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- 2024-01-19 发布
2017-2018学年甘肃省武威十八中高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（每小题5分，共计60分）
1．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．2 B． C． D．
2．（5分）过椭圆4x2+2y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一焦点F2构成△ABF2，那么△ABF2的周长是（ ）
A．2 B． C． D．1
3．（5分）某中学高一年级560人，高二年级540人，高三年级520人，用分层抽样的方法抽取容量为81的样本，则在高一、高二、高三三个年级抽取的人数分别是（ ）
A．28、27、26 B．28、26、24 C．26、27、28 D．27、26、25
4．（5分）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列互斥但不对立的两个事件是（ ）
A．“至少1名男生”与“全是女生”
B．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”
C．“至少1名男生”与“全是男生”
D．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”
6．（5分）我校有3个不同的文艺社团，甲、乙两名同学各自参加其中1个文艺社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个文艺社团的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（ ）
A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e
9．（5分）某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名同学参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x+y的值为（ ）
A．7 B．10 C．9 D．8
10．（5分）甲、乙、丙三人随意坐下，乙不坐中间的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（ ）
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5
A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.5
12．（5分）抛物线y=4x2的准线方程是（ ）
A．x=1 B．x=﹣ C．y=﹣1 D．y=﹣
二、填空题（每小题5分，共计20分）
13．（5分）已知甲、乙、丙3类产品共1200件，且甲、乙、丙三类产品的数量之比为3：4：5，现采用分层抽样的方法抽取60件，则乙类产品抽取的件数是 ．
14．（5分）二进制110011（2）化成十进制数为 ．
15．（5分）以双曲线﹣=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是 ．
16．（5分）用辗转相除法或更相减损术求得8251与6105的最大公约数为 ．
三、解答题（每小题10分，共计40分）
17．（10分）设x=1与x=﹣2是函数f（x）=ax3+bx2﹣2x，a≠0的两个极值点．
（1）试确定常数a和b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．
18．（10分）设p：方程x2+mx+1=0有两个不等的实根，q：不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0在R上恒成立，若￢p为真，p∨q为真，求实数m的取值范围．
19．（10分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设斜率为1的直线l经过左焦点与椭圆C交于A、B两点，求弦AB的长．
20．（10分）某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．
（Ⅰ）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？
（Ⅱ）在（Ⅰ）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率．
2017-2018学年甘肃省武威十八中高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共计60分）
1．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，
当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S=，
当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S=，
当k=3时，不满足进行循环的条件，
故输出结果为：，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
2．（5分）过椭圆4x2+2y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一焦点F2构成△ABF2，那么△ABF2的周长是（ ）
A．2 B． C． D．1
【分析】把椭圆的方程化为标准方程，求出a的值，由△ABF2的周长是 （|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a 求出结果．
【解答】解：椭圆4x2+2y2=1 即 ，
∴a=，b=，c=．
△ABF2的周长是 （|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a=4a=2，
故选B．
【点评】本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用椭圆的定义是解题的关键．
3．（5分）某中学高一年级560人，高二年级540人，高三年级520人，用分层抽样的方法抽取容量为81的样本，则在高一、高二、高三三个年级抽取的人数分别是（ ）
A．28、27、26 B．28、26、24 C．26、27、28 D．27、26、25
【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在各年级中抽取的人数．
【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，
则在高一年级抽取的人数是560×=28人，
高二年级抽取的人数是540×=27人，
高三年级抽取的人数是520×=26人，
故选：A．
【点评】本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目．
4．（5分）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的区间长度，即可得到结论．
【解答】解：在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，
则﹣2≤X≤3，
则X≤1的概率P=，
故选：B．
【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的区间长度是解决本题的关键，比较基础．
5．（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列互斥但不对立的两个事件是（ ）
A．“至少1名男生”与“全是女生”
B．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”
C．“至少1名男生”与“全是男生”
D．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，分析四组事件的关系，可得答案．
【解答】解：从3名男生和2名女生中任选2名学生参加演讲比赛，
“至少1名男生”与“全是女生”是对立事件；
“至少1名男生”与“至少有1名是女生”不互斥；
“至少1名男生”与“全是男生”不互斥；
“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”是互斥不对立事件；
故选：D
【点评】本题考查的知识点是互斥事件与对立事件，难度不大，属于基础题．
6．（5分）我校有3个不同的文艺社团，甲、乙两名同学各自参加其中1个文艺社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个文艺社团的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】基本事件总数n=3×3=9，这两位同学参加同一个文艺社团包含的基本事件个数m=，由此能求出这两位同学参加同一个文艺社团的概率．
【解答】解：我校有3个不同的文艺社团，甲、乙两名同学各自参加其中1个文艺社团，
每位同学参加各个社团的可能性相同，
基本事件总数n=3×3=9，
这两位同学参加同一个文艺社团包含的基本事件个数m=，
∴这两位同学参加同一个文艺社团的概率为p==．
故选：D．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意古典概型概率计算公式的合理运用．
7．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．
【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，
则黑色部分的面积S=，
则对应概率P==，
故选：B
【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．
8．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（ ）
A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e
【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；
【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0）
∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，
解得f′（1）=﹣1，
故选B；
【点评】此题主要考查导数的加法与减法的法则，解决此题的关键是对f（x）进行正确求导，把f′（1）看成一个常数，就比较简单了；
9．（5分）某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名同学参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x+y的值为（ ）
A．7 B．10 C．9 D．8
【分析】由茎叶图根据甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，列出方程组，求出x，y，由此能求出x+y的值．
【解答】解：∵甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，
∴，
解得x=5，y=3，
∴x+y=5+3=8．
故选：D．
【点评】本题考查两数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图、众数、中位数的性质的合理运用．
10．（5分）甲、乙、丙三人随意坐下，乙不坐中间的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】所有的坐法共有种，乙正好坐中间的坐法有种，由此可得乙不坐中间的概率．
【解答】解：所有的坐法共有=6种，乙正好坐中间的坐法有=2种，
故乙正好坐中间的概率为=，
故乙不坐中间的概率是．
故选：A．
【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．
11．（5分）表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（ ）
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5
A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.5
【分析】先求出这组数据的样本中心点，样本中心点是用含有t的代数式表示的，把样本中心点代入变形的线性回归方程，得到关于t的一次方程，解方程，得到结果．
【解答】解：∵
由回归方程知=，
解得t=3，
故选A．
【点评】本题考查回归分析的初步应用，考查样本中心点的性质，考查方程思想的应用，是一个基础题，解题时注意数字计算不要出错．
12．（5分）抛物线y=4x2的准线方程是（ ）
A．x=1 B．x=﹣ C．y=﹣1 D．y=﹣
【分析】先将抛物线方程化为标准方程，进而可求抛物线的准线方程．
【解答】解：由题意，抛物线的标准方程为x2=y，
∴p=，开口朝上，
∴准线方程为y=﹣；
故选D．
【点评】本题的考点是抛物线的简单性质，主要考查抛物线的标准方程，属于基础题．
二、填空题（每小题5分，共计20分）
13．（5分）已知甲、乙、丙3类产品共1200件，且甲、乙、丙三类产品的数量之比为3：4：5，现采用分层抽样的方法抽取60件，则乙类产品抽取的件数是 20 ．
【分析】根据甲乙丙的数量之比，利用分层抽样的定义即可得到结论．
【解答】解：∵甲、乙、丙三类产品，其数量之比为3：4：5，
∴从中抽取120件产品进行质量检测，则乙类产品应抽取的件数为60×=20，
故答案为：20．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义和应用，比较基础．
14．（5分）二进制110011（2）化成十进制数为 51 ．
【分析】
根据二进制转化为十进制的方法，我们分别用每位数字乘以权重，累加后即可得到结果．
【解答】解：110011（2）=1+1×2+0×22+0×23+1×24+1×25=51．
故答案为：51．
【点评】本题考查的知识点是不同进制数之间的转换，解答的关键是熟练掌握不同进制之间数的转化规则．
15．（5分）以双曲线﹣=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是 +=1 ．
【分析】先求出双曲线的顶点和焦点，从而得到椭圆的焦点和顶点，进而得到椭圆方程．
【解答】解：双曲线 的顶点为（2，0）和（﹣2，0），焦点为（﹣4，0）和（4，0）．
∴椭圆的焦点坐标是（2，0）和（﹣2，0），顶点为（﹣4，0）和（4，0）．
∴椭圆方程为 +=1．
故答案为：+=1．
【点评】本题考查双曲线和椭圆的性质和应用，解题时要注意区分双曲线和椭圆的基本性质．
16．（5分）用辗转相除法或更相减损术求得8251与6105的最大公约数为 37 ．
【分析】本题考查的知识点是辗转相除法，根据辗转相除法的步骤，将8251与6105代入易得到答案．
【解答】解：∵8251=1×6105…2146，
6105=2×2146…1813，
2146=1×1813…333，
1813=5×333…148，
333=2×148…37，
148=4×37，
故8251与6105的最大公约数是37，
故答案为：37
【点评】对任意整数a，b，b＞0，存在唯一的整数q，r，使a=bq+r，其中0≤r＜b，这个事实称为带余除法定理，若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数．若d是a，b的公因数，且d可被a，b的任意公因数整除则称d是a，b的最大公因数．当d≥0时，d是a，b公因数中最大者．若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素．累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法．
三、解答题（每小题10分，共计40分）
17．（10分）设x=1与x=﹣2是函数f（x）=ax3+bx2﹣2x，a≠0的两个极值点．
（1）试确定常数a和b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．
【分析】（1）利用x=1与x=﹣2是函数f（x）=ax3+bx2﹣2x，a≠0的两个极值点，导函数的函数值为0，求解即可．
（2）通过导函数的符号，求解函数的单调区间即可．
【解答】解：（1）f'（x）=3ax2+2bx﹣2
由题意可知：f'（1）=0，f'（﹣2）=0，
3a+2b﹣2=0，12a﹣4b﹣2=0，
…（6分）
（2）f'（x）=x2+x﹣2，
由f′（x）＞0得x＜﹣2或x＞1，
由f′（x）＜0得﹣2＜x＜1，
f（x）的增区间为（﹣∞，﹣2），（1，+∞）；减区间为（﹣2，1）．…（12分）
【点评】本题考查函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力．
18．（10分）设p：方程x2+mx+1=0有两个不等的实根，q：不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0在R上恒成立，若￢p为真，p∨q为真，求实数m的取值范围．
【分析】由¬P为真，P∨q为真，可得P为假，q为真，求出P为假、q为真时，m的取值范围，再求交集．
【解答】解：∵¬P为真，P∨q为真∴P为假，q为真 （2分）
P为真命题，则，∴m＜﹣2或m＞2…（4分）
∴P为假时，﹣2≤m≤2…①…（5分）
若q为真命题，则…（7分）
即1＜m＜3…②…（8分）
由①②可知m的取值范围为1＜m≤2 …（10分）
【点评】本题考查了命题真假的应用，涉及到了方程的根的分布、恒成立问题，属于中档题．
19．（10分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设斜率为1的直线l经过左焦点与椭圆C交于A、B两点，求弦AB的长．
【分析】（1）根据题意，由椭圆的几何性质可得e==且a=，解可得c的值，进而计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆的标准方程，即可得答案；
（2）根据题意，由椭圆的方程可得左焦点的坐，即可得直线l的方程，联立直线与椭圆的方程，可得方程，结合根与系数的关系由弦长公式计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，椭圆C的短轴一个端点到右焦点的距离为，则有a=，
又由椭圆C的离心率为，则有e==，
则有c=，
则b2=a2﹣c2=3﹣2=1，
则椭圆的标准方程为：
（2）由（1）可得：椭圆的标准方程为：，
则其左焦点的坐标为（﹣，0），则直线l的方程为：
则
得，
则有，，
．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是利用椭圆的几何性质，求出椭圆的标准方程．
20．（10分）某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．
（Ⅰ）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？
（Ⅱ）在（Ⅰ）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率．
【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图求出男、女生优秀人数即可；
（Ⅱ）求出样本中的男生和女生的人数，求出所有的基本事件以及满足条件的基本事件的个数，从而求出满足条件的概率即可．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，男生优秀人数为100×（0.01+0.02）×10=30人，
女生优秀人数为100×（0.015+0.03）×10=45人．
（Ⅱ）因为样本容量与总体中的个体数的比是，
所以样本中包含男生人数为人，女生人数为人，
设两名男生为A1，A2，三名女生为B1，B2，B3，
则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为：
{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，
{A2，B2}，{A2，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}共10个，
每个样本被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件C：“选取的2人中至少有一名男生”，
则事件C包含的基本事件有：
{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，
{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}共7个，
所以，即选取的2人中至少有一名男生的概率为．
【点评】本题考查了频率分布问题，考查条件概率问题，是一道中档题．