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- 2024-01-13 发布
宁夏六盘山高级中学2017届高三第三次模拟考试
数学（文）试题
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知是虚数单位，若为纯虚数，则（ ）
A． -1 B．1 C． 0 D．2
3．某4名同学（其中2男2女）报考了2017年高考英语口语考试，若有三人通过了考试，则女生甲通过考试的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．直线与圆的位置关系是（ ）
A． 相离 B．相交 C． 相切 D．无法判定
5．若是第四象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列是等差数列，且，，则（ ）
A．12 B． 24 C． 16 D．32
7．设，则的零点位于区间（ ）
A． B． C． D．
8．若执行如图所示的框图，输入，，，，则输出的数等于（ ）
A． 1 B． C． D．
9．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）
A． B． C． D．
10．定义在上的奇函数满足，且在上是减函数，则（ ）
A． B．
C． D．
11．正方体中，与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知双曲线与抛物线的一个交点为，为抛物线的交点，若
，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． 4 C． D．2
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知向量满足，，，则 ．
14．等比数列的前项和为，若，则公比 ．
15．函数在处有极值，则曲线在原点处的切线方程为 ．
16．某工厂有两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个配件，耗时1，每生产一件乙产品使用4个配件，耗时2，该厂每天最多可从配件厂获得24个配件和16个配件，每天生产总耗时不超过8，若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为 万元．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17． ，内角所对的边分别是，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求．
18． 如图所示，矩形中，，，沿对角线把折起，使点在平面上的射影落在上．
（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥的体积．
19． 某市文化部门为了了解本市市民对当地地方戏曲是否喜爱，从15-65岁的人群中随机抽样了人，得到如下的统计表和频率分布直方图．
（1）写出其中及和的值；
（2）若从第1,2,3,组回答喜欢地方戏曲的人中用分层抽样的方法抽取6人，求这三组每组分别抽取多少人？
（3）在（2）抽取的6人中随机抽取2人，求抽取的2人年龄都在的概率．
20． 设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设分别为椭圆的左、右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若，求的值．
21． 设为实数，函数．
（1）求的单调区间及极值；
（2）求证：当且时，．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），圆的方程为（为参数），以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆、圆的极坐标方程；
（2）射线同时与圆交于两点，与圆交于两点，求的最大值．
23．选修4-5：不等式选讲
设函数，不等式的解集为．
（1）求；
（2）当时，证明：．
试卷答案
一、选择题
1-5: BADCC 6-10: ABCAB 11、12：AD
二、填空题
13． 3 14． -2 15． 16．22
三、解答题
17． （1）∵
∴，由正弦定理得：，
即，
∵，∴，∴，.
(2) 由（1) 知，
∵，
∴，解得.
∴，
∴.
18．解：
(1)∵AE⊥平面BCD，∴AE⊥CD.
又BC⊥CD，且AE∩BC＝E，
∴CD⊥平面ABC.
又CD⊂平面ACD，
∴平面ACD⊥平面ABC.
(2)由(1)知，CD⊥平面ABC，
又AB⊂平面ABC，∴CD⊥AB.
又∵AB⊥AD，CD∩AD＝D，
∴AB⊥平面ACD.
∴VA－BCD＝VB－ACD＝·S△ACD·AB.
又∵在△ACD中，AC⊥CD，AD＝BC＝4，AB＝CD=3 ，
∴AC＝.
∴VA－BCD＝
19．（Ⅰ）由表可知第3组，第4组 的人数分别为，，再根据直方图可知第1组、第2组的人数也为人，且抽样总人数.
所以第5组的人数为，
且 ，，，
，
(Ⅱ)因为第1，2，3组喜欢地方戏曲的人数比，
那么用分层抽样的方法从这三组中抽取6人
第1组应抽取1人，
第2组应抽取2人，
第3组应抽取3人.
（Ⅲ） 由（Ⅱ）第3组抽到3人，记为第1组和第2组3人记为
从这六人中随机抽取2人，所有可能结果共有15种，分别为
所抽取2人都在第3组的结果有3人，故所求的概率为
20．解：(1)设F(－c，0)，由，知.过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，
代入椭圆方程有，解得.
于是，解得.又a2－c2＝b2，从而，c＝1，所以椭圆的方程为.
(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1，0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)．
由方程组消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝.
因为A(－，0)，B(，0)，所以＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)
＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2
＝6＋.
由已知得6＋＝8，解得k＝±.
21．(1)：
∵
∴，，令，得.
当，，单调递减，
当，，单调递增，
故的单调递增区间是，减区间为，
是的极小值点，极小值为，无极大值.
(2)
设，
于是，
由（1）知，当时，的最小值
于是对任意，都有
所以在内单调递增.
所以当时，对任意，都有，
而，所以对任意的，，
即，故.
22．（1）
（2） ，
的极坐标为，
所以
∵，∴当，即时，取得最大值4.
23．（1）由题意
当时，得；
当时，得；
当时，得，所以.
(2) ，即，，
∴
∴，即