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高考数学专题复习：推理与证明(A) 7页

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高考数学专题复习：推理与证明(A)

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第二章　推理与证明(A)‎ 一、选择题 ‎1、已知△ABC中，cos A＋cos B>0，则必有(　　)‎ A．02)，q＝2－a2＋‎4a－2 (a>2)，则(　　)‎ A．p>q B．p1，a＝－，b＝－，则正确的结论是(　　)‎ A．a>b B．af(cos β) B．f(cos α)f(sin β) D．f(sin α)>f(sin β)‎ ‎12、平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f(k)，则增加了一条直线后，它们的交点个数最多为(　　)‎ A．f(k)＋k B．f(k)＋1‎ C．f(k)＋k＋1 D．k·f(k)‎ 二、填空题 ‎13、观察：＋<2；＋<2；＋<2；….对于任意正实数a，b，试写出使＋≤2成立的一个条件可以是__________．‎ ‎14、若不等式(－1)na<2＋对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ ‎15、由“等腰三角形的两底角相等，两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是__________________________________________________．‎ ‎16、将“函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使f(c)>‎‎0”‎ 反设，所得命题为“________________________”．‎ 三、解答题 ‎17、等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.‎ ‎(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；‎ ‎(2)设bn＝ (n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．‎ ‎18、已知a、b、c是不等正数，且abc＝1，‎ 求证：＋＋<＋＋.‎ ‎19、把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立．‎ ‎(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；‎ ‎(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．‎ ‎20、已知函数f(x)(x∈R)，对于任意x1、x2∈R，等式f(x1)＋f(x2)＝‎2f()·f()恒成立，但f(x)不恒为0，求证：f(x)是偶函数．‎ ‎21、已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋(＋＋)2≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．‎ ‎22、先解答(1)，再通过类比解答(2)‎ ‎(1)求证：tan＝；‎ ‎(2)设x∈R且f(x＋1)＝，试问f(x)是周期函数吗？证明你的结论．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、A　[由cos A＋cos B>0得cos A>－cos B，‎ ‎∴cos A>cos(π－B)，∵02)，∴p>q.]‎ ‎7、B　[前三组数分别求和得1,8,27，即13,23,33，所以猜想第n组数的和为n3.]‎ ‎8、B　[∵a＝－＝，‎ b＝－＝，又∵c>1，‎ ‎∴＋>＋>0，‎ ‎∴<.即a0，且a＝1，即a3＝1.‎ ‎∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，‎ 即6q2－q－1＝0.‎ 故q＝或q＝－(舍去)，∴a1＝＝4.‎ ‎∴S5＝＝8(1－)＝.故选B.]‎ ‎10、A　[由图知：三白二黑周而复始相继排列，因36÷5＝7余1，所以第36颗应与第1颗珠子的颜色相同，即为白色．]‎ ‎11、C　[因为α、β是锐角三角形的两个内角，‎ 所以α＋β>，所以>α>－β>0，‎ 所以cos αf(sin β)．]‎ ‎12、A　[增加一条直线后，最多和原来的k条直线都相交，有k个交点，所以交点个数最多为f(k)＋k.]‎ 二、填空题 ‎13、a＋b＝22‎ 解析　∵7＋15＝22,5.5＋16.5＝22,3－＋19＋＝22，∴猜测a＋b＝22.‎ ‎14、－2≤a< 解析　当n为偶数时，a<2－，‎ 而2－≥2－＝，∴a<.‎ 当n为奇数时，a>－2－，‎ 而－2－<－2，∴a≥－2.‎ 综上可得－2≤a<.‎ ‎15、正棱锥各侧面与底面所成二面角相等，各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等 解析　等腰三角形的底与腰可分别与正棱锥的底面与侧面类比．‎ ‎16、函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上恒小于等于0‎ 三、解答题 ‎17、(1)解　由已知得 ‎∴d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．‎ ‎(2)证明　由(1)得bn＝＝n＋.‎ 假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br (p、q、r∈N*且互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，‎ 即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，‎ ‎∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.‎ ‎∵p、q、r∈N*，∴ ‎∴2＝pr，(p－r)2＝0，‎ ‎∴p＝r，这与p≠r矛盾．‎ ‎∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．‎ ‎18、证明　∵a、b、c是不等正数，且abc＝1，‎ ‎∴＋＋＝＋＋ ‎<＋＋ ‎＝＋＋.‎ 故＋＋<＋＋.‎ ‎19、解　(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交．‎ 结论是正确的：证明如下：‎ 设α∥β，且γ∩α＝a，‎ 则必有γ∩β＝b，若γ与β不相交，则必有γ∥β，‎ 又α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a矛盾，‎ ‎∴必有γ∩β＝b.‎ ‎(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．‎ ‎20、证明　方法一　(分析法)要证f(x)是偶函数，只需证对于任意x∈R，都有f(－x)＝f(x)．‎ 由f(x1)＋f(x2)＝‎2f()·f()‎ 得f(－x)＋f(x)＝‎2f(0)·f(－x)，‎ 欲证f(－x)＝f(x)，‎ 需先证f(0)＝1.‎ 由f(x)不恒为0，即存在一个x0使f(x0)≠0，‎ 从而f(x0)＋f(x0)＝‎2f(x0)·f(0)，‎ 由‎2f(x0)＝‎2f(x0)·f(0)．‎ 因为f(x0)≠0，所以f(0)＝1，命题得证．‎ 方法二　(综合法)设x0∈R，f(x0)≠0，‎ 则f(x0)＋f(x0)＝‎2f(x0)·f(0)，‎ 即‎2f(x0)＝‎2f(x0)·f(0)．‎ 因为f(x0)≠0，所以f(0)＝1.‎ 对于任意x∈R，有f(x)＋f(－x)＝‎2f(0)·f(x)，‎ 所以f(x)＋f(－x)＝‎2f(x)，所以f(－x)＝f(x)．‎ 因此，函数f(x)为偶函数．‎ ‎21、证明　因为a，b，c均为正数，由基本不等式得 a2＋b2≥2ab，‎ b2＋c2≥2bc，‎ c2＋a2≥‎2ac.‎ 所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac. ①‎ 同理＋＋≥＋＋， ②‎ 故a2＋b2＋c2＋(＋＋)2‎ ‎≥ab＋bc＋ac＋＋＋≥6. ③‎ 所以原不等式成立．‎ 当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．‎ 故当且仅当a＝b＝c＝3时，原不等式等号成立．‎ ‎22、(1)证明　tan＝ ‎＝；‎ ‎(2)解　f(x)是以4为一个周期的周期函数．‎ 证明如下：‎ ‎∵f(x＋2)＝f((x＋1)＋1)＝ ‎＝＝－，‎ ‎∴f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)‎ ‎＝－＝f(x)，‎ ‎∴f(x)是周期函数．‎

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