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- 2024-01-15 发布
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课时作业1 集合及其运算
1．(2019·莱州一中模拟)已知集合A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{C|C⊆A}，则集合B中元素的个数为( C )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：A＝{x∈N|(x＋3)(x－1)≤0}＝{x∈N|－3≤x≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B中元素的个数为4，选C.
2．(2018·浙江卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁UA＝( C )
A．∅ B．{1,3}
C．{2,4,5} D．{1,2,3,4,5}
解析：∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，∴∁UA＝{2,4,5}．
3．(2019·湖北四地七校联考)若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则( D )
A．M＝N B．M⊆N
C．M∩N＝∅ D．N⊆M
解析：因为M＝{x||x|≤1}，所以M＝{x|－1≤x≤1}，因为N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，所以N＝{y|0≤y≤1}，所以N⊆M，故选D.
4．(2019·湖南长沙长郡中学月考)已知集合A＝{0}，B＝{－1,0,1}，若A⊆C⊆B，则符合条件的集合C的个数为( C )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：由题意得，含有元素0且是集合B的子集的集合有{0}，{0，－1}，{0,1}，{0，－1，1}，即符合条件的集合C共有4个，故选C.
5．(2014·新课标Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝( A )
A．[－2，－1] B．[－1,2)
C．[－1,1] D．[1,2)
解析：由不等式x2－2x－3≥0，解得x≥3或x≤－1，因此集合A＝{x|x≤－1或x≥3}，又集合B＝{x|－2≤x＜2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，故选A.
6．(2019·湖北黄冈调研)已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln(1－x)的定义域为N，则M∪(∁RN)＝( A )
A．{x|x＞－1} B．{x|x≥1}
C．∅ D．{x|－1＜x＜1}
解析：依题意得M＝{x|－1＜x＜1}，N＝{x|x＜1}，∁RN＝{x|x≥1}，所以M∪(∁RN)＝{x|x＞－1}．
7．(2019·广东省际名校联考)已知集合A＝{x|x2－x－2＜0}，B＝{y|y＝ex，x＜ln3}，则A∪B＝( A )
A．(－1,3) B．(－1,0)
C．(0,2) D．(2,3)
解析：因为A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{y|0＜y＜3}，所以A∪B＝(－1,3)．
8．(2019·广州质检)已知集合A＝{x|2x2－7x＋3＜0}，B＝{x∈Z|lgx＜1}，则阴影部分所表示的集合的元素个数为( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：∵A＝{x|2x2－7x＋3＜0}＝，B＝{x∈Z|lgx＜1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∴阴影部分表示的集合是A∩B
＝{1,2}，有2个元素．
9．(2019·河北“五个一”名校联盟质检)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,7}，B＝{x|x＝log2(a＋1)，a∈A}，则(∁UA)∩(∁UB)＝( C )
A．{1,3} B．{5,6}
C．{4,5,6} D．{4,5,6,7}
解析：A＝{1,3,7}，B＝{x|x＝log2(a＋1)，a∈A}＝{1,2,3}，又U＝{1,2,3,4,5,6,7}，∴∁UA＝{2,4,5,6}，∁UB＝{4,5,6,7}，∴(∁UA)∩(∁UB)＝{4,5,6}．
10．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x＜1}，Q＝{x||x－2|＜1}，那么P－Q＝( B )
A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x≤1}
C．{x|1≤x＜2} D．{x|2≤x＜3}
解析：由log2x＜1，得0＜x＜2，所以P＝{x|0＜x＜2}；由|x－2|＜1，得1＜x＜3，所以Q＝{x|1＜x＜3}，由题意，得P－Q＝{x|0＜x≤1}．
11．设全集为R，集合A＝{x|x2－9＜0}，B＝{x|－1＜x≤5}，则A∩(∁RB)＝{x|－3＜x≤－1}__．
解析：由题意知，A＝{x|x2－9＜0}＝{x|－3＜x＜3}，
∵B＝{x|－1＜x≤5}，∴∁RB＝{x|x≤－1或x＞5}．
∴A∩(∁RB)＝{x|－3＜x＜3}∩{x|x≤－1或x＞5}＝{x|－3＜x≤－1}．
12．(2019·淮北模拟改编)已知集合U＝R，集合M＝{x|x＋2a≥0}，N＝{x|log2(x－1)＜1}，若集合M∩(∁UN)＝{x|x＝1或x≥3}，那么a的取值为－ .
解析：由log2(x－1)＜1，得1＜x＜3，则N＝(1,3)，
∴∁UN＝{x|x≤1或x≥3}．
又M＝{x|x＋2a≥0}＝[－2a，＋∞)，
M∩(∁UN)＝{x|x＝1或x≥3}，
∴－2a＝1，解得a＝－.
13．如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝3x，x＞0}，则A#B为( D )
A．{x|0＜x＜2} B．{x|1＜x≤2}
C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x＞2}
解析：因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1＜x≤2}，所以A#B＝∁A∪B(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}，故选D.
14．设平面点集A＝，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为( D )
A.π B.π
C.π D.
解析：不等式(y－x)·≥0可化为
或
集合B表示圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上以及圆内部的点所构成的集合，A∩B所表示的平面区域如图所示．
曲线y＝，圆(x－1)2＋(y－1)2＝1均关于直线y＝x
对称，所以阴影部分占圆面积的一半，即为.
15．(2019·沈阳模拟)已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素之和为( D )
A．15 B．16
C．20 D．21
解析：由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，
又x∈N，故集合A＝{0,1,2,3}．
∵A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，
∴A*B中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，
∴A*B＝{1,2,3,4,5,6}，
∴A*B中的所有元素之和为21.
16．设集合M＝，N＝，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是 .
解析：由已知，可得即0≤m≤；即≤n≤1，当集合M∩N的长度取最小值时，M与N应分别在区间[0,1]的左、右两端．
取m的最小值0，n的最大值1，可得M＝，N＝，所以M∩N＝∩＝，此时集合M∩N的“长度”的最小值为－＝.
