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- 2024-01-20 发布
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1．已知等差数列满足， ．
（1）求数列的通项公式；
（2）设（），数列的前项和为，求使的最小正整数．
【答案】（1）（）；（2）5
（2）由（1）知 ，
所以， ，
令，解得，因为，所以，故使的最小正整数为5.
2．如图，在多面体中，四边形是正方形，是等边三角形，．
（I）求证：；
（II）求多面体的体积.
【答案】（I）见解析；（II）.
试题解析：
（Ⅰ）取中点，连，
∥
∥，∥
四边形是平行四边形
∥，∥
又平面，平面
∥平面
（Ⅱ）在正方形中，，又是等边三角形，所以，
所以
于是
又，平面，
又，平面
于是多面体是由直三棱柱和四棱锥组成的.
又直三棱柱的体积为，
四棱锥的体积为，
故多面体的体积为.
3．某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据，如下表所示：
已知变量具有线性负相关关系，且， ，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归直线方程分别为：甲；乙；丙，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.
（1）试判断谁的计算结果正确？并求出的值；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取2个，求这两个检测数据均为“理想数据”的概率.
【答案】（1）,（2）.
试题解析：（1）因为变量具有线性负相关关系，所以甲是错误的.
又易得，满足方程，故乙是正确的.由条件可得
（2）由计算可得“理想数据”有个，即.
从检测数据中随机抽取个，共有种不同的情形，
其中这两个检测数据均为“理想数据”有种情形.
故所求概率为.
4．以边长为的正三角形的顶点为坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，过抛物线的焦点的直线过交拋物线于两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）求证： 为定值；
（3）求线段的中点的轨迹方程.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）
试题解析：
（1）因为正三角形和抛物线都是轴对称图形，且三角形的一个顶点扣抛物线的顶点重合，所以，三角形的顶点关于轴对称，如图所示.
由可得，
∵，∴.
∴抛物线的方程为.
5．设函数 .若曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）.
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是;（2）
【解析】试题分析：（1）由函数的解析式得其定义域为.. 因为曲线在点处的切线方程为，所以,,联立可得解方程组可得. 所以， .分别解不等式与，可得单调递减与递增区间。（2）不等式恒成立即不等式恒成立，构造函数，因为，所以对任意，不等式恒成立.考虑函数的单调性。因为。
当时，对任意恒成立，此时函数单调递增.于是，不等式对任意恒成立，不符合题意；当函数为减函数时，
试题解析：解：（1）函数的定义域为.
.
依题意得， ，即
所以.
所以， .
当时， ；当时， .
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
（2）设函数，故对任意，不等式恒成立.
又，当，即恒成立时，
函数单调递减，设，则，
所以，即，符合题意；
当时， 恒成立，此时函数单调递增.
于是，不等式对任意恒成立，不符合题意；
当时，设，
【点睛】1、求函数的单调区间，可求导，令导函数大于、小于0，再结合定义域，可得单调区间；2、不等式的恒成立问题，一种方法可以分离参数，转化为函数的最值问题，另一种方法构造函数，求函数的最值。3、判断函数的单调性时，可以求导，导函数正负不容易判断时，有时可以构造函数，二次求导。
6．选修4-4: 坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上．
(1) 若直线与曲线交于两点，求的值；
(2) 求曲线的内接矩形的周长的最大值．
【答案】(1)2(2)16
【解析】试题分析：(1)先写出曲线的直角坐标系方程为: ，与直线的参数方程联立，利用韦达定理即得解，（2）设，得出周长
，化一后即得解.
7．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
试题解析：解：（1）当时，无解；
当时， ；
当时， .
综上， .
（2）函数的最小值为， ，所以.
