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- 2024-01-15 发布
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田家炳高中2019—2020学年度12月月考试卷高一数学（理科）
一、选择题 (每题5分 共60分)
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用交集运算即可得到结果．
【详解】∵集合，
∴
故选：C
【点睛】本题考查交集概念及运算，属于基础题．
2.函数定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平方根的定义可知负数没有平方根，又其在分式的分母位置，得到被开方数大于0，列出关于的不等式，解二次不等式，即为函数的定义域．
【详解】解：由已知得，解得或，故选：D。
【点睛】此题属于以函数的定义域为平台，考查了一元二次不等式的解法，利用了转化的思想，是高考中的基本题型．
3.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用有理指数幂的运算性质与对数的运算性质分别比较与0和1的大小得答案．
【详解】解：，
，
，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查指对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题．
4.若，则角的终边在（ ）
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限
C. 第一、四象限 D. 第二、四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
结合三角函数在四象限对应的正负号判断即可
【详解】，同号，所以角的终边在第一、三象限
故选：B
【点睛】本题考查根据三角函数正负判断角所在的象限，属于基础题
5.若α是第二象限角，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据角的范围可确定，利用同角三角函数的平方关系和商数关系可求得结果.
【详解】是第二象限角
本题正确选项：
【点睛】本题考查同角三角函数值的求解问题，属于基础题.
6.是奇函数，当时，，则（ ）
A. 2 B. 1 C. -2 D. -1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据奇函数对称性特点进行求解即可
【详解】是奇函数，，当时，，
故选：D
【点睛】本题考查奇函数具体函数值的求法，奇函数的对称性，属于基础题
7. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用诱导公式即可求出．
【详解】解：
故选：D．
【点睛】本题考查利用诱导公式求特殊角的三角函数值，是基础题．
8.已知幂函数图象经过点，则的值为 （ ）
A. B. 1 C. 2 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
根据幂函数过点可求出幂函数解析式，即可计算求值.
【详解】因为幂函数的图象经过点，
所以，解得，
所以，
，
故选：C
【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式，属于容易题.
9.的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据零点存在性定理进行判断即可
【详解】，，，
，根据零点存在性定理可得，则的零点所在区间为
故选：C
【点睛】本题考查零点存在性定理，属于基础题
10.若是偶函数，且对任意∈且，都有，则下列关系式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由于对任意的x1，x2∈（0，+∞），都有，可得函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，即可得出．
【详解】∵对任意的x1，x2∈（0，+∞），都有，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
又∵，
∴，
又∵f（x）是偶函数，∴f（﹣）＝f（）．
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了函数的奇偶性、单调性的应用，属于基础题．
11.已知角的终边经过点，且，则（ ）
A. 8 B. C. 4 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角函数的定义，列出方程，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，可得，
根据三角函数的定义，可得且，解得.
故选B.
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义的应用，其中解答中熟记三角函数的定义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
12.已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数m满足，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. （0，2） D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数为R上的偶函数，且在区间上单调递增，可得函数在上的单调性，然后将函数不等式转化为自变量的不等式，即可解得。
【详解】由题意，函数为R上的偶函数，且在区间上单调递增，
函数在 上单调递减，
解得
即
故选：
【点睛】本题考查偶函数的性质，偶函数图象关于轴对称，在关于原点对称的区间上具有相反的单调性，利用函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，属于基础题。
二、填空题（每题5分，共20分）
13.函数恒过定点的坐标为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据对数函数的图像与性质即可求得函数过定点的坐标.
【详解】函数
当时,
所以定点坐标为
故答案为:
【点睛】本题考查了对数函数的图像与性质,对数函数过定点的求法,属于基础题.
14.已知函数满足，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
设，得到，从而得到的解析式，再得到答案.
【详解】因为函数，
设，得，
所以得到
所以.
故答案：
【点睛】本题考查换元法求函数解析式，属于简单题.
15.函数的值域是________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用换元法，设，将求函数的值域转化为求二次函数在闭区间上的值域问题.
【详解】因为函数，
设，则函数的值域等价于求函数的值域，
所以当时，，
当时，.
所以函数的值域为.
故答案为：.
【点睛】本题考查指数型函数的值域，考查换元法、转化与化归思想的应用，求解时要注意新元的取值范围，才能保证问题的等价转化.
16.已知函数，若函数有两不同的零点，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
函数有两个不同零点可以转化为函数的图象与函数的图象的有两个交点，作出两函数图象，由图象易得结果．
【详解】令，所以有两个不同的零点，
等价于函数与的图象有两个不同的零点，
如图，在同一坐标系中作出函数与的图象，由图象易知当时，两函数图象有两个交点．
故答案为：．
【点睛】本题考查函数零点存在性定理．利用数形结合的思想方法是本题求解的关键．属于中档题．
三、解答题（共70分）
17.设集合，.
（1）若，求；
（2）当时，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）时，确定集合，再对集合化简，再得到，然后根据集合的交集运算，得到答案；（2）根据，得到，从而得到关于的不等式组，解出的取值范围.
【详解】（1）因为，所以集合
集合
，
所以，
所以
（2）因为，所以，
所以，解得.
【点睛】本题考查集合补集和交集运算，根据交集结果求参数范围，属于简单题.
18.已知二次函数().
（1）若为偶函数，求的值；
（2）若的解集为，求a,b的值;
（3）若在区间上单调递增，求a的取值范围.
【答案】（1）；（2），；（3）
【解析】
【分析】
（1）利用偶函数的定义解得a；
（2）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，求得a、b的值；
（3）二次函数的单调性与对称轴相关，从而求得a的取值范围．
【详解】解：（1）∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x）．
即（﹣x）2﹣a（﹣x）﹣3＝x2﹣ax﹣3，
∴2ax＝0
从而解得a＝0．
（2）∵f（x）＜0的解集为{x|﹣3＜x＜b}
∴﹣3和b是方程x2﹣ax﹣3＝0的两根，
∴由根与系数关系得：﹣3+b＝a，﹣3×b＝﹣3；
∴a＝﹣2，b＝1．
（3）∵f（x）的对称轴为x且f（x）在区间[﹣2，+∞）上单调递增，
∴；
∴a≤﹣4．
【点睛】本题属于基础题，涉及知识点是函数性质之奇偶性、一元二次不等式的解题、函数的单调性，在解题时要注意二次函数、一元二次不等式、一元二次方程三者之间的关系．
19.已知，求下列各式的值：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
【分析】
原式的分子分母同除以,再把代入求值即可;
原式的分子、分母同除以，再把代入求值即可;
把要求的式子利用“1”的代换可得, ，将代入求值即可.
【详解】（1）∵，∴.
原式的分子、分母同除以，得
原式 .
故答案为:
（2）原式的分子、分母同除以，得
原式.
故答案为:
（3）原式.
故答案为:
【点睛】本题考查利用同角三角函数基本关系进行齐次式的化简求值问题;其中“1”的巧用把弦化切是求解本题的关键;重点考查学生的运算能力;属于中档题,常考题型.
20.已知．
（1）化简；
（2）若是第四象限角，且，求的值．
【答案】(1)；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用诱导公式对函数解析式化简整理求得函数的解析式．
（2）利用诱导公式求得sinα的值，进而根据同角三角函数的基本关系求得cosα，代入（1）中函数解析式求得答案．
【详解】（l）．
（2）由，得，
∵是第四象限角，
∴，
则．
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系和诱导公式的应用．利用诱导公式的时候要特别留意三角函数值的正负．
21.已知函数，.
（1）若，求函数的单调递减区间；
（2）若函数的定义域为，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先求出函数的义域为或，再利用复合函数的单调性原理求函数的单调减区间；（2）等价于在R上恒成立，利用一元二次函数的图象和性质分析得解.
【详解】（1）若，, 函数的定义域为或，
由于函数是定义域上的增函数，
所以的单调递减区间等价于函数或的减区间，
或的减区间为，
所以函数的单调递减区间.
（2）由题得在R上恒成立，
当时，2＞0恒成立，所以满足题意；
当时，，所以.
综合得
【点睛】本题主要考查复合函数的单调性和二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
22.已知定义在上的函数满足：① 对任意，，有.②当时，且.
（1）求证：是奇函数；
（2）解不等式.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】
【分析】
（1）赋值法，令x＝y＝0可证得f（0）＝0；令y＝﹣x代入式子化简，结合函数奇偶性的定义，可得f（x）是奇函数；
（2）设x1＜x2，由条件构造f（x1）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2）由x＜0时f（x）＞0
可证得函数的单调性，然后化简不等式，利用单调性去掉“f”，从而可求出不等式的解集．
【详解】（1）证明：令，，
，
令，
.
函数是奇函数.
（2）设，则，
为上减函数.
，.
即.
不等式的解集为.
【点睛】本题考查抽象函数的性质，涉及函数奇偶性、单调性的判断，以及解抽象不等式，解此类题目，注意赋值法的运用，属于中档题．