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- 2024-01-23 发布
滑县二中高二数学11月期中试题（理科）
一、选择题（12×5=60分）
1.“”是“数列为递增数列”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.在△ABC中，，，，则BC边上的高等于（ ）
A． B． C． D．
3.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角为（ ）
A． B． C． D．
4.若数列{an}的通项公式是an=（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a20=（ ）
A．30 B．29 C．﹣30 D．﹣29
5. 设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA 、sinB、 sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
6.已知各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为，则2a7+a11的最小值为（ ）
A．16 B．8 C． D．4
7.已知数列{an}的通项公式为，则数列{an}（ ）
A．有最大项，没有最小项 B．有最小项，没有最大项
C．既有最大项又有最小项 D．既没有最大项也没有最小项
8.以原点O引圆（x﹣m）2+（y﹣2）2=m2+1的切线y=kx，当m变化时切点P的轨迹方程（ ）
A．x2+y2=3 B．（x﹣1）2+y2=3 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=3 D．x2+y2=2
9.若A、B两点的坐标分别是A（3cosa，3sina，1），B（2cosb，2sinb，1），则||的取值范围是（ ）
A．[0，5] B．[1，5] C．（1，5） D．[1，25]
10.已知有序实数对（x，y）满足条件x≤y≤，则x+y的取值范围是（ ）
A．[﹣2，] B．[﹣，] C．[﹣1，] D．（﹣∞，]
11.已知O为坐标原点，双曲线的右焦点F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A、B，若，则双曲线的离心率为
Ａ．2 B．3 Ｃ． D．
12.已知数列{an}的前n项之和Sn=n2﹣4n+1，则|a1|+|a2|+…+|a10|的值为（ ）
A．61 B．65 C．67 D．68
二、填空题（4×5=20分）
13.已知方程（是常数）表示曲线,给出下列命题：
①曲线不可能为圆；②曲线不可能为抛物线；
③若曲线为双曲线，则或；④若曲线为焦点在x轴上的椭圆，则.其中真命题的编号为 .
14.在正三棱柱ABC﹣A1B1C1，若AB=2，AA1=1，则A到平面A1BC的距离 ．
15.已知数列{an}满足a1=33，an+1﹣an=2n，则的最小值为 ．
16.设是外接圆的圆心,分别为角对应的边,已知
,则的范围是_________________.
三、解答题
17.（本小题满分10分）已知．
(I)当时，p为真命题且非q为真命题，求x的取值范围；
(Ⅱ)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．
18.（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1内接于高为的圆柱中，已知∠ACB=90°，AA1=，BC=AC=1，O为AB的中点．求：
（1）圆柱的全面积；
（2）异面直线AB′与CO所成的角的大小；
（3）求直线A′C与平面ABB′A′所成的角的大小．
19. 已知中，.
(1) 求C的值；
(2) 若,求的面积。
20.（本小题满分12分）如图，已知三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分别为CC1，BC的中点，点P为直线A1B1上一点，且满足，
（1）λ=时，求直线PN与平面ABC所成角θ的正弦值
（2）若平面PMN与平面ABC所成锐二面角为450，求λ的值．
21.（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=+1（n≥2）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜．
22.（本小题满分12分）已知椭圆的左焦点为，离心率为。
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设为坐标原点， 为直线上一点，过作的垂线交椭圆于，。当四边形是平行四边形时，求四边形的面积。
试卷答案
1.A 2.B 3.B
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，
则A1（1，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），C（0，1，0），
=（0，1，﹣1），=（1，0，1），=（0，1，0），
设平面A1B1CD的法向量=（x，y，z），
则，取x=1，则=（1，0，﹣1），
设直线A1B和平面A1B1CD所成的角为θ，
sinθ===， ∴θ=，
∴直线A1B和平面A1B1CD所成的角为． 故选：B．
4.A 【解答】解：∵当n为奇数时，
an+an+1=﹣（3n﹣2）+（3（n+1）﹣2）=3，
∴a1+a2+…+a20 =（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a19+a20） =3×10=30； 故选：A．
5.D 6.B【解答】解：∵各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为，
∴a4•a14=（2）2=8， ∴a7•a11=8， ∵a7＞0，a11＞0，
∴2a7+a11≥2=2=8． 故选B．
7.C【解答】解：
令，则t是区间（0，1]内的值，而=，
所以当n=1，即t=1时，an取最大值，使最接近的n的值为数列{an}中的最小项，
所以该数列既有最大项又有最小项． 故选C．
8.A 【解答】 解：根据题意画出示意图，设圆心为C，
切点P的坐标为P（x，y），则发现图中隐含
条件．|OP|2=|OC|2﹣|PC|2 ∵|OP|2=x2+y2，|OC|2=m2+4，|PC|2=r2=m2+1，
故点P的轨迹方程为x2+y2=3 故选A
9.B
【解答】解：∵A（3cosa，3sina，1），B（2cosb，2sinb，1），
∴=（3cosa﹣2cosb）2+（3sina﹣2sinb）2+（1﹣1）2
=9+4﹣12（cosacosb+sinasinb） =13﹣12cos（a﹣b）；
∵﹣1≤cos（a﹣b）≤1， ∴1≤13﹣12cos（a﹣b）≤25， ∴||的取值范围是[1，5]．
故选：B．
10.A
【解答】解：有序实数对（x，y）满足条件x≤y≤，表示的平面区域
如图阴影部分：令z=x+y，如图红色直线，
显然，z=x+y经过A时取得最小值，经过B时取得最大值．
A（﹣1，﹣1），B（，）． x+y∈[﹣2，]．故选：A．
11.C
12.C
【解答】解：当n=1时，S1=a1=﹣2，
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2﹣4n+1）﹣[（n﹣1）2﹣4（n﹣1）+1]=2n﹣5，
故an=，
据通项公式得a1＜a2＜0＜a3＜a4＜…＜a10
∴|a1|+|a2|+…+|a10| =﹣（a1+a2）+（a3+a4+…+a10） =S10﹣2S2
=102﹣4×10+1﹣2（﹣2﹣1） =67． 故选C．
13.②③④
试题分析：对应①，当得，曲线表示的是圆，①错；对应②，方程没有关于的一次项，故曲线不可能是抛物线，正确；对应③，若曲线为双曲线，
得或，③正确；对于④，曲线为焦点在轴上的椭圆，
，得，正确；正确的编号是①②③.
考点：圆锥曲线的判断.
14.【解答】解：设点A到平面A1BC的距离为h，则三棱锥的体积为
即
∴ ∴h=． 故答案为：．
15.【解答】解：an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2[1+2+…+（n﹣1）]+33=33+n2﹣n
所以
设f（n）=，令f′（n）=，
则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，
因为n∈N+，所以当n=5或6时f（n）有最小值．
又因为，， 所以的最小值为
16.
17.
18.【解答】解：（1）根据题意：底面半径为：r=，
∴S=2πr2+2πrh=3π；
（2）∵CO⊥平面ABB′A′
∴CO⊥AB′ ∴∠COO′=90°
∴异面直线AB′与CO所成的角是90°；
（3）∵CO⊥平面ABB′A′，
∴∠CA′O为直线A′C与平面ABB′A′所成的角，
∵CO=，A′C=，
∴sin∠CA′O==，
∴∠CA′O=arcsin．
19.略
20．【解答】解：（1）建立以A点为空间坐标系原点，AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），C1（ 0，1，1），M（0，1，），N（，，0）
λ=，P（，0，1），=（0，，﹣1）
平面ABC法向量为=（0，0，1），∴
（2）设P（λ，0，1），=（，﹣，﹣），=（﹣λ，，﹣1），
设平面PMN法向量为，则，
取
平面ABC法向量为（0，0，1），
∴，
∴．
21.【解答】（Ⅰ）解：当n=2时，2S2=3a2+1，解得a2=2，
当n=3时，2S3=4a3+1，解得a3=3．
当n≥3时，2Sn=（n+1）an+1，2Sn﹣1=nan﹣1+1，
以上两式相减，得2an=（n+1）an﹣nan﹣1，
∴，
∴=，
∴；
（Ⅱ）证明：bn==，
当n=1时，，
当n≥2时，，
∴．
∴Tn＜．
22.（Ⅰ）由题意可得，
解得c=2，a=，b=．
∴椭圆C的标准方程为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣2，0），
设T（﹣3，m），则直线TF的斜率，
∵TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x=my﹣2．
设P（x1，y1），Q（x2，y2）．
联立，化为（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，
△＞0，∴y1+y2=，y1y2=．
∴x1+x2=m（y1+y2）﹣4=．
∵四边形OPTQ是平行四边形，
∴，∴（x1，y1）=（﹣3﹣x2，m﹣y2），
∴，解得m=±1．
此时四边形OPTQ的面积S=═=2．
略