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- 2024-01-21 发布
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木里中学高2017级期中考试理科数学试卷
出题人：黄金华 审题人：高二数学组
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、单选题（共12题；共60分）
1.圆（x﹣2）2+（y+3）2=2的圆心和半径分别是（ ）
A. （﹣2，3），1 B. （2，﹣3），3 C. （﹣2，3）， D. （2，﹣3），
2.过点 且与直线 垂直的直线方程是（ ）
A. B. C. D.
3.光明中学有老教师25人，中年教师35人，青年教师45人，用分层抽样的方法抽取21人进行身体状况问卷调查，则抽到的中年教师人数为（ ）
A. B. C. D.
4.若 ，则 =（ ）
A. B. C. -
D. -
5.直线 与直线 平行，则两直线间的距离为（ ）
A. B. C. D.
6.执行如图所示的程序框图,如果输入的n是6,那么输出的P是( )
A. 120 B. 720 C. 1 440 D. 5 040
7.已知向量，满足=1, .=−1 ，则·(2-)=（ ）
A.4 B.3 C.2 D.0
8.记 为等差数列 的前n项和，若 ，则a5=（ ）
A. -12 B. -10 C. 10 D. 12
9.若变量 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
10.已知 ，函数 的最小值是 （ ）
A. 5 B. 4 C. 8 D. 6
11. 的内角 的对边分别为 ，若 的面积为 ，则 =( )
A. B. C. D.
12.若实数 满足 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D. 1
二、填空题（共4题；共20分）
13.若样本数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准差为
14.已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为 ，乙胜的概率为 ，则甲胜的概率为________．
15.如图茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，若乙的平均分是89，则污损的数字是________．
16.在 中， ， ， ，则 的面积等于________.
三、解答题（共6题；共70分）
17.(10分）已知向量 与 的夹角为 ，且 ， .
（1）计算： ；
（2）当 为何值时， .
18.（12分）已知直线过点 ，且在 轴上的截距为 ．
（I）求直线的方程；
（II）求直线被圆 所截得的弦长．
19.（12分）2017年高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此瓦房店市高级中学高三年级数学组特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷(文、理科试卷满分均为100分)，并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为 ， ，…， 分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于50分).
（1）求频率分布直方图中的 的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表，中位数请用分数表示)；
（2）若高三年级共有700名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数；
（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，试求最后一组中抽到多少人？
20.（12分）已知向量 ，设 ．
（1）求函数 的解析式及单调递增区间；
（2）在 中， 分别为内角 的对边，且 ，求 的面积．
21.（12分）已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ， ，求的前 项和 .
22.（12分）已知圆 的方程为 ，直线的方程为 ，点 在直线上，过点 作圆 的切线 ，切点为 .
（1）若点 的坐标为 ，求切线 的方程；
（2）求四边形 面积的最小值；
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】D
【考点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：∵圆的标准方程为（x﹣2）2+（y+3）2=2
∴圆的圆心坐标和半径长分别是（2，﹣3），
故答案为：D．
【分析】以（a，b）为圆心，r为半径的圆的标准方程为根据这一知识点即可解题.
2.【答案】C
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】与直线 垂直的直线的斜率为 ，有过点 ，
∴所求直线方程为：
即
故答案为：C
【分析】两条直线垂直，其斜率之积等于-1，再利用点斜式,即可得出答案。
3.【答案】C
【考点】分层抽样方法
【解析】【解答】由题意可得在每层中的抽取比例为 ，
所以抽到的中年教师的人数为 人。
故答案为：C。
【分析】利用分层抽样的方法得知每5个人中抽取一人，按照比例进行抽取，即可得出答案。
4.【答案】B
【考点】二倍角的余弦
【解析】【解答】
故答案为：B
【分析】由余弦倍角公式，转化为一倍角正弦.
5.【答案】B
【考点】两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：∵ 与 平行，
∴ ，
∴m=9.
将直线 化为2x+3y+4=0，
故其距离 .
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行时的位置关系解出m，再利用两平行线间的距离公求解即可得到答案。
6.【答案】B
【考点】赋值语句，程序框图
【解析】【解答】当k=2,P=2;
当k=3,P=2×3=6;
当k=4,P=6×4=24;
当k=5,P=24×5=120;
当k=6,P=120×6=720,循环结束.
故答案为：B.
【分析】首先将代入程序框图，结合赋值语句对P进行赋值，按照程序顺序进行下去，直到，即可得出答案。
7.【答案】B
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】 .故答案为：B
【分析】由已知代入运算即可。
8.【答案】B
【考点】等差数列的性质
【解析】【解答】解： 3S3=S2+S4⇒S3+3a3=a3+a4⇒9a2=5a2+a3⇒4a2=a3 ，又 a1=2 ，
∴d=-3.
则，故答案为：B。
【分析】由等差数列的的前n项和公式将条件列出关于公差d的方程,求出d,得到通项公式,再求值.
9.【答案】C
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】解：作出可行域如图所示：
作直线 ，再作一组平行于 的直线 ，当直线经过点 时， 取得最大值，由 得： ，所以点 的坐标为 ，所以 ，
故答案为：C．
【分析】解决线性规划问题时，先根据所给条件限定出符合条件的区间，然后画出直线方程 ,通过平行移动，找出交于y轴的最大值，即可得出答案。
10.【答案】B
【考点】基本不等式
【解析】【解答】由均值不等会死， ，当且仅当 时不等式取 ，故答案为：B。
【分析】根据题意由基本不等式即可求出最小值。
11.【答案】C
【考点】余弦定理的应用，三角形中的几何计算
【解析】【解答】
故答案为：C
【分析】由余弦定理和三角形的面积公式构建三角方程，即可求出C.
12.【答案】B
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由题意知点 在半圆 上，设过点(-1,0)的直线 ，当直线与半圆相切时，即 时， .
故答案为：B.
【分析】作出等式对应的平面区域，利用直线的斜率的几何意义进行求解即可．
二、填空题
13.【答案】16
14.【答案】
【考点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：∵甲、乙两人下棋，和棋的概率为 ，乙胜的概率为 ，
∴甲胜的概率为：p=1﹣ = ．
故答案为： ．
【分析】利用对立事件概率计算公式能求出甲胜的概率．
15.【答案】3
【考点】茎叶图
【解析】【解答】解：设污损的数字是x， ∵乙的平均分是89，
∴ =89，
解得x=3．
故答案为：3．
【分析】设污损的数字是x，由乙的平均分是89，利用茎叶图能求出结果．
16.【答案】
【考点】余弦定理的应用，三角形中的几何计算
【解析】【解答】设AB=c，在△ABC中，由余弦定理知AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，
即7=c2+4﹣2×2×c×cos60°，c2﹣2c﹣3=0，又c＞0，
∴c=3．
S△ABC= AB•BCsinB= BC•h，
可知S△ABC= ×3×2× = ．
故答案为： ．
【分析】先由余弦定理求出边c，再利用面积公式S△ABC= 即可.
三、解答题
17.【答案】（1）解：由已知得， .
∵ ，∴ .
∵ ，
∴
（2）解：∵ ，∴ ，
∴ ，
即 ，∴ .
即 时， 与 垂直
【考点】向量的模，数量积的坐标表达式，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）运用数量积坐标运算，以及向量模长计算公式得到答案。
（2）向量垂直时转化为数量积的关系进行求解。
18.【答案】解：(Ⅰ) 由题意可得直线的斜率为 ，所以直线的方程为 ，即 ．
(Ⅱ) 因为圆心 到的距离 ， 所以弦长为
【考点】斜率的计算公式，直线的斜截式方程，直线与圆相交的性质，直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】(1)先由两点求出斜率,再写出直线方程;
(2)由圆心到直线的距离,半径,弦长构成直角 三角形,.=求出弦长.
19.【答案】（1）解：由题意第4组的频率为 ，
故 .
所以可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为
（分）.
因为前两组的频率之和为 ，前三组的频率之和为 ，故中位数在第3组中.
设中位数为分，
则有 ，所以 ，
故所求的中位数为 (或写成 )分
（2）解：由(1)知，50名学生中成绩不低于70分的频率为 ，
所以估计高三年级700名学生中成绩不低于70分的人数为
（3）解：由(1)知，后三组中的人数分别为15,10,5，故这三组中所抽取的人数分别为3,2,1.记成绩在 这组的3名学生分别为 ， ， ，成绩在 这组的2名学生分别为 ， ，成绩在 这组的1名学生为 ，则从中任抽取3人的所有可能结果为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共20种.
其中后两组中没有人被抽到的可能结果为 ，只有1种，
故所求概率为
【考点】分层抽样方法，频率分布直方图，用样本的数字特征估计总体的数字特征，古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）由频率分布直方图中各小长方形面积之和为1可得x的值，并求得众数和平均数.
(2)由样本50名学生中成绩不低于70分的频率，可得总体中相应的人数.
(3)将所抽取的6人随机抽取3人的所有情况罗列出来后，找出符合题意的种数，即可得出结论.
20.【答案】（1）解:f（x）= sinxcosx+cos2x= sin2x+ cos2x+ = ．
, .得［－ ］ ．
所以函数的单调递增区间为［－ ］
（2）解:∵f（A）=sin（2A+ ）+ =1，∴sin（2A+ ）= ．
∵0＜A＜π，∴ ＜2A+ ＜ ，∴2A+ = ，即A= ．
由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA，∴1=4﹣3bc，∴bc=1．
∴ .
【考点】向量数乘的运算及其几何意义，三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象，余弦定理
【解析】【分析】（1）利用向量乘积的方法得到函数表达式，再把三角函数关系式通过恒等变换，将其变形成正弦型，再利用
即可得出答案。
（2）结合（1）函数表达式，求出A的度数，再通过余弦定理的转化得到bc，利用三角形面积公式,即可得出答案。
21.【答案】（1）解: .
（2）解:由（1），知 ，∴ .
又 ， ，
两式相减，得 ，
∴
【考点】数列的求和
【解析】【分析】（1）解决本题时，首先令n=1，求出;令，,得到的通项公式，即可得出答案。
（2）把（1）中的结果代入其中，分析知分子为等差数列，分母为等比数列。将其和乘以，利用错位相减的方法计算，即可得出答案。
22.【答案】（1）解：①当切线斜率不存在时，切线方程为 ；
②当切线斜率存在时，设切线方程为 ，
因为直线和圆相切，所以圆心 到切线的距离 ，解得 ，
所以切线方程为 ，即 .
故答案为：所求切线方程为 或
（2）解：四边形 的面积 ，
所以当 最小时，四边形 的面积 最小.
又 的最小值是圆心 到直线 的距离，
即 .
故答案为：四边形 的面积最小值是 .
【考点】点到直线的距离公式，圆的切线方程，圆系方程，直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）利用圆心到直线的距离相等求切线方程，注意直线存在的情况；
（2）先将四边形的面积表示为|PM|的函数式，通过求|PM|的最值得到四边形面积的最值；
