 是平面 PBD 内的相交直线
∴AC⊥平面 PBD
∴AC⊥OQ，可得∠DOQ 为二面角 Q﹣AC﹣D 的平面角，…（8 分）
由三视图可知，BC=2，PA= =2 ，
在 Rt△POD 中，PD=2 ，OD= ，则∠PDO=60°，
在△DQO 中，∠PDO=60°，且∠QOD=30°．所以 DP⊥OQ．…（10 分）
结合 OD= ，得 QD=ODcos60°= ．可得 = = ．
因此存在 PD 上点 Q，当 DQ= PD 时，二面角 Q﹣AC﹣D 的平面角为 30°…（12
分）
【点评】本题给出四棱锥的三视图，要求将其还原成直观图并探索二面角的大小，
着重考查了线面垂直的判定与性质和对三视图的理解等知识，属于中档题．
20．（12 分）（2013 秋•台州期末）已知△ABC 的顶点 A（3，2），∠C 的平分
线 CD 所在直线方程为 y﹣1=0，AC 边上的高 BH 所在直线方程为 4x+2y﹣9=0．
（1）求顶点 C 的坐标；
（2）求△ABC 的面积．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行
关系．
【分析】（1）由高 BH 所在直线方程为 4x+2y﹣9=0，可得 kBH．由于直线 AC⊥
BH，可得 kAC•kBH=﹣1．即可得到 kAC，进而得到直线 AC 的方程，与 CD 方程联立
即可得出点 C 的坐标；
（2）求出直线 BC 的方程，进而得到点 B 的坐标，利用点到直线的距离公式可
得点 B 到直线 AC 的距离，利用两点间的距离公式可得|AC|，利用三角形的面积
计算公式可得 ．
【解答】解：（1）由高 BH 所在直线方程为 4x+2y﹣9=0，∴
=﹣2．
∵直线 AC⊥BH，∴kAC•kBH=﹣1．
∴ ，
直线 AC 的方程为 ，
联立
∴点 C 的坐标 C（1，1）．
（2） ，
∴直线 BC 的方程为 ，
联立 ，即 ．
点 B 到直线 AC：x﹣2y+1=0 的距离为 ．
又 ，
∴ ．
【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、角平分线的性质、点到直
线的距离公式、两点间的距离公式、三角形的面积计算公式，属于基础题．
21．（12 分）（2012•广东）如图所示，在四棱锥 P﹣ABCD 中，AB⊥平面 PAD，
AB∥CD，PD=AD，E 是 PB 的中点，F 是 CD 上的点且 ，PH 为△PAD
中 AD 边上的高．
（1）证明：PH⊥平面 ABCD；
（2）若 PH=1， ，FC=1，求三棱锥 E﹣BCF 的体积；
（3）证明：EF⊥平面 PAB．
【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】（1）因为 AB⊥平面 PAD，所以 PH⊥AB，因为 PH 为△PAD 中 AD 边上
的高，所以 PH⊥AD，由此能够证明 PH⊥平面 ABCD．
（2）连接 BH，取 BH 中点 G，连接 EG，因为 E 是 PB 的中点，所以 EG∥PH，因
为 PH⊥平面 ABCD，所以 EG⊥平面 ABCD，由此能够求出三棱锥 E﹣BCF 的体
积．
（3）取 PA 中点 M，连接 MD，ME，因为 E 是 PB 的中点，所以
，因为 ME ，所以 ME DF，故四边形 MEDF 是平行四
边形．由此能够证明 EF⊥平面 PAB．
【解答】解：（1）证明：∵AB⊥平面 PAD，
∴PH⊥AB，
∵PH 为△PAD 中 AD 边上的高，
∴PH⊥AD，
∵AB∩AD=A，
∴PH⊥平面 ABCD．
（2）如图，连接 BH，取 BH 中点 G，连接 EG，
∵E 是 PB 的中点，
∴EG∥PH，
∵PH⊥平面 ABCD，
∴EG⊥平面 ABCD，
则 ，
∴ =
（3）证明：如图，取 PA 中点 M，连接 MD，ME，
∵E 是 PB 的中点，
∴ME ，
∵ ，
∴ME DF，
∴四边形 MEDF 是平行四边形，
∴EF∥MD，
∵PD=AD，∴MD⊥PA，
∵AB⊥平面 PAD，∴MD⊥AB，
∵PA∩AB=A，∴MD⊥平面 PAB，
∴EF⊥平面 PAB．
【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，求三棱锥的体积，解题时要认真审题，
注意合理地化立体几何问题为平面几何问题．
22．（12 分）（2016 秋•威远县校级期中）在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，
，∠ABC=90°（如图 1）．把△ABD 沿 BD 翻折，
使得二面角 A﹣BD﹣C 的平面角为 θ（如图 2）
（1）若 ，求证：CD⊥AB；
（2）是否存在适当 θ 的值，使得 AC⊥BD，若存在，求出 θ 的值，若不存在说明
理由；
（3）若 ，取 BD 中点 M，BC 中点 N，P、Q 分别为线段 AB 与 DN
上一点，使得 ．令 PQ 与 BD 和 AN 所成的
角分别为 θ1 和 θ2．求 sinθ1+sinθ2 的最大值．
【考点】与二面角有关的立体几何综合题．
【分析】（1）先证明 CD⊥BD，利用平面 ABD⊥平面 BCD，可得 CD⊥平面 ABD，
利用线面垂直的性质可得 CD⊥AB；
（2）不存在．由 AC⊥BD，CD⊥BD，AC∩CD=C，可得 BD⊥平面 ACD，BD⊥AD，
与∠ABC=90°矛盾；
（3）BN 线段取点 R 使得 ，从而
易得 PR∥AN 且 RQ∥BDA，θ1=∠PQR，θ2=∠QPR，确定 θ1+θ2，利用基本不等式，
即可求 sinθ1+sinθ2 的最大值．
【解答】（1）证明：由已知条件可得 BD=2，CD=2，CD⊥BD．
∵平面 ABD⊥平面 BCD，平面 ABD∩平面 BCD=BD，
∴CD⊥平面 ABD．…
又∵AB⊂平面 ABD，∴CD⊥AB．…
（2）解：不存在．
∵AC⊥BD，CD⊥BD，AC∩CD=C，
∴BD⊥平面 ACD，
∵AD⊂平面 ACD，
∴BD⊥AD，与∠ABC=90°矛盾，
故不存在；
（3）解：在 BN 线段取点 R 使得
从而易得 PR∥AN 且 RQ∥BDA，θ1=∠PQR，θ2=∠QPR
另一方面，AM⊥BD，MN⊥BD，从而 θ=∠AMN．
∵AM⊥BD，MN⊥BD，AM∩MN=M，
∴BD⊥AN，
∵PR∥AN，RQ∥BD，
∴∠PRQ= ，
从 而 有
，
∴
当且仅当 sinθ1=sinθ2，即 θ1=θ2 时取得最大值．…（14 分）
【点评】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识，考
查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想．