数学理（A）卷·2018届福建省莆田第六中学高二上学期期中考试（2016-11） 7页

莆田六中2016—2017年度上学期期中考 高二年理科数学试卷（A）‎ 数学试卷(A) 命题人：高二数学备课组 ‎（时间120分钟，满分150分）‎ 第Ⅰ卷（满分60分）‎ 一、 选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，每题只有一个正确答案，把答案填在答题卷相应的题号上.‎ ‎1．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系为(　 　)‎ A. 垂直 B. 平行 C. 斜交 D. 在内 ‎2．θ是任意实数，则方程x2＋y2 sinθ＝4的曲线不可能是 (　 　)‎ A．椭圆　　　 　　B．双曲线 C．抛物线 D．圆 ‎3．命题“x∈R，使”为假命题是命题“”的 ( )‎ ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．设是四面体，是的重心，是上的一点，且，若，则为( 　)‎ A. B. C. D.‎ ‎5．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是 (　 )‎ A．(－∞，0) B．(－12,0) C．(－3,0) D．(－60，－12)‎ ‎6．已知两定点F1(－1,0)、F2(1,0)，且|F‎1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹是( 　)‎ A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 ‎7．设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且,则“”是“”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分不必要条件 ‎8．设k>1，则关于x、y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是 ( 　 　)‎ A．长轴在y轴上的椭圆 B．长轴在x轴上的椭圆 C．实轴在y轴上的双曲线 D．实轴在x轴上的双曲线 ‎9．若抛物线y2＝2x上有两点A、B，且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为 (　 )‎ A. B. C.－ D. ‎10．在正方体中，分别为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．如图，正方体中，点在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则动点的轨迹是（ 　 ）的一部分.‎ A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线 ‎12．过双曲线的左焦点作圆的切线,切点为E, ‎ 延长FE交抛物线于点为坐标原点,若,则双曲线的离心率为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（满分90分）‎ 二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分共20分. 把答案填在答题卷相应的题号上.‎ ‎13．双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于______．‎ ‎14．已知矩形中，若面在边上取点，使则满足条件的点有两个时，的取值范围是__________. ‎ ‎15．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点为F1、F2，O为坐标原点，点P是椭圆上的一点，点M为PF1的中点，|OF1|＝2|OM|，且OM⊥PF1，则该椭圆的离心率为________．‎ ‎16．如图，正四面体的棱长都为1，为中点，则异面直线所成角的余弦值是 .‎ 三、解答题：本大题共有5小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 把解答写在答案卷相应的题号的方框内.‎ ‎17．（本小题满分12分）设命题:实数满足,其中;命题:实数满足且的必要不充分条件,求实数的取值范围.‎ B C D P A ‎18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD ‎，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAB是等边三角形．‎ ‎(1)求PC与AB所成角的余弦值；‎ ‎(2)求二面角B—AC—P的余弦值.‎ ‎ ‎ ‎19．（本小题满分14分）已知顶点在原点O，准线方程是y＝－1的抛物线与过点M(0,1)的直线l交于A，B两点，若直线OA和直线OB的斜率之和为1，‎ ‎(1)求出抛物线的标准方程；‎ ‎(2)求直线l的方程；‎ ‎(3)求直线l与抛物线相交弦AB的弦长．‎ ‎20．（本小题满分14分）已知，椭圆C经过点A，两个焦点为(－1,0)，(1,0)．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线的斜率AE与AF的斜率互为相反数，‎ 证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值． ‎ ‎21．（本小题满分16分）如图，平面平面，是等腰直角三角形，且，四边形是直角梯形，，，，、分别为、的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）能否在上找一点，使得？‎ 若能，请指出点的位置，并加以证明；若不能，请 说明理由．‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】 ‎ 莆田六中2016—2017年度上学期期中考 高二年理科数学试卷（A）答案 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题5分，共60分）．‎ ‎1．A 2．C 3．C 4．A 5．B 6．D 7．A 8．C 9．A 10． C 11． D 12．D ‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．或 14． 15．－1 16．‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演算步骤）‎ ‎17．解:设 ‎ ‎ 是的必要不充分条件,必要不充分条件, ‎ , ‎ 所以,又, ‎ 所以实数的取值范围是 ‎18．解：(1) 取AB中点E，则PE⊥AB ‎∵ 平面PAB⊥平面ABCD ∴ PE⊥平面ABCD 取CD中点F，连结EF 如图，建立空间直角坐标系E—xyz，则，，，‎ ‎，‎ B C D P A E F x y z 所以 ‎∴ 直线PC与AB所成角的余弦值为 ‎(2)‎ 平面APC的一个法向量 平面ABC的一个法向量 ‎∴ 二面角B—AC—P的余弦值为 ‎.‎ ‎19．解析：　(1)由题意可知抛物线焦点在y轴正半轴，设抛物线的标准方程为x2＝2py，由准线方程是y＝－1，可得p＝2，所以抛物线的标准方程为x2＝4y.‎ ‎(2)设直线l的方程为：y＝kx＋1， 代入抛物线的标准方程消y整理得 x2－4kx－4＝0.‎ 设A(x1， y1)，B(x2，y2)， 则＋＝1①‎ 因为y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1， 代入①，得2k＋(＋)＝1②‎ 因为x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，代入②得k＝1.‎ 所以直线l的方程为：y＝x＋1.‎ ‎(3)将直线方程与抛物线的标准方程联立得：， 消y整理得x2－4x－4＝0.‎ 因为x1＋x2＝4，x1x2＝－4，‎ 所以|AB|＝|x1－x2|＝＝8.‎ ‎20．（本小题满分14分）解析：　(1)由题意，知c＝1，可设椭圆方程为＋＝1‎ 因为A在椭圆上，所以＋＝1， 解得b2＝3，b2＝－(舍去)．‎ 所以椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(2)证明：设直线AE的方程为y＝k(x－1)＋，代入＋＝1，‎ 得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋42－12＝0.‎ 设E(xE，yE)，F(xF，yF)，因为点A在椭圆上，‎ 所以xE＝，yE＝kxE＋－k.‎ 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中－k代k，可得xF＝，yF＝－kxF＋＋k.所以直线EF的斜率kEF＝＝＝ 即直线EF的斜率为定值，其值为.‎ ‎21．（本小题满分16分）12、解：（Ⅰ）证明：取中点，连结、 ‎ ‎∵是中点，为中点，∴且，又且 ‎∴，，∴四边形是平行四边形， ‎ ‎∴， ‎ 又∵平面，平面∴． ‎ ‎（Ⅱ）∵，又∵面面， 面面，，‎ ‎∴面，∵，∴面， ‎ 如图，以为原点，分别以、为、轴，以过点且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系．‎ ‎∵∴各点坐标为：，，，，，‎ ‎∴，，，，， ‎ 设面的法向量，则由且可得：令，‎ 得：，．∴． ‎ 设直线和平面所成角为，‎ 则：．‎ ‎∴直线和平面所成角正弦值为． ‎ ‎（Ⅲ）（方法一）当是中点时，． ‎ 证明：取中点，连结、，∵，为中点，∴，‎ 又∵面面，面面，，∴平面， ‎ ‎∵是中点，为中点，∴， ‎ ‎∴． ‎ ‎（方法二）当是中点时，． ‎ ‎∵，又∵面面， 面面，∴面，‎ ‎∵，∴面，‎ 如图，以为原点，分别以、为、轴，以过点与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系．‎ ‎∵，∴各点坐标为：，，，，， ‎ ‎∴，，设，∴， ‎ ‎∵点在上，∴，即 ‎∴ ∴， ‎ ‎∵是面的一个法向量，∴,∴，解得 ． ‎ ‎∴ 即是线段的中点．∴当是中点时，．‎