- 1.36 MB
- 2024-01-20 发布
www.ks5u.com
高一数学
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.如果，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据元素与集合,集合与集合之间的关系与符号判断即可.
【详解】因为.
所以对于A,B ,,
对于C,
故选：D.
【点睛】本题主要考查元素与集合,集合与集合间的基本关系,属于基础题型.
2.下列四组函数，两个函数相同的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相同函数满足的条件,定义域与对应关系和值域相同逐个判断即可.
【详解】对A, ,,故不相同
对B, ,,定义域均为,故相同
对C, 定义域为,定义域为,故不相同
对D, ,,故不相同
故选：B.
【点睛】本题主要考查了判断函数是否相同的方法,包括定义域、对应关系与值域.
属于基础题型.
3.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的函数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分别根据对应的函数性质判断即可.
【详解】对A, 定义域为且为奇函数,在上单调递增,故满足
对B, 不是奇函数,故不满足
对C, 为偶函数,故不满足
对D, 在上单调递减,故不满足
故选：A
【点睛】本题主要考查常见函数的定义域与奇偶性单调性,属于基础题型.
4.已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
利用指数函数图像和对数函数图像的性质，判断三个数与0，1的大小，即可得结果．
【详解】由于0＜＜1，=9，＜0，
则a，b，c的大小关系是 c＜a＜b，
故选：D．
【点睛】本题主要考查幂函数、指数函数、对数函数的单调性的应用，属于基础题．
5.函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据根号下大于等于0, 分母不为0, 对数函数中真数大于0进行列式求解即可.
【详解】由题意,
故选：B
【点睛】常见定义域：(1)根号下大于等于0；(2)分母不为0；(3)对数函数中真数大于0.属于简单题型.
6.已知函数，则的值是（ ）
A. -3 B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由,代入分段函数对应的中进行计算,再计算即可.
【详解】
故选：C
【点睛】本题主要考查分段函数的函数值计算,属于基础题型.
7.函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊值判断即可．
【详解】解：函数是奇函数，排除A，B，
当时，，排除C，
故选：D．
【点睛】本题考查函数的图象的判断，其中函数的奇偶性以及特殊点、变化趋势，往往是解答函数图象的有效方法．
8.已知在区间上有最大值5，那么在上的最小值为（ ）
A. 5 B. 1 C. 3 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
中为奇函数,故分析的对称点,再根据对称性判断即可.
【详解】因为中为奇函数关于对称,
故关于对称,
又在区间上有最大值5,故在上的最小值为
故选：B
【点睛】本题主要考查奇函数的对称性与运用,属于基础题型.
9.设函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由单调性可知，f（x）在R上单调递增，所以根据函数的单调性列出关系式，即可求得x的解集.
【详解】解：由单调性可知，f（x）在R上单调递增，所以若，则有，解得：
故答案为：A.
【点睛】本题考查根据函数的单调性求解的问题，属于基础题.
10.设，若表示不超过的最大整数，则函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简分析的值域,再分析的值域即可.
【详解】,因为,故,故
故,由表示不超过的最大整数知或0
故选：A
【点睛】本题主要考查函数的值域求解以及取整函数的值域等.属于基础题型.
二、填空题（本大题共7个小题，每小题5分，共35分，请把正确答案填在题中横线上）
11.已知幂函数的图象过点，则______.
【答案】3
【解析】
【分析】
由幂函数知,再代入求即可.
【详解】因为幂函数,故,即过,故
故
故答案为：3
【点睛】本题主要考查幂函数的定义域运算,属于基础题型.
12.设全集，集合，，_____.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出集合再根据集合的基本运算分别求解再求交集即可.
【详解】因为集合,故中,
故.
故,
故
故答案为：
【点睛】本题主要考查集合间的基本运算,属于基础题型.
13.已知，且，则实数等于_________．
【答案】
【解析】
【分析】
换元令,再求解的表达式,进而根据求即可.
【详解】令,则,
因为,则,即
又故,解得
故答案为：
【点睛】本题主要考查函数解析式问题,重点是换元反解方法,属于基础题型.
14.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则____.
【答案】-1
【解析】
【分析】
根据奇函数的性质,再代入计算即可.
【详解】因为函数是定义在上奇函数,故,
又当时,,故
故答案为：-1
【点睛】本题主要考查奇函数的应用,属于基础题型.
15.若函数，则此函数必过定点______．
【答案】
【解析】
【分析】
令中指数为0即可算得定点.
【详解】令则,此时,故过定点
故答案为：
【点睛】本题主要考查指数函数的定点问题,令指数等于0即可,属于基础题型.
16.已知是上增函数，则实数的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据是上的增函数,根据一次函数单调递增则斜率大于0,指数函数中底数大于1,分段处时满足增函数定义分别列式求解即可.
【详解】由是上的增函数可得
故
故答案为：
【点睛】本题主要考查分段函数的单调性,需要注意分段单调递增,
且在区间分段处也要满足递增的性质,属于基础题型.
17.关于函数有以下4个结论：其中正确的有__________.
①定义域为； ②递增区间为；
③最小值为1； ④图象恒在轴的下方.
【答案】①②③
【解析】
【分析】
对①分析是否恒成立即可.
对②根据为增函数,分析的增区间即可.
对③先求的最小值,进而得出的最小值即可.
对④,判断是否恒为负数即可.
【详解】对①,因为恒成立,故定义域为,
故①正确
对②,因为为增函数,且对称轴为,
故递增区间为成立. 故②正确
对③, ,
故最小值为1. 故③正确
对④,因为最小值为1,所以图象恒在轴的上方.故④错误.
故答案为：①②③
【点睛】本题主要考查对数与二次函数复合函数的问题,需要注意对数的定义域与同增异减判断单调性的方法等.属于基础题型.
三、解答题（本大题共5个小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
18.已知集合，集合.
（1）求；
（2）若集合，且，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先解分式不等式得集合B,再根据交集定义得结果，（2）先根据条件得，按是否为空集分类讨论，再结合数轴得不等式，解得结果.
【详解】（1），
（2）由可得
若，则，即
若，则，即，
综上所述，
点睛】本题考查分式不等式以及交集，考查基本分析求解能力，属基础题.
19.已知二次函数满足，且对于任意恒有.
（1）求的解析式；
（2）求函数在区间上的最大值.
【答案】(1)；(2)①当时,最大值为,
②当时,最大值为.
【解析】
【分析】
(1)由二次函数,故可以直接设,再根据
进行求解即可.
(2)由(1)有,故函数图像与区间
的位置关系再进行分类讨论求解最大值即可.
【详解】（1）因为,,设函数,
,
故,,所以.
（2）①当时,最大值为,
②当时,最大值为.
故①当时,最大值为,
②当时,最大值为.
【点睛】本题主要考查二次函数的解析式求解,利用待定系数法与题中所给的信息列式求解,找出对应的系数求解方程组即可.同时也考查了二次函数的最值问题,数形结合再分类讨论即可.属于中等题型.
20.设函数的定义域为．
（1）若，求的取值范围；
（2）求的最大值与最小值，并求出最值时对应的的值．
【答案】（1）；（2），最小值，，最大值 .
【解析】
试题分析：（1）根据定义域为，利用对数函数的单调性确定函数的取值范围；（2）根据对数的运算法则化简函数利用换元法将函数转化为关于的一元二次函数，利用二次函数的性质求函数的最值.
试题解析：（1）取值范围为区间
（2）记．
∵在区间是减函数，在区间是增函数
∴当即时，有最小值；
当即时，有最大值．
21.已知函数.
（1）判断函数的单调性并给出证明；
（2）若函数是奇函数，则，当时恒成立，求的最大值.
【答案】（1）在定义域上单调递增，见解析；（2）最大值是
【解析】
【分析】
(1)设,再计算的正负即可.
(2)利用是奇函数求解参数,再利用恒成立问题参变分离求解的最大值即可.
【详解】（1）不论为何实数,在定义域上单调递增.
证明：设,则,,
由,∴,所以,,,
所以,所以由定义可知,不论为何实数,在定义域上单调递增.
（2）∵是上的奇函数,∴,即故.
由条件可得：,即
即恒成立,
∴的最小值,
设,因为,故,又函数在上单调递增,所以的最小值是,
所以,即的最大值是.
【点睛】本题主要考查单调性的证明以及参变分离求最值解决恒成立的问题等,属于中等题型.
22.设函数的定义域为（﹣3，3），满足，且对任意，都有当时，，．
（1）求的值；
（2）判断的单调性，并证明；
（3）若函数求不等式的解集．
【答案】（1）-4（2）单调递减（3）（0，2]．
【解析】
试题分析：（1）通过赋值法，令x＝2，y＝1代入即得；
（2）利用单调性定义证明即可；
（3）由奇函数条件得到f(x－1)≤f(2x－3)，结合单调性和定义即可解得.
试题解析：
(1)在f(x)－f(y)＝f(x－y)中，
令x＝2，y＝1，代入得：f(2)－f(1)＝f(1)，所以f(2)＝2f(1)＝－4.
(2)f(x)在(－3,3)上单调递减．证明如下：
设－30，
即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(－3,3)上单调递减．
(3)由g(x)≤0得f(x－1)＋f(3－2x)≤0，
所以f(x－1)≤－f(3－2x)．
又f(x)满足f(－x)＝－f(x)，
所以f(x－1)≤f(2x－3)，
又f(x)在(－3,3)上单调递减，
所以解得0