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- 2024-01-19 发布
2月21理科数学答案
1．(2018·河南商丘检测)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是( D )
A．74 B．121
C．－74 D．－121
解析展开式中含x3的项的系数为
C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＝－121.
2．(2018·安徽安庆二模)将3展开后，常数项是__－160__.
解析3＝6展开后的通项是
C()6－k·k＝(－2)k·C()6－2k.
令6－2k＝0，得k＝3.所以常数项是C(－2)3＝－160.
3．(2018·广东广州综合测试)已知n的展开式的常数项是第7项，则正整数n的值为__8__.
解析二项式n的展开式的通项是
Tr＋1＝C·(2x3)n－r·r＝C·2n－r·(－1)r·x3n－4r，
依题意，有3n－4×6＝0，得n＝8.
4．C＋3C＋5C＋…＋(2n＋1)C＝__(n＋1)·2n__.
解析设S＝C＋3C＋5C＋…＋(2n－1)·C＋(2n＋1)C，
∴S＝(2n＋1)C＋(2n－1)C＋…＋3C＋C，
∴2S＝2(n＋1)(C＋C＋C＋…＋C)＝2(n＋1)·2n，
∴S＝(n＋1)·2n.
易错点 不能灵活使用公式及其变形
错因分析：选择的公式不合适，造成解题错误．
【例1】 求5展开式中常数项．
解析x－3＋－＝＝，
∴原式＝(x－1)15，则常数项为C(－1)5＝－3 003.
【例2】 求9192被100除所得的余数．
解析(90＋1)92＝C·9092＋C·9091＋…＋C·902＋C·90＋C，前91项均能被100整数，剩下两项和为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为81.
【跟踪训练1】 (x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( C )
A．10 B．20
C．30 D．60
解析(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.
所以x5y2的系数为CC＝30.
课时达标 第56讲
[解密考纲]对二项式定理的考查主要涉及利用通项公式求展开式、特定项或参数值，利用二项式的性质求多项式的二项式系数、各项系数的和，一般以选择题、填空题的形式出现．
一、选择题
1．二项式10的展开式中的常数项是( A )
A．180 B．90
C．45 D．360
解析10的展开式的通项为Tk＋1＝C·()10－k·k＝2kCx5－k，令5－k＝0，得k＝2，故常数项为22C＝180.
2．设n为正整数，2n展开式中存在常数项，则n的一个可能取值为( B )
A．16 B．10
C．4 D．2
解析2n展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx2n－k·k＝C(－1)kx，令＝0，得k＝，依据选项知n可取10.
3.6的展开式的第二项的系数为－，则x2dx的值为( B )
A．3 B．
C．3或 D．3或－
解析该二项展开式的第二项的系数为Ca5，由Ca5＝－，解得a＝－1，因此x2dx＝|＝－＋＝.
4．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝( D )
A．－5 B．5
C．90 D．180
解析∵(1＋x)10＝[2－(1－x)]10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，∴a8＝C·22·(－1)8＝180，故选D．
5．若(＋)5展开式的第三项为10，则y关于x的函数图象的大致形状为( D )
解析(＋)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cxy，则T3＝Cxy＝10，即xy＝1，由题意知x≥0，故D选项的图象符合．
6．在(2x＋xlg x)8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1 120，则x＝( C )
A．1 B．
C．1或 D．－1
解析二项式系数最大的项为第5项，由题意可知T5＝C(2x)4·(xlg x)4＝1 120，∴x4(1＋lg x)＝1，两边取对数可知lg2x＋lg x＝0，得lg x＝0或lg x＝－1，故x＝1或x＝.
二、填空题
7．(2017·浙江卷)已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝__16__，a5＝__4__.
解析由题意知a4为展开式含x的项的系数，根据二项式定理得a4＝C×12×C×22＋C×13×C×2＝16，a5是常数项，所以a5＝C×13×C×22＝4.
8．(2016·全国卷Ⅰ)(2x＋)5的展开式中，含x3项的系数是__10__(用数字填写答案)．
解析由(2x＋)5得Tr＋1＝C(2x)5－r()r＝25－rCx5－，
令5－＝3得r＝4，此时系数为10.
9．若二项式n的展开式中的常数项是80，则该展开式的二项式系数之和等于__32__.
解析对于Tr＋1＝C()n－rr＝C2rx－，当r＝n时展开式为常数项，因此n为5的倍数，不妨设n＝5m，则有r＝3m，则23mC＝80，因此m＝1，则该展开式中的二项式系数之和等于2n＝25＝32.
三、解答题
10．已知在n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
解析(1)依题意知n的展开式的通项为Tr＋1＝C()n－rr＝rCx，
又第6项为常数项，则当r＝5时，＝0，即＝0，
解得n＝10.
(2)由(1)得Tr＋1＝rCx，令＝2，解得r＝2，
故含x2的项的系数为2C＝.
(3)若Tr＋1为有理项，则有∈Z，且0≤r≤10，r∈Z，
故r＝2,5,8，
则展开式中的有理项分别为
T3＝C2x2＝x2，
T6＝C5＝－，
T9＝C8x－2＝x－2.
11．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
解析令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②
(1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.
(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.
(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093.
(4)∵(1－2x)7展开式中a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.
12．已知，求：
(1)展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．
解析(1)∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0.
∴n＝7或n＝14，
当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.
∴T4的系数为C423＝，T5的系数为C324＝70，
当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.
∴T8的系数为C727＝3 432.
(2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0.
∴n＝12或n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大，
∵12＝12(1＋4x)12，
∴∴9.4≤k≤10.4，∵k∈N，∴k＝10.
∴展开式中系数最大的项为T11，
T11＝C·2·210·x10＝16 896x10.