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- 2024-01-16 发布
2016~2017学年度第二学期南昌市八一中学期中考试试卷
高三理科数学
考试用时：120分 全卷满分：150分
第Ι卷（选择题部分，共60分）
一、选择题：本题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知为虚数单位，，复数，若为负实数，则的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
2.已知集合，集合，则集合为（ ）
A. B. C. D.
3. 在展开式中， 二项式系数的最大值为 ，含项的系数为，则（ ）
A. B. C. D.
4 .已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，直线过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直，与交于两点，且，为抛物线准线上一点，则的面积为（ ）
A. 16 B. 18 C. 24 D. 32
5.给出下列四个命题：
①“若为的极值点，则”的逆命题为真命题；
②“平面向量,的夹角是钝角”的充分不必要条件是
③若命题，则；
④命题“，使得”的否定是：“均有”.
其中不正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 若执行如右图所示的程序框图，输出的值为4，则判断框中应填入的条件是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，则（ ）
A． B．
C． D．
9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
10. 若一个四位数的各位数字相加和为，则称该数为“完美四位数”，如数字“”.试问用数字组成的无重复数字且大于的“完美四位数”有（ ）个
A． B． C． D．
11. 已知双曲线与双曲线的离心率相同，且双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线一条渐近线上的某一点，且，，则双曲线的实轴长为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知定义在上的函数与其导函数满足，
若，则点所在区域的面积为（ ）
A. 12 B. 6 C. 18 D. 9
第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选做题，考生根据要求作答。
二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分
13.已知，若，则 .
14. 若正实数满足，则的最小值为 .
15. 已知等差数列的前项和为，并且，数列满足，记集合，若
的子集个数为16，则实数的取值范围为 .
16. 已知动点P在棱长为1的正方体的表面上运动，且线段，记点P的轨迹长度为.给出以下四个命题：
① ； ②； ③
④函数在上是增函数，在上是减函数.
其中为真命题的是 （写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）已知分别为锐角三个内角的对边，且
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）求的取值范围.
18. （本小题满分12分）继共享单车之后，又一种新型的出行方式------“共享汽车”也开始亮相北上广深等十余大中城市，一款叫“一度用车”的共享汽车在广州提供的车型是“奇瑞eQ”，每次租车收费按行驶里程加用车时间,标准是“1元/公里+0.1元/分钟”，李先生家离上班地点10公里，每天租用共享汽车上下班，由于堵车因素，每次路上开车花费的时间是一个随机变量，根据一段时间统计40次路上开车花费时间在各时间段内的情况如下：
时间（分钟）
次数
8
14
8
8
2
以各时间段发生的频率视为概率，假设每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为分钟.
（Ⅰ）若李先生上、下班时租用一次共享汽车路上开车不超过45分钟，便是所有可选择的交通工具中的一次最优选择，设是4次使用共享汽车中最优选择的次数，求的分布列和期望.
（Ⅱ）若李先生每天上下班使用共享汽车2次，一个月（以20天计算）平均用车费用大约是多少（同一时段，用该区间的中点值作代表）.
19. （本小题满分12分）如图，多面体中，四边形是菱形，,，相交于，∥，点在平面ABCD上的射影恰好是线段的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角（锐角）的余弦值．
20. （本小题满分12分）如图所示，在中，的中点为,且，点在的延长线上，且.固定边，在平面内移动顶点，使得圆与边，边的延长线相切，并始终与的延长线相切于点，记顶点的轨迹为曲线.以所在直线为轴，为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设动直线交曲线于两点，且以为直径的圆经过点，求面积的取值范围.
21. （本小题满分12分）
已知函数 ，．
（Ⅰ）当 时， 恒成立，求的取值范围；
（Ⅱ）当 时，研究函数的零点个数；
（Ⅲ）求证： (参考数据：)．
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知圆的参数方程为，直线的参数方程为，定点.
（Ⅰ）以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，单位长度与平面直角坐标系下的单位长度相同建立极坐标系，求圆的极坐标方程；
（Ⅱ）已知直线与圆相交于两点，求的值.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知关于的不等式的解集不是空集，记的最小值为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若不等式的解集包含 ，求实数的取值范围.
高三理科数学试卷答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
B
A
C
B
C
A
D
D
D
A
二、填空题：本题共4题，每小题5分
13.； 14. ； 15. ； 16. ①④；
三、解答题
17. 解：（Ⅰ）因为，
由正弦定理有 即有 …………3分
由余弦定理得，又A为锐角，∴ A= …………6分
（Ⅱ）由题，
………8分
又在锐角中，有， …………10分
所以，所以，
∴的取值范围是. . ……………12分
18. 解：（Ⅰ）李先生一次租用共享汽车，为最优选择的概率
依题意的值可能为0，1，2，3，4…………………2分
分布列
0
1
2
3
4
P
………… ………6分
或………… ………8分
（Ⅱ）每次用车路上平均花的时间（分钟）
… …………………………10 分
每次租车的费用约为10+35.5×0.1=13.55元.
一个月的平均用车费用约为542元. ……………………………12分
19.解：（Ⅰ）取AO的中点H，连结EH，则EH⊥平面ABCD
∵BD在平面ABCD内，∴EH⊥BD ┄┄┄┄┄2分
又菱形ABCD中，AC⊥BD 且EH∩AC=H，EH、AC在平面EACF内
∴BD⊥平面EACF，即BD⊥平面ACF ┄┄┄┄┄5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知EH⊥平面ABCD，以H为原点，如图所示建立空间直角坐标系H-xyz ┄┄┄┄┄┄┄6分
∵EH⊥平面ABCD，∴∠EAH为AE与平面ABCD所成的角，
即∠EAH＝45°，又菱形ABCD的边长为4，则
各点坐标分别为,E(0,0,) ┄┄………7分
易知为平面ABCD的一个法向量，记=，= ,=
∵EF//AC， ∴ ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
设平面DEF的一个法向量为 （注意：此处可以用替代）
即 ＝ ,
令，则，∴ ┄┄┄┄…………9分
∴
平面DEF与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值为. ┄┄┄┄┄┄┄12分
20. 解：（Ⅰ）依题意得，设动圆与边的延长线相切于，与边相切于， 则
所以
…………………2分
所以点轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，且挖去长轴的两个顶点.则曲线的方程
为. …………………4分
（Ⅱ）【法一】
由于曲线要挖去长轴两个顶点，所以直线斜率存在且不为，所以可设直线 …………………5分
由得,，同理可得：,；
所以，
又，所以 …………………8分
令，则且，所以
…………………10分
又，所以，所以，
所以，所以，
所以面积的取值范围为. …………………12分
【法二】
依题意得直线斜率不为0，且直线不过椭圆的顶点，则可设直线：，且。
设，又以为直径的圆经过点，则，所以 …………………5分
由得，则
且，所以
又
代入①得：，所以，
代入②得：恒成立所以且.
又；
点到直线的距离为， …………………7分
所以 ……9分
（Ⅰ）当时，；
（Ⅱ）当且时，，
又，当且仅当时取“”，所以，所以，所以，所以，所以； ……11分 综合（1），（2）知. …………………12分
21. 解： (Ⅰ)令则
①若，则，，在递增，，即在 恒成立，满足，所以； …………………2分
②若，在递增，且
且时，，则使进而在递减，在递增，
所以当时，即当时， ，不满足题意，舍去；
综合①，②知的取值范围为. …………………4分
(Ⅱ)依题意得，则，
则在上恒成立，故在递增，
所以，且时，；
①若，即，则，故在递减，所以，
在无零点； …………………6分
②若，即，则使，进而在递减，在递增，且时，，在上有一个零点，在无零点，故在有一个零点.
综合①②，当时无零点；当时有一个公共点. …………………8分
(Ⅲ)由(Ⅰ)知，当时，对恒成立，
令，则 即； …………………10分
由(Ⅱ)知，当时，对恒成立，
令，则，所以；
故有. …………………12分
22. 解：（Ⅰ）依题意得圆的一般方程为，将代入上式得，所以圆的极坐标方程为；…………………4分
（Ⅱ）依题意得点在直线上，所以直线的参数方程又可以表示为，
代入圆的一般方程为得，
设点分别对应的参数为，则，
所以异号，不妨设，所以，
所以. …………………10分
23. 解：（Ⅰ）因为，当且仅当时取等号，
故，即． …………………5分
（Ⅱ） 则< 0. >0.
由已知得1->在上恒成立
<<在上恒成立
-4<<3.
实数的取值范围是（-4，3）…………………10分