安徽省江南十校2019届高三3月综合素质检测数学（理）答案 8页

第1页 共 8 页 2019 安徽省“江南十校”综合素质测试 数学（理科）解析及评分标准 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A C B D C C A B C B C 1. 答案 D 【解析】 { 2,2}A =− ,故选 D. 2. 答案 A 【解析】 | i | 1 2| | | | |1 i | 22 zz= = = =− ,故选 A. 3. 答案 C 【解析】标准方程为 2 1 2xy= ，故选 C. 4. 答案 B 【解析】由正弦定理知， sin sin 2 2 72cossin sin 3 BC CCC= = = ， 7cos ,3C= 2 5cos2 2cos 1 ,9CC = − = 故选 B. 5. 答案Ｄ 【解析】 1 2AB AD=， 2+ 3AE AB AD= ， BD AB AD= − + 2 1 2 2 1 1( + ) ( ) 13 2 3 3 2 6AE BD AB AD AB AD =  − + = − + −  = − ,故选 D. 6. 答案 C 【解析】 1 1 1 21= 2ABC A B CVL− 三棱柱 ,故选 C 7 .答案 C 【解析】由已知得， 2 4  = ， 1 1 2, ( ) cos( ).2 2 3f x x  = = + 故选 C. 8 .答案 A 【解析】由已知得 ( ) ( ), ( )f x f x y f x R− = − =且 在 上单调递增， 22(3log ) (log 1)f x f x  −由 可得 223log log 1xx− 2 1log 2x  − ，解得： 20.2x 故选 A. 9 .答案 B 【解析】记 (1,0)A ，则 22 2 4|| 2 bcPF a −== ， 22 1 4| | 2 2 bcPF aa += + = ， 1| | 1F A c=+， 2| | 1F A c=−，由角平分线性质得 211 22 | | | | 4 0 4| | | | PF F A c c cPF F A=  − =  = ， 或作 1AD PF⊥ 于 D ,由角平分线的对称性质知 1 1 1 2| | | | | | | | | | 2 4DF PF PD PF PF a= − = − = = ， 2| | | | 1AD AF c= = − ，在 1Rt ADF 中， 2 2 2 1 1 2| | 1,| | | | | |AF c AF AF AD= + = + ,解得 4c = 故 12 2 1 2 2 14| | | | 24.22PF F cS F F PF c −=  =  = 故选 B. 10 .答案 C 【解析】由已知， min min( ) ( )f x g x ，由已知可得 2 min( ) ( 1) ,f x k=+ min( ) 3gx = ， 2( 1) 3, 4 2 3,kk +    − 故选 C. 第2页 共 8 页 11 .答案 B 【解析】由已知得原几何体是由一个棱长为 2 的正方体挖去一个四分之一圆柱 及一个八分之一球体得到的组合体， 2 16 2 4 5 4 20 ,4 8 4S  =  − −  +  + = +表 故选 B. 12 .答案 C 【解析】前 44 组共含有数字： 44 (44 1) 1980 + = 个， 1980 44 (2019 1980) 2019 44 1975,S = − + − = − = 故选 C. 二、填空题 题号 13 14 15 16 答案 2 1− 240 57 13. 答案２ 【解析】 0, 2xy==时， min 3 0 2 2z =  + = 14. 答案 【解析】 22 sin cos 1 sin 4cos 4    =+ ， 2 tan 1 4 tan 4   =+ ， tan 2 = ，   1 23tan = tan ( ) 11123     − + − = = − + . 15. 答案 240 【解析】  66( ) = ( )x y z x y z+ + + + ，含 2z 的项为 2 4 2 26T C ( )x y z= +  ，所以形如 2abx y z 的项的系数之和为 24 6C 2 =240 . 16.答案 【解析】由已知动点 P 落在以 AB 为轴、底面半径为 21的圆柱的侧面上，该 侧面与三棱锥侧面 ACD 的交线为椭圆的一部分，设其与 AC 的交点为 ，此时 PB 最大，由 到 的距离为 可得 为 的中点，且 2cos ,5BAC=在 BAP 中，由余弦定理可得 22 28 5 2 8 5 575PB = + −    = . 三、解答题 17【解析】（1）由 1 2 3 2nna a a a b+ + + + = ① 2n  时， 1 2 3 1 12nna a a a b−−+ + + + = ② ① −②可得： 12( )n n na b b −=−( 2)n  ，∴ 3 3 22( ) 8a b b= − = ∵ 1 2, 0naa=，设{}na 公比为 q ，∴ 2 1 8aq = ，∴ 2q = …………………………3 分 ∴ 12 2 2nn na −=  = 第3页 共 8 页 ∴ 1 2 3 12(1 2 )2 2 2 2 2 2 212 n nn nb +−= + + + + = = −− ，∴ 21n nb =−.…………6 分 （2）证明：由已知： 11 1 2 1 1 (2 1)(2 1) 2 1 2 1 n n n n n n n nn ac bb ++ + = = = − − − − − . ………………9 分 ∴ 1 2 3 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n nnc c c c ++ + + + = − + − + + −− − − − − − 1 11121n+= − − ………………………………………………………………………………12 分 18 【解析】（1）∵ 2AB = ， 1 7AB= ， 1 60A AB=，由余弦定理： 2 2 2 1 1 1 12 cosA B AA AB AA AB A AB= + −   ，即 2 1 1 12 3 0 3AA AA AA− − =  = 或 1− ， 故 1 3AA = .………2 分 取 BC 中点O ，连接 1,OA OA ，∵ ABC 是边长为 2 的正三角形， ∴ AO BC⊥ ，且 3AO = ， 1BO = ， 由 11A AB A AC   得到 11 7A B AC==，故 1A O BC⊥ ， 且 1 6AO= ， ∵ 2 2 2 11AO AO AA+=，∴ 1AO AO⊥ ，…………………4 分 又 BC AO O= ,故 1AO⊥ 平面 ABC ，∵ 1AO 平面 1A BC ， ∴平面 1A BC ⊥ 平面 ABC . ………………………………………6 分 （2）解法一：以O 为原点，OB 所在的直线为 x 轴，取 11BC 中点 K ，以 OK 所在的直线为 y 轴，过 作 1OG AA⊥ ，以 OG 所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系. 则 1 1 1(1,0,0), (1,3,0), ( 1,3,0), (0,2, 2),B B C A− 1 1 1( 2,3,0), (0,3,0), ( 1,2, 2)BC BB BA = − = = − ……………………………………………8 分 设平面 11ABB A 的一个法向量为 ( , ,1)m x y= ，则 1 1 30 2 ( 2,0,1) 02 2 0 m BB y x m ym BA x y   = =  =  == = − + + =  设所求角为 ，则 1 1 ||2 2 2 78sin .39| || | 13 3 BC m BC m  = = = …………………………………………………12 分 A O A1 C1 B1B C A G K z y x C O A1 C1 B1 B 第4页 共 8 页 解法二：以O 为原点，OB 所在的直线为 x 轴，以 1OA 所在的直线为 y 轴，以OA 所在的直线 为 z 轴建立空间直角坐标系.则 1(1,0,0), (0,0, 3), (0, 6,0), (1,0,0)B A A C ，设 1( , , )C x y z ，由 11=C A CA可得 1( 1, 6, 3)C −−， 11( 2, 6, 3), (1,0, 3), ( 1, 6,0)BC AB BA = − − = − = − ……………………8 分 设平面 11ABB A 的一个法向量为 ( , , )m x y z= ，则 1 130, 6 ( 6,1, 2) 260 ym AB x z xm zm BA x y  = = − ==   == = − + =  取 设所求角为 ，则 1 1 ||2 6 2 78sin .39| || | 13 3 BC m BC m  = = =  …………………………………………………12 分 解法三：由（1） 11 1 1 1 1 23 3 2C ABA AOAV BCS BC AO AO− = =     = 设 C 到平面 11ABB A 的距离为 h ，则由 1 1 1//CC ABB A面 知 1C 到平面 的距离也为 ，则 11 1 1 1 1 2 6sin 60 23 3 2 3C ABA ABAV hS h AB A A h− == =      =  = ………………………………9 分 设所求角为 ，则 1 2 6 2 78sin .3913 3 h BC = = =  ………………………………………………………12 分 19【解析】（1）由数据可知，2012，2013，2016，2017，2018 五个年份考核优秀，故 的所 有可能取值为 0 1 2 3，，，. 03 53 3 8 1( 0) 56 CCP C = = = ， 12 53 3 8 15( 1) ,56 CCP C = = = 2 1 3 0 5 3 5 3 33 88 30 10( 2) , ( 3)56 56 C C C CPPCC= = = = = = ………………………………………………………………4 分 故 的分布列为：  0 1 2 3 P 1 56 15 56 15 28 5 28 所求 1 15 15 5 150 1 2 3 .56 56 28 28 8E =  +  +  +  = ………………………………………………………………6 分 第5页 共 8 页 （2）解法一： 8 8 8 22 2 2 1 1 1 ( ) 72 ( ) 8 360i i i i i i x x x x x x = = = − =  = − +  =   8 8 8 1 1 1 ( )( ) 34.5 ( )( ) 8 226.5i i i i i i i i i x x y y x y x x y y x y = = = − − =  = − − +   =   故去掉 2015 年的数据之后 6 8 6 4 8 3 296,7 7 7xy −  −= = = = 22 2 2 2 55 ( ) 7 360 6 7 6 72ii ii x x x x  − = − = − −  = 55 29( )( ) 7 226.5 6 3 7 6 34.57i i i i ii x x y y x y xy  − − = − = −  −   = …………………………9 分 所以 ^ 34.5 0.4872b =， ^^29 34.5 6 1.277 72a y b x= −  = −   从而回归方程为： ^ 0.48 +1.27.yx= …………………………………………………………………………12 分 解法二： 因为 6 6xx==，所以去掉 2015 年的数据后不影响 ^ b 的值， 所以 ， …………………………………………………………………………9 分 而去掉 2015 年的数据之后 ， 从而回归方程为： …………………………………………………………………………12 分 注： 若有学生在计算 ^ a 时用 ^ 0.48b  计算得 ^^29 0.48 6 1.267a y b x= −  = −   也算对。 20【解析】(1)设椭圆C 的标准方程为 22 221( 0)xy abab+ =   由题意得 22 5 3 24 ab a b  − =  = ，解得 3 2 a b =  = 椭圆 的标准方程为 22 194 xy+=………………4 分 (2)解法一：设 : ( 2 2)l y t t= −   且 0t  ， 1( , )E x t ， 2( , )F x t ， 130x， 2 0rx 设 (0, )Ms， A E M、 、 共线 ， AM AEkk= 1 00 0 ( 3) ( 3) st x −−=− − − − ， 1 3 3 ts x= + ，得 1 3(0, )3 tM x + ，同理得 1 3N(0, )3 t x− …………8 分 22 11 33( , t) ( , )33 ttFM FN x x txx = − −  − −+− 22 2 11 33( 1)( 1)33xtxx= + − −+− 22 2 2 2 211 2222 1 4 99 xxx t x txt= − = − − 2 2 2 2 2 22 49(9 ) 4 494 tx x t r= − − = + − = − 第6页 共 8 页 12 16FM FN   212 4 16 4 2 5rr  −     ……………………12 分 解法二：设 1 1 2 2: 3( 0), ( , ), ( , )AE x my m E x y F x y= −  ,联立 22 3 194 x my xy =− += 得： 22(4 9) 24 0m y my+ − = , 2 1 1122 1 24 12 27 4,,4 9 4 9 3 9BE ymmy x k mm m x − = =  = = −+ + − 4: ( 3)9BN y m x = − − ，令 0x = 得 12(0, )9 mN 又由 : 3( 0)AE x my m= −  ，令 得 3(0, )M m …………………………………………8 分 又 //lx轴， 21 2 24 49 myy m = = + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 12 3 12(0 , ) (0 , ) ( ) 4 499 mmFM FN x y x y x y y rmm  = − −  − − = + − + + = − 12 16FM FN   212 4 16r  −  4 2 5r   ……………………………………………………………………………………………………12 分 21【解析】（1）证明： 1m = 时， 1( ) lnf x xx=+ 22 1 1 1'( ) ( )xf x f xx x x −= − + =  在(0,1]上递减，在[， 1,2)上递增 ， min( ) (1) 1, ( ) 1.f x f f x = =   …………………………………………………………………4 分 （2）当 0m = 时， ( ) ln , (0,2)f x x x=，明显不满足要求； 当 0m  时，设切点为 00( , ( ))x f x （显然 0 1x  ），则有 0 0 0 ()'( ) 1 fxfx x= − ， 0 00 2 00 ln 1 mxx m x xx +−=− ，整理得 0 2 00 21ln 1 0mmx xx ++ − − = （*） 由题意，要求方程（*）在区间 (0,2) 上有两个不同的实数解. 令 2 21( ) ln 1mmg x x xx += + − − ， 3 ( 2 )( 1)'( ) x m xgx x −−= ……………………………………6 分 ①当 21m  即 1 2m  时， ()gx在(0,1) 上单调递增，在 (1,2) 上单调递减或先单调递减再递增， 而 1( ) ( e 1)(2 e) 0egm= − −  ， (1) 0gm=， 3 2 1(2) ln 2 1 ln 2 048 mg += + −  −  ， 1(2 ) ln 2 04g m m m= +  ， ()gx 在区间 上有唯一零点，在区间 上无零点， 所以此时不满足题要求.………………………………………………………………………………………………8 分 第7页 共 8 页 ②当 0 2 1m即 10 2m时， ()gx在 (0,2 )m 上单调递增，在 (2 ,1)m 上单调递减，在(1,2) 上 单调递增， (2 1 )( ) ln 1 0, (1) 0,m m m e eg g me e m +−= + −  =  ()gx 在区间( )2,0 上有唯一零点，所以此时不满足题要求.………………………10 分 ③当 0m 时， 在 ( )1,0 上单调递减，在 上单调递增， 0)2)(1()1( −−= emeeg ， 0)1( = mg ， 4 232ln)2( −+= mg 当 0)2( g 即 3 2ln42 −m 时， 在区间(0,2) 上有唯一零点，此时不满足题要求. 当 0)2( g 即 03 2ln42 − m 时， 在区间(0,1) 和 上各有一个零点， 设为 21, xx ，又这时 22 1)( x m xx mxxf −=−= 显然在区间 上单调递减， )()( 21 xfxf  所以此时满足题目要求. 综上所述， m 的取值范围是 2 4ln 2 03 m− .…………………………………………………………12 分 （2）解法二：设切点为 00 0 ( , ln )mxxx + ，由解法一的关于 0x 的方程 0 0 2 00 (2 1)1 ln 1 0xmxxx −+ − + = 在区间内 (0,2) 有两解,显然 1 2 不是方程的解， 故原问题等价于 22ln 12 x x x xm x +−= − 在区间内 有两解.……………………………………6 分 设 22ln (1 ln ) 1( ) ,0 2, .1 2 1 2 2 x x x x x x x xg x x xxx + − + −= =   −− 则 2 1(1 )( 2ln ) 1'( ) ,0 2, .(1 2 ) 2 x x xxg x x xx −+ =   − 令 1( ) 2ln ,0 2h x x xx= +   ，则 22 1 2 2 1'( ) ,xhx x x x −= − + = 故 min 1 1 1(0, ), '( ) 0, ( ,2), '( ) 0 ( ) ( ) ( ) 2 ln 4 02 2 2x h x x h x h x h x h      = = −  故 11(0, ),( ,1), '( ) 0, (1,2), '( ) 022x g x x g x    从而 11(0, ),( ,1), ( ) , (1,2), ( )22x g x x g x递增 递减， 令 ( )=1 ln ,0 2t x x x x x+ −   ， '( ) ln ,t x x= (0,1) '( ) 0, (1,2) '( ) 0x t x x t x   由于 时 时 第8页 共 8 页 min( ) ( ) (1) 0t x t x t  = = 故 11(0, ), ( ) 0, ( ,2), ( ) 022x g x x g x    ……………………………10 分 而 11( ,2) , ( ) (1) 0, ( )22x g x g x g x  = → → −时 时, 故 22ln 12 x x x xm x +−= − 在区间内 (0,2) 有两解 (2) 0gm   ， 解得 2 4ln 2 03 m− . ………………………………………………………………12 分 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。 22【解析】（1） 1 :C 22( 1) ( 4) 10xy− + − = ， 2 :C 5x = .……………………………………5 分 （2）由（1） (5, )Pn，过 P 作曲线 1C 的两条切线，切点分别记为 ,MN， 由题， 90MPN，故 1 45MPC， 即 1 1 1 ||2sin | | 2 MCMPC PC =  ，即 22 11| | 2 | |PC MC ，…………………………………8 分 ∴ 2 2 2(5 1) ( 4) 2 10 8 12 0n n n− + −    − +  ， 故 26n.………………………………………………………………………………10 分 （其他正确解答酌情给分） 23【解析】（1）由题：| 2 1| 2 | 1| 4xx− + +  ， 当 1x − 时，1 2 2 2 4xx− − −  ，∴ 5 4x − ， 当 11 2x−   时，1 2 2 2 4xx− + +  ，无解， 当 1 2x  时， 2 1 2 2 4xx− + +  ，∴ 3 4x  ， 综上： ()fx的定义域为 53( , ) ( , )44− − + .……………………………………………5 分 （2）由题：| 2 1| 2 | 1|x x a− + +  恒成立. ∵| 2 1| 2 | 1| | 2 1| | 2 2 | | (2 1) (2 2) | 3x x x x x x− + + = − + +  − − + = ， 故 3a  . …………………………………………………………………………………10 分