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- 2024-01-28 发布
高三理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若函数为纯虚数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2.已知、是两个平面，、是两条直线，则下列命题不正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
3.下列选项中，说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定为“，”
B．命题“在中，，则”的逆否命题为真命题
C．若非零向量、满足，则与共线
D．设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的充分必要条件
4.若点的坐标满足，则点的轨迹图象大致是（ ）
5.如图，已知是椭圆（）的左焦点，是椭圆上一点，轴，（为坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
6.已知中，，，分别为内角，，所对的边长，且，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
7.已知在内有一点，满足，过点作直线分别交、于、，若，（，），则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．3
8.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）
A． B． C． D．
9.定义为个正数，，…，的“均倒数”，若已知正数数列的前项的“均倒数”为，又，则（ ）
A． B． C． D．
10.当，满足不等式组时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11.设双曲线：（，）的左、右焦点为，，是双曲线上的一点，与轴垂直，的内切圆方程为，则双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
12.若函数在区间上，对，，，，，为一个三角形的三边长，则称函数为“三角形函数”．已知函数在区间上是“三角形函数”，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.函数则的值为 ．
14.已知四棱锥的5个顶点都在球的球面上，若底面为矩形，，，
且四棱锥体积的最大值为，则球的表面积为 ．
15.三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？翻译如下：要测量海岛上一座山峰的高度，立两根高三丈的标杆和，
前后两竿相距步，使后标杆杆脚与前标杆杆脚与山峰脚在同一直线上，从前标杆杆脚退行123步到，人眼著地观测到岛峰，、、三点共线，从后标杆杆脚退行127步到，人眼著地观测到岛峰，、、三点也共线，则山峰的高度 步．（古制1步6尺，1里180丈尺步）
16.对于，定义，其中是满足的最大整数，表示不超过的最大整数，如，，则满足的最大整数为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知函数．
（1）设，且，求的值；
（2）在中，，，且的面积为，求的值．
18.已知数列的前项和，数列满足，（…）．
（1）求数列和数列的通项和；
（2）若，求数列的前项和．
19.如图，四棱锥中，平面底面，，．
（1）证明：；
（2）若，与所成角的余弦值为，求二面角的余弦值．
20.如图，设椭圆的中心为原点，长轴在轴上，上顶点为，左、右焦点分别为，，线段，的中点分别为，，且是面积为4的直角三角形．
（1）求该椭圆的离心率和标准方程；
（2）过作直线交椭圆于，两点，使，求的面积．
21.已知函数．
（1）若在点处的切线方程为平行，求，的值；
（2）若，，是函数的两个极值点，求证：．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）分别写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与，轴的两个交点分别为，，点在曲线上运动，当时，求的最大值与最小值．
23.已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求实数的取值范围．