广东省蕉岭县蕉岭中学2019-2020学年高二上学期第一次段考数学试题 9页

蕉岭中学 2019—2020 学年第一学期 高二级第一次质检数学试题 2019.11 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.） 1．设全集 I R ，集合  2| log , 2A y y x x   ， { | 1}B x y x   ，则（ ） A. A B B. A B A  C. A B   D. ( )IA B  ð 2．函数 2( ) ln( 2 8)f x x x   的单调递增区间是（ ） A.( , 2)  B.( ,1) C. (1, ) D. (4, ) 3．设 ， ， ，则 的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 4．已知 nS 是数列 }{ na 的前 n 项和， 12n nS  ，则 10a  （ ） A．256 B．512 C．1024 D．2048 5．在 ABC 中， 2 2 2 2 3 sina b c ab C   ，则 ABC 的形状是 ( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 6．函数 ( ) sin( )f x A x   （其中 0A  ， 2   ）的图象如图所示，为了得到 ( ) sin3g x x 的图象，只需将 ( )f x 的图象（ ） A．向右平移 π 4 个单位长度 B．向左平移 π 4 个单位长度 C．向右平移 π 12 个单位长度 D．向左平移 π 12 个单位长度 7．若 0 2   ， 02     ， 1cos 4 3      ， 3cos 4 2 3       ，则 cos 2     等于 （ ） A． 3 3 B． 3 3  C． 5 3 9 D． 6 9  8. 下列函数中，最小值是 2 的是（ ） A. 1y x x   B. 3 3x xy   C. 1lg (1 10)lgy x xx     D. 1sin (0 )sin 2y x xx     9．下表是某电器销售公司 2018 年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表： 空调类 冰箱类 小家电类 其它类 营业收入占比 90.10% 4.98% 3.82% 1.10% 净利润占比 95.80% ﹣0.48% 3.82% 0.86% 则下列判断中不正确的是（ ） A．该公司 2018 年度冰箱类电器销售亏损 B．该公司 2018 年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C．该公司 2018 年度净利润主要由空调类电器销售提供 D．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司 2018 年度空调类电器销售净利润占比将会降低 10．过点  3,1P 的直线l 与函数 2 1( ) 2 6 xf x x   的图象交于 A ， B 两点，O 为坐标原点，则 ( )OA OB OP     （ ） A． 10 B． 2 10 C．10 D．20 11．一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算 经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五 五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为 a ，当  2,2019a 时，符合条件的 a 共有（ ） A．133 个 B．134个 C．135个 D．136 个 12.若函数 3 3 ( 0)( ) log ( ) ( 0) x xf x x x      ,函数 2( ) ( ) ( )g x f x f x t   ,则关于函数 )(xg 的 零点,下列判断不正确．．．的是（ ） A.若 )(,4 1 xgt  有一个零点 B.若 12 , ( )4t g x   有两个零点 C.若 2, ( )t g x  有三个零点 D.若 2, ( )t g x  有四个零点 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,将答案写在答题卡上．．．．．．．．．.） 13．已知数列 na 满足 1 1a  ，若 1 1 1 4 ( )n n n n Na a      ，则数列 na 的通项 na  _______. 14．若 x ， y 满足约束条件 2 2 0 1 0 0 x y x y y          ，则 3 2z x y  的最大值为_____________． 15．在区间[ 2,4] 上随机地取一个实数 x ，若实数 x 满足| |x m 的概率为 2 3 ，则 m  _______. 16．如图 1，点 E 为正方形 ABCD 边 BC 上异于点 ,B C 的动点，将 ABE 沿 AE 翻折，得到 如图 2 所示的四棱锥 B AECD ，且平面 BAE 平面 AECD ，点 F 为线段 BD 上异于点 ,B D 的动点，则在四棱锥 B AECD 中，下列说法正确的有_____________． ①．直线 BE 与直线CF 必不在同一平面上 ②．存在点 E 使得直线 BE平面 DCE ③．存在点 F 使得直线 CF 与平面 BAE 平行 ④．存在点 E 使得直线 BE 与直线 CD 垂直 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17.（本小题满分 10 分） 若数列 }{ na 的前 n 项和 nS 满足 2n nS a n  . (1)求证：数列 1na  是等比数列； (2)设 )1(log 2 nn ab  ，求数列 }1{ 1nnbb 的前 n 项和 nT . 18、（本小题满分 12 分） 在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知向量 (cos ,cos )m A B ， ( ,2 )n a c b  ，且 / /m n   ． （I）求角 A 的大小； （II）若 4a  ，求  ABC 面积的最大值． 19、(本小题满分 12 分) 某市举行数学竞赛，从参加考试的学生中抽出 40 名学生，将其成绩(均为整数)分成六段 后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题： (1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)估计这次考试的及格率( 60 分及以上为及格)和平均分； (3)从成绩是  40,50 90,100 , 的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率． 20、(本小题满分 12 分) 如 图 ， 在 四 面 体 ABCD 中 ， 平 面 ABC  平 面 ACD ， ACB ACD 90    ， AC BC 2CD 2   ， , ,E F G 分别为 , ,AB AD AC 的中点． （1）证明：平面 / /EFG 平面 BCD； （2）求三棱锥 E ACD 的体积； （3）求二面角 D AB C  的大小． 21．(本小题满分 12 分) 已知函数 2( ) 3f x x bx c   ，不等式 ( ) 0f x  的解集为 ( ,2) (0, )   ． (1) 求函数 ( )f x 的解析式； (2) 已知函数 ( ) ( ) 2g x f x mx   在 (2, ) 上单调增，求实数 m 的取值范围； (3) 若对于任意的 [ 2,2]x  ， ( ) 3f x n  都成立，求实数 n 的最大值． 22. (本小题满分 12 分) 已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线 4x＋3y－29＝0 相切． (1)求圆的方程； (2)设直线 ax－y＋5＝0(a>0)与圆相交于 A，B 两点，求实数 a 的取值范围； (3)在(2)的条件下，是否存在实数 a，使得弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P(－2，4)？ 若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由． 蕉岭中学 2019—2020 学年第一学期 高二级第一次质检数学试题(答案) 一、选择题：ADDAB CCBBD CD 二、 13、 14. 6 15、 2 16 、①③ 三、解答题：17. 解：(1) 当 时， ，解得 ……1 分 当 时，由题意， ，即 ……3 分 所以 ，即 数列 是首项为 ，公比为 2 的等比数列……6 分 (2)由（1）， ，所以 ……7 分 ……8 分 ……10 分 18. 19、解：(1)因为各组的频率和等于 1，故第四组的频率为： 1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.3 ………………………………2 分 其频率分布直方图如图所示． ………………………………………………3 分 (2)依题意，60 分及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为(0.015＋0.030＋0.025 ＋0.005)×10＝0.75.所以，估计这次考试的合格率是 75%.……………………………4 分 利用组中值估算这次考试的平均分为： 45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71. 所以估计这次考试的平均分是 71 分．………….………………………………7 分 (3) 成绩是 的人数分别是 4 和 2，…………………………8 分 将分数段在 的 4 人编号为 A1，A2，…A4，将分数段在 的 2 人编号为 B1，B2， 从中任取两人，则基本事件构成集合 Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)…(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)， (A2，A3)，(A2，A4)， …，(B1，B2)}共有 15 个，……………………………………………………………10 分 其中，在同一分数段内的事件所含基本事件为 (A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A,4)，(A2，A3) ，(A2，A4) ，(A3，A4)，(B1，B2)，共 7 个， 故概率 P＝ . …………………………………………………………12 分 20. （1）证明：因为 分别为 的中点， 又有 平面 ， 平面 ，所以 平面 同理： 平面 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 （2）解：因为 ，所以 因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 所以 平面 ， 为 中点，所以 所以三棱锥 的体积为 （3）因为 ， 为 中点，所以 ， 同理， 平面 ， 平面 所以 是二面角 的平面角 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ， 则 平面 平面 ，所以 在直角三角形 中， ，则 ，所以二面角 的大小为 21．解;(1) 的解集为 ， 和 0 是方程 的两个实根，则 ， ，解得 ， （2）由（1）得， ， 则 的对称轴是 ， 在 上单调递增， ，解得 （3）由（1）得， ，即 ， ，即当 时，函数 取到最小值为 ， ，实数 的最大值为 。 22、解：(1)设圆心为 M(m，0)(m∈Z)． 由于圆与直线 4x＋3y－29＝0 相切，且半径为 5，所以|4m－29|5 ＝5，即|4m－29|＝25.因为 m 为整数，故 m＝1.故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝25. (2)把直线 ax－y＋5＝0 即 y＝ax＋5 代入圆的方程，消去 y 整理，得(a2＋1)x2＋2(5a－1)x＋ 1＝0. 由于直线 ax－y＋5＝0 交圆于 A，B 两点， 故Δ＝4(5a－1)2－4(a2＋1)>0. 即 12a2－5a>0，由于 a>0，解得 a> 512，所以实数 a 的取值范围是 5，＋∞. (3)设符合条件的实数 a 存在，由于 a≠0，则直线 l 的斜率为－1a，l 的方程为 y＝－1a(x＋2) ＋4，即 x＋ay＋2－4a＝0.由于 l 垂直平分弦 AB，故圆心 M(1，0)必在 l 上． 所以 1＋0＋2－4a＝0，解得 a＝34. 由于 34∈ 5，＋∞，故存在实数 a＝34，使得过点 P(－2，4)的直线 l 垂直平分弦 AB.